1、 第 1 页 共 7 页 三角函数周期的常用求法 一、 公式法对于函数 或 的周期公式是 ，BxAy)sin(BxAy)cos(|2T对于函数 或 的周期公式是 )ta( )t( |例 1 函数 的最小正周期是 （ ）)23sin(xy 解：由公式，得 ，故选421T评注：对于函数 或 可直接利用公式 求)sin(xAy )cos(xAy 2T得；对于 或 可直接利用公式 求得。)ta( )t(二、图像法例 求下列函数的最小正周期 xysinxysin解：分别作出两个函数的图像知 的周期 不是周期函数iTxysi评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决二、 定
2、义法例 求函数 的最小正周期xycosin第 2 页 共 7 页 解： （ ）2cos()2sin(kxkxxcosinZk 是函数 的周期显然 中最小者是kyi22下面证明 是最小正周期2假设 不是 的最小正周期，则存在 ，使得：xycosinT0 对 恒成立，)(Txf )()s(TxcosinR令 ，则 0fcsi 10cosin但 ， 21osn 与矛盾， 假设不成立， 是 最小正周期2xycsi评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子 出发，设法找出周期)(fTxf中的最小正数（须用反证法证明） T四、转化法1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例求函数 的周期
3、xxy2sincosin32解： 12cos3x)6in(1)2cossin2(x T变式 求函数 的最小正周期xy66cossin解： )cosin3cosin3()( 422422 xx 1(8)scsi312x 4o85 函数 的最小正周期是xy66cssin24T评注：就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点第 3 页 共 7 页 2、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期2|a例 5 求函数 的周期|cos|xy解： 2cos1|2x T例 6 求函数 的周期|cos|sin|xy解： xxxx
4、2sin1|2sin|1|cos|in| 2)4(124cos1 函数 的最小正周期 |in|xy 2T五、最小公倍数法 例 7 求函数 的最小整周期ysin3xco5=+解：设 、 的最小整周期分别为 、 ，i 1T2则 ， ， 12T352T1 的最小整周期为ysinxco=+评注：设 与 是定义在公共集合上的两个三角周期函数， 、 分别是它们()fg 1T2的周期，且 ，则 的最小整周期是 、 的最小公倍数1T2()fx1T2分数的最小公倍数 分 子 的 最 小 公 倍 数分 母 的 最 小 公 倍 数第 4 页 共 7 页 抽象函数的周期的求法象函数指解析式没有明确给出的一类函数，对于
5、此类函数性质的研究，须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数 ，如果对于定义域中的任意 ，若满足)(xf x（ ） ，则周期 ；若满足0baf a)(2abT（ ） ，即函数图象有 两条对称)()(),()( xbfxffxbxa,轴，则周期 ；若满足 （ ） ，则周期2T1)(f；若满足 （ ） ，则周期 ；若满)(ab)()(xfaf ba)(2T足 （ ） ，则周期 .)(1bxfxf)(4T一、函数值之和等于零型，即函数 满足 （ ）)(xf 0)(bxfaf a对于任意 满足 （ ） ，即 ，则x0)(baf )(f，即)
6、()()2( xxfxfaf ，等价于 ，故函2)( abxfx )(2fabf数 的周期 .)(faT例 1（05 年天津卷 16）设函数 是 上的奇函数，且 的图象关于直线)(xfR)(xfy对称，则 等于 .2x )5(432)1(0ff 解析 的图象关于直线 对称，则 （*） ，函数xfy1x)21(xf是 上的奇函数，则 ， （*）式即)(xfR)2()2(xff， ， 的周期 .在（*）式0)1(2xf ,ab )(abT中令 可得 ，利用函数的周期为 2，则x(f，因此，)5(3)1)()0ff第 5 页 共 7 页 .0)5(4)3(2)1(0fff二、函数图象有 （ ）两条对
7、称轴型bxa,函数图象有 两条对称轴，即 ，)()(),()( xbfxfafxf 改写为 ，2()()( abafxfxf 即 ，等价于 ，周期 .2ba )(2(xfxf )(T例 2（05 年广东卷 19）函数 在 上满足关系式 ，)(f),xf，且在闭区间 上，只有 .)7()(xff7,0 0)3(1f（1）判断函数 的奇偶性；（2）求方程 在闭区间 上(fyx205,根的个数，并证明你的结论.解析 函数 满足 （*） ，则 的图象)(xf )7()(),()( ffxff )(xf有 两条对称轴， 在闭区间 上，只有 ，而 ，7,2x 70 0310，故函数 不是奇函数；由对称性和
8、 得 ，0)(f)(xf )(f )1(ff且 ，由 而 可得函数 不是偶函数；因此函数9)7f)(fx是非奇非偶函数.)(xfy由（*）式还可以表示为 ，由)14(),4() xfxffxf 可知函数 的周期 （或直接利用上面的结论 ，)14()(fxf0T7,2ba）. 在闭区间 上，只有 ，02abT(xf7, 0)3(f， ，且周期 ，故方程 在闭区间)3(ff )9f 1)xf和 上都有两个解（分别为 和 ） ，从而方程 在闭区间1,0,3,19,(上有 402 个解，在闭区间 上有 400 个解，从而方程 在闭区间25025 0)xf上根的个数为 802 个.,三、两个函数值之积等
9、于 ，即函数值互为倒数或负倒数型1若 ，显然 ，则)()(bxfaf 0)(,)(bxfaxf第 6 页 共 7 页 ，即 ，而)(1)(bxfaf )(1)(1)( abxfaxfaxf ，因此)()(ff，即2)()()(1)( abxfbxfabxfaxf ，函数 的周期 ；同理可证，若函数22f fT满足 （ ） ，则周期 .)(x1)()(xff b)(2ab例 3 已知函数 是 上的偶函数，且 ， 恒成立，则R1)(xff 0f的值等于 .)19(f解析 由 可知 ，函数 的周期为1)(2(xff )(2()4(xffxf)(xf4， ，函数 是 上的偶函数且 ，则10)9fff
10、fR0f，在 中，令 得 ，(1)(2(x1x1)()1(2f， .)f)f四、分式型，即函数 满足 （ ）)(xf )(1)(bxfafa由 （ ） ，则 （* ） ，)(1)(bfaxf)(1bxff ，代入（*）式得)()( bxffbf ，即 ，由上面的类型三，求出周期)2(1)(xfaxf12faf.4bT例 4已知函数 在 上满足关系式 .若)(xf),)(1)2(xfxf，则 等于 .32)1(f205f第 7 页 共 7 页 解析 由题意 （*） ，将 代入（*）式)2(1)2(xfxf )(1)2(xfxf整理得 ，所以 ，函数 的周期为)()4(ff)(4(18fff f8
11、， ， ，)5(8250)(fff 2321)()ff.320f设计抽象函数周期问题，要注意严密，下面的“函数”就是一个流传十分广的典型错例：例 5 已知定义在 上的奇函数 满足关系式 .当),()(xf )(1)(xfxf时， ，则 的值等于（）10xxf2)5.(fA1 B C D12不少资料选入此题，并给出答案为 ，提示思路是：1).(f，则 ，将 代入可得)(1)(xfxf)()(xff )(1)(xfxf，周期为 2，则 .2f 5.0.5.f显然，如果原函数的周期为 2，则周期也可为 4，则 .这0)5.(1).().( fff样， 与 都成立，就不是单值函数了，即 根本不是函数！1)5.(f 0)5.(f xf该“函数”的问题还可以这样来得出：函数 是 上的奇函数，则)(xf),，根据 ，令 则 ， ，但 的周0)(f )(1)(xfxf01f1(f)(xf期为 2，必定满足 ，则 ，也能得出互相矛盾的结f0)(f论来.本题还可以从函数图象推出矛盾.
