1、分解随机变量 简求数学期望离散型随机变量的分布列反映了随机变量所有可能取值的概率分布的总体情况，课本求离散型随机变量 的数学期望的定义公式 就是在概率分布列的基础上给出的。因此求离散型随机变量 的数学期望的一般方法是：先求 的概率分布列，然后用期望的定义公式进行计算。然而，当随机变量 的取值较多或背景复杂时，直接求 的分布列往往困难重重或运算量较大。若能将背景复杂的随机变量 分解成若干个背景单一的随机变量，即 ，则可运用随机变量线性的期望等于随机变量期望的线性即公式来求 的期望。一、两个重要分布数学期望公式的简证二项分布和超几何分布是两种重要的常用的概率分布，它们的地位和作用如同等差数列等比数
2、列在数列中的地位和作用一样，举足轻重至关重要。下面给出这两个重要分布数学期望公式的一个简证。1.二项分布的数学期望公式若随机变量 ，则 。课本是利用组合数的性质进行证明的，有一定难度，现用分解 的方法给出如下简证。证明 令 ，则 ，易知 服从两点分布，即，所以 ，故 。2.超几何分布的数学期望公式在含有 件次品的 件产品中，不放回地任取 件，其中恰有 件次品，则称随机变量 服从超几何分布，则有 。文1、2用组合数性质证明了此公式，但过程较复杂证明难度较大。下面将次品数分解成每次抽取的次品数之和，然后用公式求期望，简证如下：证明 令 ，则 ，易知 服从两点分布，即，所以 ，故 。二、运用变量分解
3、期望公式简求数学期望举例下面通过典型例题说明用随机变量分解的期望公式在简求数学期望的作用，读者可用直接求 的分布列然后求期望的方法进行解法比较，体会分解随机变量简求数学期望的精妙。先看一个与错位排列有关的名题。例 1 设有标号为 的 盒子和标号为 的 个小球，将这 个小球任意地放入这 盒子，每个盒子放入一个小球。若 号球放入 号盒子，则称该球放对了，否则称放错了。 表示放对了的球的个数，求 的数学期望。文3由特例 时发现 ，继续验证知 时 仍然成立，于是猜想对任意的 ，恒有 （实际上对任意的正整数 恒有 ）。然后通过巧妙的构造对比并结合组合数性质给出了证明，证法虽然精彩但很难想到。下面用分解随
4、机变量的方法给出简解如下：例 2 某单位为绿化环境，移栽了甲乙两种大树各两株。设甲乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响。求移栽的 4 株大树中成活的株数 的期望。例 3 某人从地面开始上一百级台阶，每步上一级的概率是 ，每步上两级的概率是，若此人共走了 10 步，求他共上台阶级数 的数学期望。例 4 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人。现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲乙两组中共抽 3 名工人进行技术考核。（）求从甲乙两组中各抽取的人数；（）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的数学期望。
5、例 5 口袋里装有大小相同的卡片 8 张，其中三张标有数字 1，三张标有数字 2，两张标有数字 3。第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后，第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为 ，求 的数学期望。例 6 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求签约人数 的数学期望。例 7 某工厂生产甲乙两种产品，甲产品的一等品率为 ，二等品率为 ；乙产品的一等品率为 ，二等品率为 。生产一件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等
6、品则亏损 1 万元；生产一件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。设生产各件产品相互独立，求生产两件件甲产品和三件乙产品可获得的利润 万元的数学期望。综上所述，将背景复杂的随机变量分解成若干个背景单一的随机变量，即将背景复杂的随机变量用背景单一的若干个随机变量线性表示，然后分别求出各个单一的随机变量的数学期望，最后用随机变量线性的期望等于随机变量期望的线性进行求解。这样通过分解随机变量，将混合化为单一，将复杂化为简单，将一般化为特殊（二项分布或超几何分布），从而达到化难为易以简驭繁简化运算之功效。分解随机变量 简求数学期望离散型随机变量的分布列反映了随机变量所有可
7、能取值的概率分布的总体情况，课本求离散型随机变量 的数学期望的定义公式 就是在概率分布列的基础上给出的。因此求离散型随机变量 的数学期望的一般方法是：先求 的概率分布列，然后用期望的定义公式进行计算。然而，当随机变量 的取值较多或背景复杂时，直接求 的分布列往往困难重重或运算量较大。若能将背景复杂的随机变量 分解成若干个背景单一的随机变量，即 ，则可运用随机变量线性的期望等于随机变量期望的线性即公式来求 的期望。一、两个重要分布数学期望公式的简证二项分布和超几何分布是两种重要的常用的概率分布，它们的地位和作用如同等差数列等比数列在数列中的地位和作用一样，举足轻重至关重要。下面给出这两个重要分布
8、数学期望公式的一个简证。1.二项分布的数学期望公式若随机变量 ，则 。课本是利用组合数的性质进行证明的，有一定难度，现用分解 的方法给出如下简证。证明 令 ，则 ，易知 服从两点分布，即，所以 ，故 。2.超几何分布的数学期望公式在含有 件次品的 件产品中，不放回地任取 件，其中恰有 件次品，则称随机变量 服从超几何分布，则有 。文1、2用组合数性质证明了此公式，但过程较复杂证明难度较大。下面将次品数分解成每次抽取的次品数之和，然后用公式求期望，简证如下：证明 令 ，则 ，易知 服从两点分布，即，所以 ，故 。二、运用变量分解期望公式简求数学期望举例下面通过典型例题说明用随机变量分解的期望公式
9、在简求数学期望的作用，读者可用直接求 的分布列然后求期望的方法进行解法比较，体会分解随机变量简求数学期望的精妙。先看一个与错位排列有关的名题。例 1 设有标号为 的 盒子和标号为 的 个小球，将这 个小球任意地放入这 盒子，每个盒子放入一个小球。若 号球放入 号盒子，则称该球放对了，否则称放错了。 表示放对了的球的个数，求 的数学期望。文3由特例 时发现 ，继续验证知 时 仍然成立，于是猜想对任意的 ，恒有 （实际上对任意的正整数 恒有 ）。然后通过巧妙的构造对比并结合组合数性质给出了证明，证法虽然精彩但很难想到。下面用分解随机变量的方法给出简解如下：解 令 ，则 ，易知 服从两点分布，即 ，
10、所以 ，故 。例 2（2009 年高考重庆卷理科第 17 题改编）某单位为绿化环境，移栽了甲乙两种大树各两株。设甲乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响。求移栽的 4 株大树中成活的株数 的期望。解 用 分别表示甲乙两种大树各成活的株数，则 ，且 ，。由公式得， ，再由公式得， 。例 3 某人从地面开始上一百级台阶，每步上一级的概率是 ，每步上两级的概率是，若此人共走了 10 步，求他共上台阶级数 的数学期望。解 用 分别表示每步上一级台阶和每步上两级台阶的步数，则 ，且， 。由公式得， ，再由公式得，。例 4（2009 高考全国卷理科第 20 题改编）某车间甲组有 1
11、0 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人。现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲乙两组中共抽 3 名工人进行技术考核。（）求从甲乙两组中各抽取的人数；（）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的数学期望。解（）易求得甲组抽 2 人，乙组抽 1 人。（）设甲组抽出的 2 人中男工人数为 人，乙组抽出的 1 人中男工人数为 人，则。由超几何分布的数学期望公式得， ，再由公式得， 。例 5 口袋里装有大小相同的卡片 8 张，其中三张标有数字 1，三张标有数字 2，两张标有数字 3。第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后，第二次再任意抽取一张，记第一
12、次与第二次取到卡片上数字之和为 ，求 的数学期望。解 用 表示第 次取到卡片上的数字，则 ，易求得 的分布列如表。所以 ，所以 。例 6（2008 年高考湖南卷理科第 16 题改编）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求签约人数 的数学期望。解 设甲签约人数为 ，乙丙两人签约总人数为 ，则 ，且易求得 的分布列如表所示。易求得， ， ，所以 。例 7（2010 年高考江苏卷理科第 22 题改编）某工厂生产甲乙两种产品，甲产品的一等品率为 ，二
13、等品率为 ；乙产品的一等品率为 ，二等品率为 。生产一件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产一件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。设生产各件产品相互独立，求生产两件件甲产品和三件乙产品可获得的利润 万元的数学期望。解 设生产一件甲产品和一件乙产品获得的利润分别为 万元，则 。易求得 的分布列如表所示。则 ， 。所以 。综上所述，将背景复杂的随机变量分解成若干个背景单一的随机变量，即将背景复杂的随机变量用背景单一的若干个随机变量线性表示，然后分别求出各个单一的随机变量的数学期望，最后用随机变量线性的期望等于随机变量期望的线性进
14、行求解。这样通过分解随机变量，将混合化为单一，将复杂化为简单，将一般化为特殊（二项分布或超几何分布），从而达到化难为易以简驭繁简化运算之功效。参考文献：陈和平。对高中新教材（选修 2-3）的一个补充。数学通讯，2009（2）下半月。蒲云飞。对高中新教材一个补充的补充。中学数学教学，2010（1）。鲍瑞华。一道概率题的拓展与证明。数学通讯，2010（7）上半月。2011-08-09 人教网关闭打印推荐给朋友大 中 小【上一篇】 巧思妙解 2011 年高考数学题（江苏卷）【下一篇】先探寻充分条件 再证其为必要条件相关文章摆线亮相高考 风景这边独好佳题共颀赏 解法相与析聚焦高考数列考点巧思妙解 2011 年高考数学题（北京卷）山东高考解析几何题的推广及背景溯源品析一道新旧融合名题背景的高考题对一道线性回归分析试题的剖析巧思妙解 2011 年高考数学题（全国卷）一道高考题的解法探讨2011 年江西高考一道试题解法的推广
