1、- 1 -北京邮电大学 20102011 学年第 2 学期3 学时概率论与随机过程期末考试（A）一 填空题设随机事件 满足 , 且 , 则 1-p.1,B()()PAB()PAp()B2. 设每次实验中事件 出现的概率为 ,在三次独立重复试验中, 至少出现一次的概pA率为 , 则 = 1/3927p3. 随机变量 服从参数为 1 的泊松分布 ,则 = X(1)2()PXE1e4. 设随机变量 服从正态分布 ，记 ，且已知20,.N21uxd，则 (2.5)0938(9.5,1)Px5. 已知随机变量 服从均匀分布 ，则矩阵 的特征值全为实根X(,6)U201AX的概率为 6. 已知随机变量 的
2、密度函数为 ，则 |1(),2xfe(01)P1()2e7. 设连续型随机变量 的分布函数为 ，则 时， 的概率密X()Fx0y2ln()YFX度函数 ()Yfy21ye8. 已知随机变量 服从均值为的指数分布，则 的分布函数 min,2Y()y0,12,.xe- 2 -9. 已知随机变量 服从二维正态分布 ，则 的概率(,)XY2(1,0.5)21ZXY密度函数 fz2(5)46xe10. 设 的联合概率密度为 , 则概率,XY(2),0,(,)xyfxy其 它 ，= (1,2)P14e11. 设随机过程 , 其中 是相互独立的随机变量, 且均值都为2(tYtZXYZ零, 方差都为 1, 则
3、相关函数 = ()XRst21st12. 设 是参数为 的维纳过程, 则 = (),0Wt2(3)(14)(1EW213. 设平稳高斯过程 的均值为零, 相关函数为 , 则对任意固().0Xt2|()4XRe定的 , 的概率密度函数 = 0t ()fx2xe14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链 的状态空间是 ,平稳分布为nX01, 若 , 则方差1,240001(),(),(2)244PPX= 11/1610()DX15. 设 为平稳随机过程，功率谱密度为 , 则其平均,tt 21)(XS功率为 1二. （5 分）设某餐厅每天接待 300 名顾客, 并设每位顾客的销费额(元) 服从均匀分布
4、 , 且顾(401)U客的消费相互独立. 求:- 3 -(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差;(2) 平均每天有多少位顾客消费额超过 50 元;(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过 21750 的概率 .解. (1) 设 是第 i 位顾客的消费额, 则由题意, ,12,.30iX,4,()6i xfx:其 它 ，设 X 表示该餐厅的日消费额 , 则 因为 , 则301.iiX()70iEX2130(6/)9.DY210E(5)(2 ) 设 Y 是消费额超过 50 元的顾客数. 则 , 所以1(3,5)(35/6)YBPXB:(5)30(5/6)20E(3) 由中心极限定理得(5)123
5、012301230(.75)175.(.)(.5)06PXXDDX 三 （5 分）设二维随机变量 具有概率密度(,)XY求(1)系数 ; (2)边缘概率密度 ，并问 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密k(),XYfxyX(1), 0,30 xykefy其 他 .- 4 -度 ， .|()YXfyx|()XYfy解.(1) (3)0,1,3xdxk(2) (1)0,0,()(,),xyxXedffy(6)(1)20,)()(,),0xyY yfyfxd 由于 ,所以不独立.(,)()XYfxfy(3) 当 时, ,0(1)| (,)xyxyXfefx当 时, (6)y(1)2(1)| 2(
6、,)()xyxyXYYffye四 （5 分）设齐次马氏链 的状态空间为 ，一步转移概率矩阵为0,nX2,10E，12012P初始分布为 0001123XPX(1) 求 ;124,P(2) 求 的相关系数 ;002X(3) 证明马氏链 具有遍历性，并求其极限分布,n- 5 -解 (1) , 214()14P= (5)124 ,PX2012()()0iiPXp(2) 的分布率2()/3,/p的联合分布率02,X 0 1 20 1/6 1/12 1/121 1/12 1/6 1/122 1/12 1/12 1/6002,/3EXDX27/6(5)0021/4EX(3) 由 P(2)知马氏链遍历 ,由 得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5)012,iP五 （0 分）- 6 -设某线性系统的脉冲响应函数为 ，将平稳过程2,0()teht输入到该系统后, 输出平稳过程 的谱密度为)()， tX )()， tY，求：(1)输入平稳过程的 的谱密度42136YS (，X； (2)自相关函数 ； (3)输入与输出的互谱密度 )(X )(XR)(XYS解： ， 2 22,04,|()|2tehtHi(1) (4 分) 2()1(),|9)YXS(2) (3 分)3|1()(,6iXXRed(3) (3 分) 2()()(9XYXSHSi
