1、5图1中， 每个小正方形的边长为1， 的三边 的大小关系式： A B C D 图14相似形与测量术 周髀算经中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以 为圆，合矩以为方”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法第二、三、 四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量 地面上两点间距离下面以第二句为例说明测量方法：设AB 为矩的一边，BC 是矩的另一边由顶点到视线的一段， AD 为图48 所示之可测距离，DE其中显然用到了相似原理，可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性
2、质了 周髀是西汉初期的一部天文、数学著作髀是量日影的标杆(亦称表)，因书中记载了不少周代的天文知识，故 名周髀唐初凤选定数学课本时，取名周髀算经1勾股定理在中国，周髀算经是第一部记载勾股定理的书该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾 股各自乘，并而开方除之，4一 条重要的面积定理在详解九章算法及续古摘奇算法中，杨辉讨论了勾股容方问题，并在后书中给出如 下定理： “直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦弦之内外分二勾股，其一勾中容 横，其一股中容直，二积之数皆同”图 5中，横指 BE，直指 DE，推测其证明思路如下：因为 ABCCDA(指面积相等，下同)，又因为 AIE=
3、EHA， EFC=CGE，所以ABC-AIE-EFC=CDA-EHA-CGE，即 BE= DE此定理反映了我国传统几何的一条重要原理出入相补实际上，AIE 可以移置EHA 处，EFC 也可以移置CGE 处，所以等积这种思想在刘徽海岛算经及赵爽“日高术” 中已反映出来但首次表达成定理形式的是杨辉该定理在平面几何中有广泛的应用实际上， 海岛算经中的各种测量公式都可由它推出國二數學教材中的開平方法，並不是洋人的唯一專利， 在中國傳統數學中，己有類似的記載。 求解 2次以上的方程都叫做開方，與現今只將求二項 方程x n =A(A0)的根稱為開方是不同的。周髀算經 陳子答榮方問中求太陽到觀測者的距離的方
4、法便用到 開平方術，然而未給出具體方法。 九章算術少廣章在世界數學史上首次給出了開平方、開立方的程式。其方 法與現今基本一致，只是帶有從除法脫胎出來的痕跡，故稱為開方除之。 劉徽用幾何方法證明了開平方、開立方法的正確性。劉徽、孫子算經、賈 憲等都對開方術作了不同程度的改進，賈憲的方法與現今完全一致。 辑思维，分析义理。这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注周髀算经 ， 汉末魏初徐岳撰九章算术注 2卷（已失传）,魏末晋初刘徽撰九章算术注 10卷 (263)、 九章重差图1卷（已失传）都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代 数学体系奠定了理论基础。 赵爽是中国古代对数学定理和公式进行
5、证明与推导的最早的数学家之一。他在周髀 算经书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾 股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理（图 6）和解勾股形的 5个公式；在“日高 图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在 中国古代数学发展中占有重要地位。 图 6 刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名 词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理” ，才能使数学 著作简明严密。他的九章算术注不仅是对九章算术的方法、公式和定理进行一般 的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发
6、展。例如，刘徽从率（后称为比）的定义 出发论述了分数运算和今有术的道理，并推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程 组和正负数的定义阐明方程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方 程组的解只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加法消元 可以统一为一种方法。刘徽指出，在开方求得整数后，还可以继续开方， “求其微数” 。这 不仅解决了求无理根的问题，而且提出了十进小数的方法。他创造割圆术，利用极限的思 想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率 157/50 和 3927/1250。他提出用无穷 分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为 2
7、: 1, 解决了一般立体体积的关键 问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽实际上应用了下列公理：等高的两 立体，若其任意同高处的水平截面积成比例，则这两立体体积亦成同样的比例；并根据这 个公理,指出球的体积与其外切“牟合方盖”(图 7, 两个等半径的圆柱正交的共同部分)的体 积之比为:4，为彻底解决球的体积提出了正确的途径。1.7 无理数的发现中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。 九章算术开方术中指出了存在有开不尽的情形： “若开方不尽者，为不可开”， 九章算术的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词“面”。 “面”，就 是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理
8、数时惊慌失措的表现相比，中国古代数 学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种 十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。为九章算术作注的三国时代数学家刘徽就在 “开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过 程中， “其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则虽有所弃之数，不足言之也”。十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认 为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。中国古代数学家正是在严格遵循十进位制 的
9、筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。 周髀算经中勾股定理的公式与证明首先，周髀算经中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股 各自乘，并而开方除之，得邪至日”（周髀算经上卷二）而勾股定理的证明呢，就在周髀算经上卷一2 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度夫天可不阶而升，地不可 得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修 四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以 治天下者，此数之所生也。”周公对古代伏
10、羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度）， 就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。 “数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络数之法出于圆 （圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相 等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图选择一个 勾三（圆周率三）、股四 （四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的
11、证明过程以矩的两条边画 正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩” 得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三 个正方形。“两矩共长二十有五，是谓积矩。”：此为验算勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五 相等从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个 长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。注意： 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角
12、。古代“矩”指L型曲尺，“矩形” 才是“矩”衍生的长方形。 “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本 多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐3、李国伟4、李继闵5、曲安京1等学者研究，“既方之， 外半其一矩”更符合逻辑。 长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称: “两矩者, 句股各自乘之实。共长者, 并实之数。由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误 以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。其实不然，摘录赵爽注释周髀算经时所做的句股圆方图
13、2“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦。案: 弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实, 加差实 亦成弦实。”注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。 赵爽弦图。注意中间的中黄实 参考资料： 1. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於数学传播20卷, 台湾, 1996年9月 第3期, 20-27页。 2. 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。 3. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於汉学研究,
14、1989年第7卷 第1期, 255-281页。 4. 李国伟: 论周髀算经“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於第二届科学史研讨会汇刊, 台 湾, 1991年7月， 227-234页。 5. 李继闵: 商高定理辨证. 刊於自然科学史研究,1993年第12卷第1期,29-41页 。 简单应用和比例理论 所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面 积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积 间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。 应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由
15、此以定任意多角形 的面积。作为另一简单实例，可以观察左图，如果看作把ACD 移置ACB 处，又把、各移到 、，那么依出入相补原理有： ，PCRC，（指面积相等） 由此得 POOSROOQ，POQCRBBC， 而 POAR，OSQC，PQAB，RBOQ， 因而 AROQROQC，ABOQBCQC， 就是相似勾股形 ARO 和 OQC、ABC 和 OQC 的相应勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比 例关系。 以上这些极简单的结果虽然没有在九章中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体 问题，参看刘注。测望术和重差理论 在周髀中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是： 见上图，其中
16、 A 是日，BI 是地平面，ED、GF 是先后两表，DH 和 FI 是日影。海岛改测日高为 测海岛的高，同图 AB 是海岛，H、I 是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为： 刘徽证明和所用的图都已经失传，但是据现存日高说和残图以及其他佐证，原证当大致如下： 由出入相补原理，得 JGGB，（1） KEEB，（2） 相减得 JGKEGD， 所以 （FIDH）ACEDDF， 即 表目距的差（岛高表高）表高表距。 这就得到上述公式。 按海岛共九题都属测望之类，所得公式分母上都有两测的差，“重差”这一名称可能由此而来。 其余八题公式都可依出入相补原理用和上面类似的方法证明，现在从略。元朱世
17、杰四元玉鉴中有和海岛完全类似的几个题，朱世杰对这些题的解法应该有古代相传 下来的一定来历。依据朱对海岛一题的解法，我们认为原证比上面所示的可能稍复杂一些。如下图，现在 重作证明如下： 由出入相补原理，除（1）、（2）外又有 PGGD，（3） 由（1）、（2）、（3）得 JNEBKE， 所以 MIDH，（4） FMFIMIFIDH表目距的差。 由（3）式就得到海岛公式。 如果依照欧几里得几何体系的习惯证法，那就自然应该添一平行线 GMAH，如下图，再利用相 似三角形和比例理论作证。清代李璜以及近代中外数学史家大都依这一方法补作海岛公式的证明，这当然 不是刘徽的原意，也和我国古代几何的传统相违背。
18、注意作平行线的时候应有 FMDH，和前面（4） 式相比，M 和 M的位置完全不同。 明末耶稣会传教士利玛窦（15521610）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系 。他曾口授测量法义一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在 FI 上取 一点 M 使（4）式成立，再用比例理论作证，见本页上图。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取 M使FMDH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。现在提出这一问题 ，希望大家共同探讨。 勾股定理 在周髀和九章中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾 2 股 2 弦 2 。虽然原证不 传，但是据勾股说以
19、及刘注，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残 图，这几方面互相参照，原证应该大致如下： 如下图所示，勾股形是 ABC，BCED 是勾方，EFGH 是股方，把二者的和 DBCFGH 中的IBD 移 到ABC，GIH 移到GAF，就得到 ABIG弦 2 ，由此就得到勾股定理。 欧几里得几何原本中勾股定理的证明如下图所示，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面 积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在几何原本中直到卷一之末出现这一定理，而在整个 几何原本中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在九章中已经有多种多样的应用，成为两千来年数 学发展的一个重要出发点，参阅以下各节和文末附
20、表。 在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。 勾、股、弦和它们的和差互求 勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。除勾、股、弦互求就是开平方之外，九章勾股章中有不少这方面的问题： 第一， 知股弦差、勾，求股、弦（五题）； 中国古代最伟大的数学家-刘徽 作者：赵行之 发布时间：09-11-10 阅读：2072 所属分类：数学史 刘徽（大约生于公元 250 年左右），三国后期魏国人，淄川（今山东邹平）人。他是中国数学史上一位非常伟大的数学家，也 是中国古典数学理论的奠基者之一，在世界数学史上，也占有杰出的地位。其生卒年月、生平事迹，史书上很少记
21、载。下面从 几个方面来认识一下这位伟大的数学家。 一、数学著作 九章算术注 刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。他的主要著作有： 1、九章算术注10 卷，成书于公元 263 年（隋书律历志记载：“魏陈留王景元四年（263 年），刘徽注九章） 九章算术是中国古代的一本重要数学著作，作者不祥，它是中国古代算法的基础。书中记载了从先秦到东汉的数学成果， 共提出了 246 个数学问题，并给出相应的解法，共分为九大类，分别是： （1）方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，包括三角形、梯形、圆、弧与环形等形状面积的计算方法，是世界上最早 对分数进行系统叙述的著作； （2）粟米：主要是
22、粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题； （3）衰（读作“翠”）分：主要内容为比例，算术级数和几 何级数的算法； （4）少广：主要讲开平方和开立方的方法； （5）商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体 积的计算为主； （6）均输：计算税收等相关问题，比如缴税的时间周期， 按人口征税等； （7）盈不足：双设法的问题，实质上是已知两点求通过两 点的直线方程； （8）方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减 法，在世界数学史上是第一次出现； （9）勾股：勾股定理的应用。 九章算术在许多方面：如解联立方程、分数四则运算、正负数运算、几何图形的面积体积计算等，在当时，都属于世界先 进之列
23、。但原书文字过于简单，往往只有解法而缺乏证明过程，并且在传抄的过程中，不可避免地会出现错误；所以刘徽为 九章算术作注，在其中阐明了解题方法的步骤和推导过程，还给出了一些算法的证明，并纠正了原书中的一些错误。而在作注的过程中，他还做出了很多创造性的工作，提出了不少超出原著的新理论。有了刘徽的注释，九章算术才得以成为一部 完美的中国古代数学教科书。（刘徽注九章算术时年仅 30 岁左右。） 以九章算术代表的中国古代传统数学，与欧几里得几何原本为代表的西方数学，代表着两种迥然不同的体系。九章 算术着重应用和计算，其成果往往以算法形式表达。几何原本着重概念与推理，其成果以定理形式表达。从而形成东西 辉映
24、、大相径庭的两部数学名著。而刘徽和欧几里得也成为了古代东西方两大数学体系的代表人物。 公元元年前后，盛极一时的古希腊数学走向衰微，九章算术的出现，标志着世界数学研究中心从地中海沿岸转到了中国， 开创了东方以应用数学为中心占据世界数学舞台主导地位千余年的局面。 2、海岛算经1 卷 海岛算经是刘徽所著的一部运用几何和三角知识测量“可望而不可即”目标的高、远、深、广的数学测量学著作，原名为 重差（所谓“重差术”便是计算极高和极低的方法），附于刘徽九章算术注之后作为第十章。唐代将重差从九章 分离出来，单独成书，按第一题“今有望海岛”，取名为海岛算经，是算经十书(古代国子监算学学习和考试用书) 之一 ，
25、并且规定海岛算经的学习期限为三年，是其他算经学习期限的三倍。 现传版本的海岛算经是清初编辑四库全书时，戴震从明朝永乐大典中重新抄录出来的，但只剩下九个问题，并且 只存刘徽文字，原刘徽作的图和原刘徽所作的注释不存。 1、望海岛 2、望松生山上 海岛算经 3、南望方邑 4、望深谷 5、登山望楼 6、南望波口 7、望清渊 8、登山望津 9、登山临邑 这九个问题的所有计算都是用筹算进行的。 重差和九章重差图是陈子（公元前六、七世纪的中国数学家）测日法的推广。 海岛算经所提及的“重差术”是透过对事物对象的反覆观测（第一、三、四问要观测两次，第二、五、六、八问要观测三次 ，第七、九问要观测四次），在不引入
26、三角函数的情况下，刘徽借助于相似勾股形的比例关系将中国古代的“重差”理论进一步 发展，从而计算出精确的结果，同时展示了两者的演化历程，这标志着中国古代数学家在测量技术及理论方面达到了新的高度 。 中国数学史大系一书中评价海岛算经：“使中国测量学达到登峰造极的地步。 3、九章重差图l 卷 九章重差图记录了九章算术注及重差中的图形，及是一本图册。刘徽以后，学习和研究九章算术的人要把图 册和书相配合，直至宋代图册失传。 4、鲁史欹器图1 卷 鲁史欹器图出现在隋朝，为“仪同刘徽注”，此刘徽可能为数学家刘徽，这个问题在中国古代数学史上不同看法。 （3、4 的看法，节选自吴文俊主编，中国数学史大系第三卷第
27、二编） 二、数学成就 刘徽的数学成就大致为两方面： 1、清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，这方面集中体现在九章算术注中，它实已形成为一个比较完整的理论 体系： 在数系理论方面 用数的同类(是指用同一度量单位即法，即现在分数中的分母所得之数，后刘徽又在正负数的概念中用同类来指正数)与异类（即实，即现在分数中的分子，后也指负数）阐述了通分（刘徽概之为“齐同以通之” ，即现在分数运算、比较时，把分母相 乘以达到分母相等，即得到“同”）、约分（用各分数的分母除“同”而得各分数的率，用“率”乘各分子即得“齐”，“齐”就可以比较了 ），这样就可进行分数的四则运算，以及繁分数化简等的运算。 （比如
28、，“同”即为 ，各分数的“率”即为 ， ， ，直接用它们乘以 、 ， ，即得到相应的“齐” ，然后就可进行计算、比较） 在少广章开方术的注释中，他从“开之不尽”的意义出发，论述了无理方根的存在；并且为了开方运算的方便而“以面命之” ，即 从几何的观点出发，在“量之不尽”时用线段（如 ，用正方形的对角线表示）来表示无理方根。并创造了用十进制小数来表示无 理数的立方根。他是世界上最早提出十进制小数概念的人。 另外，他还方程章中正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则。（刘徽注中的正负数的定义是“今两算得失相反，要令正 负以名之”。另外，中国古代数学家在用算筹解方程时，一般用红色的算筹来代表正数，
29、黑色的算筹来代表负数；也有用三角形 算筹代表正数，四边形算筹代表负数的。） 【算筹的发明和十位进制的创立】 古代的象牙算筹 中国古代有一句谚语，叫做“运筹策帷幄之中，决胜于千里之外”。其实，筹策的本意是指中国古代的一种计算工具-算筹，又 称算子，在中国历史上曾经使用了几千年之久，直到明代以后才被算盘所替代而退出历史舞台。 根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为 13-14 厘米，直径 2 至 4 毫米，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部 随身携带。需要记数和计算的时候，就把它
30、们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。 算筹是在结绳记数、契刻记数等记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时，现在已经不可查考了，但至迟到春秋 战国，算筹的使用已经非常普遍了。 那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢？ 古代的数学家们创造了纵式和横式两种摆法，这两种摆法都可以表示 1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数码。下图便是算筹记数的两种摆法： 古代算筹记数的摆法 那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两 方面的含义。其一是“十进制”，即每满十数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百；其二是“位值制”
31、，即每个数码所表 示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码“2”，放在个位上表示 2，放在十 位上就表示 20，放在百位上就表示 200，放在千位上就表示 2000在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制 的荫芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。 按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式这样从右到左，纵横相间， 遇零则置空，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法， 所以既不会混淆，也不会错位。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行
32、的十进位制记数法是完全一致的。 中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是 显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得 位值制，但用的是 20 进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是 60 进位。20 进位至少需要 19 个数码，60 进位则需要 59 个 数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用 9 个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之 所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。 马
33、克思在他的数学手稿一书中称十进位记数法为“最妙的发明之一”，确实是一点也不过分的。 在筹式演算理论方面 先给“率”以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础。 他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 如方程章第一问： 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下 禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？ 【古代解释】答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一， 中禾一秉，四斗、四分斗之一， 下禾一秉，二斗、四分斗之三。 方程术曰，置上禾三秉，
34、中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又 乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以 法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾 秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。 【现代解释】解：设上、中、下禾每秉各有 x、y、z斗，则据题意可列成联立一次方程组 其术文演算过程可以用矩阵的知识表示如下： 综上：上、中、下禾每秉各有 ， ， 斗。 在勾股理论方面 刘徽勾股证明 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，
35、建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直” 之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。 在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种平面几何图形、空间几何体的面积及体积 计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。 2、在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见： “割圆术”与圆周率 他在九章算术 圆田术注中，刘徽创造了“割圆术”，并用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，在得到圆面积公式的过程中又 准确的求解了圆周率（即 ），并给出了计算的过程。他首先从圆内接六边形开始割圆，每
36、次边数倍增，算到 192 边形的面积 ，得到 =157/50=3.14，称为“徽率”（有些书上提到说：刘徽算到 3072 边形的面积，得到 =3927/1250=3.1416，但是，经 论证，这个结果应该是祖冲之用刘徽的方法得到的，据中国数学史大系）。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少， 割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣“，这可视为中国古代极限观念的佳作。 刘徽割圆术 而根据他提出的方法，大约两百年后，祖冲之父子突破性地把圆周率计算到了小数点后的第七位。 刘徽原理 在九章算术阳马术注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 “牟合方盖”说 在
37、九章算术开立圆术注中，他指出了球体积公式 V=9D3/16(D 为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 重差术 在白撰海岛算经中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术 由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在 7 世纪，欧洲在 1516 世纪才开始研究两次测望的问题。 海岛算经望海岛图 如海岛算经第一问望海岛： 今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表 末三合。从后表却行一百二十七
38、步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合。问岛高及去表各几何？ 【古代解释】答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。 术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法 。除之，得岛去表里数。 古代所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸；里180 丈=1800 尺；1 丈=10 尺：1 步=6 尺，1 尺=10 寸。 【现代解释】分析：望海岛二次测量示意图由于前表去岛的距离不能直接测量，刘徽用同样高度的表杆前后测量，表杆与地面 垂直，人眼贴地，望表杆顶和岛上山顶对齐，这时测得人眼和前表杆的水平距离叫“前表却行”(DG=123 步)；再将
39、表杆往后移动 ，两表杆间距称为“表间”(DF=1000 步)，依法测出“后表却行”FH=127 步。 解：设岛高为 AB，前表杆离岛的距离为 BD 已知表高 CD=3 丈=5 步，前表却行 DG=123 步，后表却行 FH127 步，则相多为 FH-DG=4 步，表间为 DF=1000 步， 因为： ， 所以： , 所以： 即 所以： 所以： , 带回，得 所以：得岛高 步 尺 前表去岛远近 步 尺 三、贡献和地位 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位不高，但人格高尚。刘徽思想敏捷、方法灵活，既提倡推理又主张直观，他 是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽治学态度严
40、肃，为后世树立了楷模。在求园面积公式时，在 当时计算工具很简陋的情况下，他开方即达 12 位有效数字。他在注释“方程”章节 18 题时，共用 1500 余字，反复消元运算达 124 次，无一差错，答案正确无误，即使作为今天大学代数课答卷亦毫无逊色。 他善于在深入实践的基础上精炼出一般的数学原理, 并解决了许多重大的理论性问题。后人把刘徽的数学成就集中起来, 认为 他为我国古代数学在世界上取得了十个领先, 它们是: 1、他最早提出了分数除法法则； 2、他最早给出最小公倍数的严格定义； 3、他最早应用小数； 4、他最早提出非平方数开方的近似值公式； 5、他最早提出负数的定义及加法法则； 6、他最早
41、把比例和三数法则结合起来 (若 , 则 ) ； 7、他最早提出一次方程的定义及其完整解法； 8、他最早创造出割圆术, 计算出圆周率即“徽率” ； 9、他最早用无穷分割法证明了圆锥体的体积公式； 10、他最早创造“重差术”, 解决了可望而不可及目标的测量问题。 经他注释的九章算术影响、支配中国古代数学的发展 1000 余年，成为东方数学的典范之一，在刘徽的九章算术注之 后中国古代数学才真正形成了自己的理论体系。 同时，中外学者对海岛算经的成就，也给予很高的评价。海岛算经的英译者和研究者，美国数学家弗兰克斯委特兹说 ：“直到文艺复兴时期，西方测量学才差强达到海岛算经水准。中国在数学测量学的成就，超
42、越西方约一千年。” 因此，他的工作对中国古代数学发展产生了深远影响，为我国古代数学的发展做出了重要的贡献，并且在世界数学史上也确立 了崇高的历史地位。当代数学史学家李迪说：“刘徽是中国历史上最伟大的数学家”。 數書九章9卷，1247年南宋秦九韶撰。分為大衍、天時、田域、測望、賦 役、錢穀、營建、軍旅、市易等 9類，每類 9題，凡 81題。其成就之大，題 設之複雜，都超過以往算經，有的問題有 88個條件，有的答案多達 180條， 軍事問題之多，方法之高深，在中國傳統數學著作中是空前絕後的。大衍類提 出大衍總數術，系統地解決了一次同餘式組解法問題，其核心是大衍求一術， 18、19世紀的數學大師歐拉
43、、高斯才達到或超過其水平。田域類提出正負開 方術，將以增乘開方法為主導的高次方程解法發展到完備的程度，是解決各類 問題的主要方法，有的方程高達 10次，超前其他文化傳統幾個世紀。在線性 方程組的解法上，完全以互乘相消法取代直除法，提出了與海倫公式等價的三 斜求積公式，使用了完整的十進小數表示法，等等，都是其重要成就。所有的 問題都密切聯繫南宋社會經濟和抗元戰爭實際，是瞭解其情況的翔實著作，比 如，書中的測雨器、量雪器是世界上最早的記載，計作清臺題有現存世界上最 早的天文臺設計圖。秦九韶的自序闡發了數與道非二本、數術之傳，以實為體，以及關心國計民生、施仁政等主張，並將數學看成實現這些目的的 工具的思想。
