1、 应用偏微分方程 教学大纲 一、 课程名称 应用偏微分方程 (Partial Differential Equations and Their Applications） 二、 学时与学分 学时： 48 学分： 3 (卓越工程师班 学时： 40 学分： 2.5) 三、 授课对象 光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业 四、 先修课程 微积分、线性代数、复变函数与积分变换 五、 教学目的 应用偏微分方程 课程 是应用数学的重要基础，大量 偏微分方程 模型源于现实生活。比如，量子力学理论依赖于薛定谔方程，流体力学 理论依赖于各种形式的 Navier-Stokes 方程，以及
2、电磁场理论依赖于麦克思韦方程等等。 本 课程 各个部分形成独立的模块 ， 重点讨论偏微分方程中四种最基本的方程：传输方程、波动方程、热传导方程和 位势 方程的特点和相应定解问题的求解方法，特别对偏微分方程模型在物理、力学等学科中的应用问题给予了极大的关注，目的在于将偏微分方程的基本理论与其在实际问题中的应用之间架设一座桥梁，帮助 学习 者了解近代物理学等学科中一些重要的偏微分方程的来龙去脉，从而掌握运用这些偏微分方程解决实际问题的基本方法 。 六、 主要内容、基本要求及学时分配 本课程系统地介绍 四 种典型方程定解问题的解法及其在 光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业
3、光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业 中的应用。内容包括弦 传输方程 的特征线法、 振动方程与定解条件、 热传导方程与定解条件、拉普拉斯方程与定解条件、分离变量法、行波法与积分变换、格林函数法、 贝塞尔函数及其应用 、勒让德函数及其应用 等。 主要内容 第一章 绪论 （ 5 学时） 1.1 典型方程和定解条件的物理背景和数学描述 （ 2 学时） 1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程 1.1.2 能量守恒与热传导方程 1.1.3 静电位势与拉普拉斯方程 1.1.4 质量守恒与连续性方程 1.2 偏微分方程的基本概念 （ 2 学时） 1.2.1 基本概念 1.2.2 二阶
4、线性偏微分方程的分类 1.2.3 线性方程的叠加原理 1.3 定解问题的适定性 （ 1 学时） 第二章 传输方程 （ 4 学时） 2.1 一阶线性方程的特征线法 （ 3 学时） 2.1.1 一阶线性常系数偏微分方程 2.1.2 种群分析与存货量分析 2.1.3 一阶线性变系数偏微分方程 2.1.4 对气体流的应用 2.1.5 一阶线性方程解的参数形式 2.1.6 三维一阶线性偏微分方程 2.2 传输方程 （ 1 学时） 第三章 波动方程 （ 12 学时） 3.1 一维初值问题 （ 4 学时） 3.1.1 无界弦自由振动问题的行波法 3.1.2 无界弦自由振动问题的傅里叶变换法 3.1.3 依赖
5、区间 ,决定区域和影响区域 3.1.4 无界弦的强迫振动问题 3.2 高维初值问题 （ 2 学时） 3.2.1 三维波动方程的球面平均法 3.2.2 惠更斯原理 3.2.3 二维波动方 程的降维法与泊松公式 3.2.4 波的弥散 3.3 初边值问题 （ 6 学时） 3.3.1 有界弦自由振动问题的分离变量法 3.3.2 有界弦自由振动问题的积分变换法 3.3.3 有界弦强迫振动问题的特征函数展开法 3.3.4 具有非齐次边界条件的定解问题 3.3.5 圆形薄膜对称振动问题 3.4 波动方程定解问题探究 （自学） 3.4.1 波动方程定解问题的齐次化原理 3.4.2 半无界弦的振动问题 3.4.
6、3 矩形区域上波动方程的初边值问题 3.4.4 圆形薄膜振动问题 3.4.5 高频传输线中的电压波动问题 3.4.6 非齐次边界条件的齐次化 第四章 热传导方程 （ 8 学时） 4.1 一维初值问题 （ 2 学时） 4.1.1 无限长杆上初值问题的傅里叶变换法 4.1.2 半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法 4.2 一维初边值问题 （ 4 学时） 4.2.1 无热源有限长杆上初边值问题的分离变量法 4.2.2 有热源有限长杆上初边值问题的特征函数展开法 4.2.3 具有非齐次边界条件的热传导问题 4.3 高维初边值问题 （ 2 学时） 4.3.1 圆盘上轴对称热传导问 题 4.3.2 无限长
7、圆柱上对称热传导问题 4.4 热传导方程定解问题探究 （自学） 4.4.1 热传导方程定解问题的齐次化原理 4.4.2 球上径向对称热传导方程初边值问题 4.4.3 有限长圆柱上轴对称热传导问题 第五章 拉普拉斯方程 （ 8 学时 +4 学时 ） 5.1 二维拉普拉斯方程的边值问题 （ 4 学时） 5.1.1 矩形域上拉普拉斯方程的分离变量法 5.1.2 圆域上拉普拉斯方程的分离变量法 5.1.3 二维泊松方程的特征函数展开法 5.1.4 泊松方程的试探法 5.1.5 上半平面拉普拉斯方程的积分变换法 5.2 三维拉普拉斯方程的边值问题 （ 4 学时） 5.2.1 圆柱内稳定温度分布问题的分离
8、变量法 5.2.2 球域内稳定温度分布问题的分离变量法 5.3 拉普拉斯方程的格林函数法 （ 4 学时） 5.3.1 拉普拉斯方程的基本解 5.3.2 格林公式 5.3.3 调和函数的积分表示 5.3.4 调和函数的基本性质 5.3.5 格林函数 5.3.6 格林函数的基本性质 5.3.7 上半平面的格林 函数 5.3.8 圆域上的格林函数 5.4 拉普拉斯方程定解问题探究 （自学） 5.4.1 长方体上拉普拉斯方程的边值问题 5.4.2 球域上拉普拉斯方程的狄利克雷外问题 5.4.3 上半空间的格林函数 5.4.4 球域中的格林函数 第六章 偏微分方程常用数学工具 （ 7 学时） 6.1 傅
9、里叶分析 （自学） 6.1.1 正交函数系与正交级数展开 6.1.2 傅里叶级数 6.1.3 傅里叶积分 6.1.4 傅里叶变换 6.2 拉普拉斯变换 （自学） 6.2.1 拉普拉斯变换的定义 6.2.2 拉普拉斯变换的性质 6.3 常微分方程特征值问题 （ 2 学时） 6.3.1 常见线性常微分方程 6.3.2 施图姆 -刘维尔特征值问题 6.4 贝塞尔方程与贝塞尔函数 （ 3 学时） 6.4.1 贝塞尔方程的无穷级数解 6.4.2 贝塞尔函数的性质 6.4.3 傅里叶 -贝塞尔级数 6.5 勒让德方程与勒让德多项式 （ 2 学时） 6.5.1 勒让德方程的无穷级数解 6.5.2 勒让德多项
10、式 6.5.3 勒让德多项式的性质 6.5.4 傅里叶 -勒让德级数 基本要求 通过本课程的学习，要求学生： 1 掌握 传输方程 及其定解条件的实际背景。 2 掌握弦振动方程及其定解条件的实际背景。 3 掌握 热传导方程 及其定解条件的实际背景。 4 掌握 拉普拉斯方程 及其定解条件的实际背景。 5 熟练掌握求解 传输方程 定解问题的 特征线法 。 6 熟练掌握求解各种不同类型定解问题的分离变量法。 7 熟练掌握行波法及积分变换法。 8 掌握格林函数的概念及其应用。 9 掌握 贝塞尔函数的性质 及其 应用。 10 掌握 勒让德 函数的性质 及其 应用。 学时分配 本课程讲课 48 学时。各章节
11、分配学时如下表所示。 章 节 内 容 学 时 1.1 典型方程与定解条件的建立 2 1.2-1.3 偏微分方程基本概念 ,定解问题的适定性 ,偏微分方程的分类 3 2.1 一阶线性方程的特征线法 3 2.2 传输方程 1 3.1 波动方程一维初值问题 4 3.2 波动方程 高维初值问题 2 3.3 波动方程一维 初边值问题 4 3.3 波动方程 高维初边值问题 2 4.1 热传导方程一维初值问题 2 4.2 热传导方程一维初 边 值问题 4 4.3 热传导方程高维初边值问题 2 5.1 二维拉普拉斯方程的边值问题 4 5.2 三维拉普拉斯方程的边值问题 4 5.3 拉普拉斯方程的格林函数法 4
12、 6.1 偏微分方程概论，偏微分方程基本数学工具：傅里叶分析 1 6.2-6.3 偏微分方程基本数学工具：积分变换，特征值问题 1 6.4 贝塞尔方程与贝塞尔函数 3 6.5 勒让德方程与勒让德多项式 2 合计 48 备注 对 40 学时的课堂，在保持以上基本内容的基础上，任课教师可以根据学生的专业适当删减相关的教学内容 七、 教材及参考书 教材 ： 应用偏微分方程 ， 汤燕斌、吴娥子 编， 科学 出版社， 2010 参考教材： 1 数学物理方程（第 三 版） ，谷超豪等， 高等教育出版社， 2012 2 数学物理方法，管平等，高等教育出版社， 2001 八、 其他说明 应用偏微分方程 是一门理论性和实用性都较强的课程，要求学生具有较强的微积分、线性代数、复变函数与积分变换等知识为基础。
