1、1 第十五章 整式乘除与因式分解-知识点归纳： 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则 ： （ 都是正整数） n m n m a a a n m, 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项 式或单项式。 如： 5 3 2 ) ( ) ( ) ( b a b a b a 2、幂的乘方法则： （ 都是正整数） mn n m a a ) ( n m, 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： 10 2 5 3 ) 3 ( 幂的乘方法则可以逆用：即 如： m n n m mn a a a ) ( ) ( 2 3 3 2 6 ) 4 ( ) 4 ( 4 3、积的乘方法则： （ 是正整数）。积的乘方
2、，等于各因数乘方的 积。 n n n b a ab ) ( n 如：（ = 5 2 3 ) 2 z y x 5 10 15 5 5 2 5 3 5 32 ) ( ) ( ) 2 ( z y x z y x 4、同底数幂的除法法则 ： （ 都是正整数，且 n m n m a a a n m a , , 0 ) n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 3 3 3 4 ) ( ) ( ) ( b a ab ab ab 5、零指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于 1。 1 0 a 二、单项式、多项式的乘法运算： 1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数
3、或一个字母也是代数式 整式的有关概念 1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 ，这种表示就是 b a 2 3 1 4 错误的，应写成 。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如 是6次单 b a 2 3 13 c b a 2 3 5 项式。 多项式 1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式中不含字母的项叫做常数项。多 项式中次数最高的项的次数，叫做这个多
4、项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 括号前是“”，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里各项都变号。2 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法： ) ,
5、 ( 都是正整数 n m a a a n m n m ) , ( 都是正整数 ） （ n m a a mn n m ) ( ) ( 都是正整数 n b a ab n n n 2 2 ) )( ( b a b a b a 2 2 2 2 ) ( b ab a b a 2 2 2 2 ) ( b ab a b a 整式的除法： ) 0 , , ( a n m a a a n m n m 都是正整数 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 （3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号， 同时还要注意
6、单项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 （6） ) , 0 ( 1 ); 0 ( 1 0 为正整数 p a a a a a p p （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多 项式是不能这么计算的。 6、单项式与单项式相乘 ，把他们的系数，相同字母分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为 积的一个因式。如： 。 xy z y x 3 2 3 2 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项 ，再把所得的 积相加， 即
7、( 都是单项式)。如： = 。 mc mb ma c b a m ) ( c b a m , , , ) ( 3 ) 3 2 ( 2 y x y y x x 8、多项式与多项式相乘 ，用多项式的每一项乘以另一个多 项式的每一项，再把所的的 积相加。 9、平方差公式： 注意平方差公式展开只有两项 2 2 ) )( ( b a b a b a 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，另一 项互为相反数。右 边是相同项 的平方减 去相反项的平方。 如： = ) )( ( z y x z y x 10、完全平方公式： 2 2 2 2 ) ( b ab a b a 完全平方公
8、式的口诀：首平方，尾平方，首尾 2 倍中间放，符号和前一个 样。 公式的变形使用：（1） ； ab b a ab b a b a 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 ab b a b a 4 ) ( ) ( 2 2 ； 2 2 2 ) ( ) ( ) ( b a b a b a 2 2 2 ) ( ) ( ) ( b a b a b a （2）三项式的完全平方公式： bc ac ab c b a c b a 2 2 2 ) ( 2 2 2 2 11、单项式的除法法则 ：单项式相除，把系数、同底数幂分 别相除，作 为商的因式， 对于只在被除式里含有的字母， 则连 同它的指数作为商的一个因式。
9、 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商3 的一个因式。 如： b a m b a 2 4 2 49 7 12、多项式除以单项式的法 则 ：多项式除以单项式，先把 这 个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即： c b a m cm m bm m am m cm bm am ) ( 三、因式分解的常用方法 1、提公因式法 （1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各 项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提
10、取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后， 另一个因式的项数与原多项式的项数一致， 这一点可用来检验是否漏项 （3）注意点：提取公因式后各因式 应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要 提出“” 号，使括号内的第一项的系数是正的 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式： 平方差公式： a 2 b 2 （a b）（a b） 完全平方公式：a 2 2ab b 2 （a b） 2a 2 2abb 2 （a b） 23、在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和 实际运用意识。 如：对于任意自然数 n， 都能被
11、动 24 整除。 2 2 ) 5 ( ) 7 ( n n 1. 2. 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( a a ) 6 )( 6 ( 2 2 x x 3.(2a+b+3)(2a+b3) 4. 2 2 4 2 3 2 b ab a ab 5.（1） 2004 +（ ） -2 （3.14） 0 1 2 1、化简后求值： ，其中 2 2 3 5 2 3 1 3 a a a 3 1 a 2.化简后求值： ，其中 ) ( 4 2 ) 2 )( 2 ( 2 2 xy y x xy xy . 3 2 , 6 y x 3. 利用所学的知识计算： 2005 2003 2004 2 四、解答题（7+8+5=20
12、分） 1已知某长方形面积为 ，它的一边长为 ，求这个长方形的另一边。 a ab a 2 6 4 2 a 2 2一个正方形的边长如果增加 3cm，那么它的面积就增加 63cm 2 ，求这个正方形现在的边长和面积(用 方程的方法来解) 3已知 ， ，求 。 5 3 a 10 9 b b a 2 3 五、附加题（8+6+6=20分）4 1已知 ,你能用完全平方公式求出 的值吗？ 0 5 2 4 2 2 b b a a b a、 2已知 为正整数，且 ，求 的值. n 7 2 n x n n x x 2 2 2 3 4 3 3、 1.计算： ) ( ) ( ) 2 ( 2 3 2 为正整数 n xy
13、y x n n n (1)（ a 2 b） 3 （-9ab 3 ）（- a 5 b 3 ） (2) 3 1 2 1 ) ( 5 ) 2 1 ( 2 2 2 2 2 ab b a a b ab a (3) (4) (2xy1)(2xy1) ) )( )( ( 2 2 y x y x y x (5) (6) （3xy2x 2 3y 2 ）（x 2 5xy3y 2 ） 5 5 x y x y 2. 先化简，再求值: (x+2) 2 -(x+1)(x-1),其中x=1.5 , 其中 x y y x y x y x 2 5 ) 3 )( ( ) 2 ( 2 2 2 1 , 2 y x (3) ，其中 .
14、 ) 2 )( 2 ( 2 ) )( 2 ( ) 2 ( 2 b a b a b a b a b a 2 , 2 1 b a(4) (2a3b)(3b2a)（a2b） 2 ,其中：a=2,b=3 3用简便方法计算： (1) 10298 (2)105 （3）99991000110000 2 4.有这样一道题，计算：2（x+y）(xy)+（x+y） 2 xy+ （xy） 2 +xy的值，其中x=2006，y=2007；某同学把 “y=2007”错抄成“y=2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由。 4.已知： ，且 异号， 是绝对值最小的负整数， ，求 , , A ab B
15、 ab a b C a b ab 2 2 2 3 2 3 a b 、 a b 1 2 3AB- AC的值 2 1 5若（x 2 +mx+8）（x 2 -3x+n）的展开式中不含x 3 和x 2 项，求m和n的值 6试求(2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 32 +1)+1 的个位数字 7比较 2 100 与 3 75 的大小 8解方程 3x(x+2)+(x+1)(x-1)=4(x 2 +8) 118求不等式(3x+4)(3x-4)9(x-2)(x+3)的正整数解5 119已知 2 a =3 b =6 c (a，b，c 均为自然数)，求证：ab-cb=ac 120求证：对于任意自然数 n，n(n+5)-(n-3)(n+2)的值都能被 6整除
