1、数据的统计分析 一、问题背景与实验目的 在日常生活中我们会在很多事件中收集到一些数据（比如：考试分数、窗口 排队人数、月用电量、灯泡寿命、测量误差、产品质量、月降雨量等数据） ，这 些数据的产生一般都是随机的这些随机数据乍看起来并没有什么规律，但通 过数理统计的研究发现：这些随机数还是符合着某种分布规律的，这种规律被 称为统计规律 本实验旨在通过对概率密度函数曲线的直观认识、对数据分布的形态猜测、 对某些概率分布的密度函数的参数估计（以正态为例）以及进行简单的正态假 设检验，来揭示生活中的随机数据的一些统计规律 二、相关函数（命令）及简介 1. 概率密度函数 pdf 系列以 normpdf(
2、)为例，调用格式： y=normpdf(x, mu,sigma) ， 计算参数为 mu 和 sigma 的样本数据 x 的正态概率密度函数参数 sigma 必须为 正其中：mu 为均值，sigma 为标准差 2. 参数估计 fit 系列以 normfit( ) 为例，调用格式： muhat, sigmahat, muci, sigmaci = normfit(x, alpha)， 对样本数据 x 进行参数估计，并计算置信度为 100（1alpha）%的置信区 间如 alpha=0.01 时，则给出置信度为 99的置信区间不写明 alpha，即表示 alpha 取 0.05 3load( ) 函
3、数调用格式： S = load( 数据文件) 将纯数据文件（文本文件）中的数据导入 Matlab，S 是双精度的数组，其 行数、列数与数据文件相一致 4. hist(x, m)函数：画样本数据 x 的直方图，m 为直方图的条数，缺省值为 10 5. tabulate( )函数：绘制频数表返回 table 矩阵，第一列包含 x 的值，第二 列包含该值出现次数，最后一列包含每个值的百分比 6ttest(x,m,alpha) 函数：假设检验函数此函数对样本数据 x 进行显著性 水平为 alpha 的 t 假设检验，以检验正态分布样本 x（标准差未知）的均值是否 为 mh=1 表示拒绝零假设，h=0
4、表示不能拒绝零假设 7normplot(x) 或 weibplot(x) 函数：统计绘图函数，进行正态分布检验 研究表明：如果数据是来自一个正态分布，则该线为一直线形态；如果它 是来自其他分布，则为曲线形态 完全类似地可探索以下一系列函数的用法与作用： 8累积分布函数 cdf 系列，如：normcdf( ) 9逆累积分布函数 inv 系列，如：norminv( ) 10随机数发生函数 rnd 系列，如：normrnd( ) 11均值与方差函数 stat 系列，如：normstat( ) 三、实验内容 1. 常见的概率分布的密度函数及其图形 1）常见概率分布的密度函数（20 个，打的 10 个将
5、在后面作介绍） 序号 中文函数名 英文函数名 英文简写 备注 1 Beta 分布 Beta beta 2 二项分布 Binomial bino 3 卡方分布 Chisquare chi2 抽样 4 指数分布 Exponential exp 5 F 分布 F f 抽样 6 Gamma 分布 Gamma gam 7 几何分布 Geometric geo 8 超几何分布 Hypergeometric hyge 9 对数正态分布 Lognormal logn 10 负二项式分布 Negative Binomial nbin 11 非中心 F 分布 Noncentral F ncf 12 非中心 t 分
6、布 Noncentral t nct 13 非中心卡方分布 Noncentral Chi-square ncx2 14 正态分布 Normal norm 15 泊松分布 Poisson poiss 16 瑞利分布 Rayleigh rayl 17 T 分布 T t 抽样 18 均匀分布 Uniform unif 19 离散均匀分布 Discrete Uniform unid 20 Weibull 分布 Weibull weib 2）常见概率分布的密度函数文字说明与图形演示： （A）常见连续分布的密度函数 （1）正态分布 若连续型随机变量 的密度函数为： X 2 2 (x )2 1 ( ) e
7、, , 0 2 f x x 则称 为服从正态分布的随机变量，记作 特别地，称 X ) , ( 2 N X 时的正态分布 为标准正态分布，其概率分布的密度函数参见 1 , 0 ) 1 , 0 ( N 图 1一个非标准正态分布的密度函数参见图 2 中的虚线部分（ ） 1, 2 正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布，高斯(Gauss) 在研究误 差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布，所以正态分布又称高斯分布一 个变量如果是由大量微小的、独立的随机因素的叠加效果，那么这个变量一定 是正态变量比如测量误差、产品质量、月降雨量等都可用正态分布描述 x=-8:0.1:8; y=normpdf(x,
8、 0, 1); y1=normpdf(x, 1, 2); plot(x, y, x, y1, : ); -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 图 1 标准正态分布 图 2 标准正态与非标准正态 （2）均匀分布（连续） 若随机变量 的密度函数为 X 1 , ( ) 0, a x b f x b a 其他 则称 服从区间 上的均匀分布（连续） ，记作 ，其概率分布的 X , a b , X U a b
9、 密度函数见参见图 3 ) 2 , 0 ( b a 均匀分布在实际中经常使用，譬如一个半径为 的汽车轮胎，因为轮胎上的 r 任一点接触地面的可能性是相同的，所以轮胎圆周接触地面的位置 是服从 X 上的均匀分布，这只要看一看报废轮胎四周磨损程度几乎是相同的就可 0, 2 r 明白均匀分布的含义了 x=-10:0.01:10;r=1; y=unifpdf(x, 0, 2*pi*r); plot(x, y); -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 5 10 15 20 25 30 0 0.05
10、0.1 0.15 0.2 0.25 图 3 均匀分布（连续） 图 4 指数分布 （3）指数分布 若连续型随机变量 的密度函数为： X其中 ， , 0 ( ) 0, 0 x e x f x x 0 则称 为服从参数为 的指数分布的随机变量，记作 X Exp( ) X 在实际应用问题中，等待某特定事物发生所需要的时间往往服从指数分 布如某些元件的寿命；某人打一个电话持续的时间；随机服务系统中的服务 时间；动物的寿命等都常假定服从指数分布 指数分布的重要性还在于它是具有无记忆性的连续型随机变量即：设随 机变量 服从参数为 的指数分布，则对任意的实数 ，有 X 0 , 0 t s | , P X s
11、t X s P X t 其概率分布的密度函数参见见图 4 ) 4 ( x=0:0.1:30; y=exppdf(x, 4); plot(x, y) （B）常见离散分布的密度函数 （4）几何分布 在一个贝努里实验中，每次试验成功的概率为 ，失败的概率为 p 1 q p ，设试验进行到第 次才出现成功，则 的分布列为： (0 1) p , 2 , 1 , ) ( 1 k pq k P k 容易看到 是几何级数 的一般项，于是人们称它为几何 1 ( 1,2, ) k pq k 1 1 k k pq 分布，其概率分布的密度函数参见图 5 ) 5 . 0 ( p x=0:30; y=geopdf(x,
12、0.5); plot(x, y) 0 5 10 15 20 25 30 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 图 5 几何分布 图 6 二项分布 （5）二项分布 如果随机变量 的分布列为： X n k p p k n k X P k n k , , 1 , 0 , ) 1 ( ) ( 则这个分布称为二项分布，记为 当 时的二项分布又称为 0-1 ) , ( p n b X 1 n 分布
13、，分布律为 X 0 1 P 1 p p 一般的二项分布的密度函数参见图 6 . ) 05 . 0 , 500 ( p n x=0:50; y=binopdf(x, 500, 0.05); plot(x, y); （6）泊松(Poisson) 分布 泊松分布是 1837 年由法国数学家泊松（Poisson S.D.1781-1840）首次提出 的，其概率分布列是： ( ) , 0, 1, 2, , 0 ! k P X k e k k 记为 ，其概率分布的密度函数参见图 7 ) ( P X ) 25 ( 泊松分布是一种常用的离散分布，它与单位时间（或单位面积、单位产品 等）上的计数过程相联系，譬如
14、：单位时间内，电话总机接到用户呼唤次数； 1 平方米内，玻璃上的气泡数；一铸件上的砂眼数；在单位时间内，某种放射 性物质分裂到某区域的质点数等等 x=0:50; y=poisspdf(x, 25); plot(x, y); 注：对比二项分布的概率密度函数图可以发现，当二项分布的 与泊松 n p 分布 充分接近时，两图拟合程度非常高（图 6 与图 7 中的 ） ，直 20 n p 观地验证了泊松定理（泊松分布是二项分布的极限分布） ，请对比图 6 与图 7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.
15、08 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 图 7 泊松分布 图 8 均匀分布（离散） （7）均匀分布（离散） 如果随机变量 的分布列为： X 1 ( ) , 1, 2, , P X k k n n 则这个分布称为离散均匀分布，记为 ，其概率分布的密度函 ( 1,2, , ) X U n 数参见图 8 ( 20) n n=20; x=1:n; y=unidpdf(x, n); plot(x, y, o- ); （C）三大抽样分布的密度函数 （8） 分布 2 设随机变量 相互独立，且同服从正态分布 ，则称随机变 n X X X , , 2
16、 , 1 ) 1 , 0 ( N 量 服从自由度为 的 分布，记作 ，亦称随 2 2 2 2 1 2 n n X X X n 2 ) ( 2 2 n n 机变量 为 变量其概率分布的密度函数参见图 9 、图 10 ， 2 n 2 ( 4) n ( 10) n 分布的密度函数解析式参见本章的附录表格 2 x=0:0.1:20; x=0:0.1:20; y=chi2pdf(x, 4); y=chi2pdf(x, 10); plot(x, y); plot(x, y) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.
17、16 0.18 0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 图 9 分布 图 10 分布 2 ( 4) n 2 ( 10) n （9） 分布 F 设随机变量 ， ，且 与 相互独立，则称随机变量 2 ( ) X m 2 ( ) Y n X Y n Y m X F / / 服从自由度为 的 分布，记作 ，其概率分布的密度函数参见 ) , ( n m F ) , ( n m F F 图 11，即 ， 分布的密度函数解析式参见本章的附录表格 ) 10 , 4 ( F F x=0.
18、01:0.1:8.01; y=fpdf(x, 4, 10); plot(x, y) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -6 -4 -2 0 2 4 6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 图 11 分布 图 12 分布 F t （10） 分布 t 设随机变量 ，且 与 相互独立，则称随机变量 ) ( ), 1 , 0 ( 2 n Y N X X Y n Y X T / 服从于自由度为 的 分布，记作 ，其概率分布的密度函数参见图 12， n t ) ( n t T 即 分布的密度函数解析式
19、参见本章的附录表格 ) 4 ( t t 细心的读者可能已经发现，图 12 的 分布图与图 1 、图 2 的正态分布十分相 t 似可以证明：当 时， 分布趋于标准正态分布 n t ) 1 , 0 ( N x=-6:0.01:6; y=tpdf(x, 4); plot(x, y) 2对给定数据画频数直方图（Histogram）或频数表（Frequency Table ） 假定有若干个给定的数据集，它们满足上述 10 种分布之一，我们现在的任 务就是利用画频数直方图等手段，确定它们到底服从哪一类分布 例 1：某一次书面考试的分数罗列如下，试画频数直方图 鉴于数据的数量较大（包含有 120 个数据）
20、，可以先在一个文本文件中输入， 保存为 data1.txt 75 69 100 80 70 74 78 59 72 73 63 79 69 81 62 87 80 66 86 75 70 85 85 64 78 65 69 67 78 72 60 50 57 83 77 79 78 74 67 83 71 67 71 74 84 74 83 75 73 74 60 91 65 69 80 63 86 67 73 80 74 68 72 80 95 61 77 85 82 71 80 76 83 69 87 76 72 69 66 86 74 87 59 81 88 75 83 71 77 81
21、 88 67 67 76 71 76 79 79 90 62 80 85 81 75 72 57 94 91 83 78 66 74 79 74 82 79 87 76 81 68 x=load(data1.txt); x=x(:); hist(x) 结果参见图 13从图形形态上来看，图 13 较为接近图 2 所示的正态分布 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 5 10 15 20 25 30 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 图 13 例 1 的频数直方图 图 14 例 2 的频
22、数直方图 例 2：某一次上机考试的分数罗列如下(data2.txt，包含有 130 个数据)，试画频 数直方图 51 70 95 91 70 83 83 96 66 61 79 79 57 85 95 83 63 71 71 72 91 60 69 100 67 87 72 50 60 63 87 98 71 74 96 55 83 67 92 78 56 62 77 79 84 55 59 61 93 56 82 61 88 97 98 95 73 79 81 87 56 92 53 57 93 89 77 89 56 92 99 86 68 57 91 57 81 65 80 99 79
23、95 79 86 74 56 70 61 72 81 57 75 98 89 69 61 71 77 72 78 70 73 67 59 62 86 84 93 82 80 90 94 84 89 80 67 97 73 80 94 69 64 51 51 92 62 52 86 67 97 x=load(data2.txt); x=x(:); hist(x) 结果参见图 14图 14 看上去很接近图 8 所示的均匀分布（离散） 例 3：以下给出上海 1998 年来的月降雨量的数据(data3.txt，包含有 98 个数据)： 1184.4 1113.4 1203.9 1170.7 975.4
24、 1462.3 947.8 1416.0 709.2 1147.5 935 1016.3 1031.6 1105.7 849.9 1233.4 1008.6 1063.8 1004.9 1086.2 1022.5 1330.9 1439.4 1236.5 1088.1 1288.7 1115.8 1217.5 1320.7 1078.1 1203.4 1480.0 1269.9 1049.2 1318.4 1192.0 1016.0 1508.2 1159.6 1021.3 986.1 794.7 1318.3 1171.2 1161.7 791.2 1143.8 1602.0 951.4 1
25、003.2 840.4 1061.4 958.0 1025.2 1265.0 1196.5 1120.7 1659.3 942.7 1123.3 910.2 1398.5 1208.6 1305.5 1242.3 1572.3 1416.9 1256.1 1285.9 984.8 1390.3 1062.2 1287.3 1477.0 1011.9 1217.7 1197.1 1143.0 1018.8 1243.7 909.3 1030.3 1124.4 811.4 820.9 1184.1 1107.5 991.4 901.7 1176.5 1113.5 1272.9 1200.3 150
26、8.7 772.3 813.0 1392.3 1006.2 x=load(data3.txt); x=x(:); hist(x) 结果参见图 15图 15 看上去很接近图 10 所示的 分布 2 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0 2 4 6 8 10 12 图 15 例 3 的频数直方图 图 16 例 4 的频数直方图 在重复数据较多的情况下，我们也可以利用 Matlab 自带的函数 tabulate(
27、 )产 生频数表，并以频数表的形式来发掘数据分布的规律 例 4：给出以下数据：(data4.txt，含有 46 个数据) 2 3 6 4 1 5 1 2 3 1 4 2 3 1 3 3 2 3 1 6 4 6 4 6 5 4 3 6 4 3 3 3 3 4 4 5 6 2 1 2 3 4 5 6 5 4 则： x=load(data4.txt); x=x(:); tabulate(x) hist(x, 6)Value Count Percent1 6 13.04%2 6 13.04%3 12 26.09%4 10 21.74%5 5 10.87% 6 7 15.22% 结果参见图 16图 16
28、 看上去好象没有什么规律可循 例 5：现累积有 100 次刀具故障记录，当故障出现时该批刀具完成的零件数如 下：(data5.txt) 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677
29、358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 799 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 x=load(data5.txt); x=x(:); hist(x) %结果参见图 17，很象图 2 所示的正态分布 figure histfit(x) %结果参见图 18，加入了较接近的正态分布的密度曲线 0 200 400 600 800 1000 1200
30、0 5 10 15 20 25 -200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 5 10 15 20 25 图 17 例 5 的 hist(x) 图 18 例 5 的 histfit(x) 3. 参数估计 当我们可以基本确定数据集 符合某种分布时，下一步我们就该确定这个 X 分布的参数了由于正态分布情况发生的比较多，故一般我们首先考虑的分布 将是正态分布考虑最多的也是正态分布情况 对于未知参数的估计，可分两种情况：点估计与区间估计 （1）点估计：构造样本 与某个统计量有关的一个函数，作为该统计量的 X 一个估计，称为点估计Matlab 统计工具箱中，一般采用最大
31、似然估计法给出 参数的点估计可以证明： 正态分布 中， 最大似然估计是 ， 的最大似然估计是 2 ( , ) N X 2 ； 2 1 2 ) ( 1 n i i X X n 泊松分布 的 最大似然估计是 ； ( ) P X 指数分布 的 最大似然估计是 ，等等 Exp( ) 1 X 例 6：已知上述例 1 的数据服从正态分布 ，试求出 和 的值 2 ( , ) N 2 解： x=load(data1.txt); x=x(:); mu, sigma = normfit(x) mu = 75.3417 sigma = 8.8768 因此， =mu=75.3412， =sigma 2 =8.8768
32、 2 =78.7982 2 （2）区间估计：构造样本 与某个统计量有关的两个函数，作为该统计量 X 的下限估计与上限估计，下限与上限一般能够构成一个区间这个区间作为该 统计量的估计，称为区间估计Matlab 统计工具箱中，一般也采用最大似然估 计法给出参数的区间估计 例 7：已知上述例 1 的数据集 服从正态分布 ，试求出 和 的置信 X 2 ( , ) N 度为 95的区间估计 解： x=load(data1.txt); x=x(:); mu, sigma muci, sigmaci = normfit(x) mu =75.3417 sigma =8.8768 muci =73.737176
33、.9462 sigmaci =7.878110.1678 因此，73.7371 76.9462，7.8781 10.1678 例 8：从自动机床加工的同类零件中抽取 16 件，测得长度值为(data6.txt)： 12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.01 12.03 12.06 已知零件长度服从正态分布 ，求零件长度的均值 和标准差 的置信 2 ( , ) N 度为 99%的置信区间 解： x=load(data6.txt); x=x(:); mu, sigma, mu
34、ci, sigmaci = normfit(x, 0.01) mu =12.0750 sigma =0.0494 muci =12.038612.1114 sigmaci =0.0334 0.0892 其中 muci(1)、muci(2)分别是平均值 在 99置信度下的上下限；而 sigmaci(1)、 sigmaci(2)分别是标准差 在 99置信度下的上下限 4正态假设检验 对总体的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数 理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设， 这就是假设检验问题这里仅以正态假设检验为例，来说明假设检验的基本过 程 正态假设检
35、验的一般过程是： （1）对比正态分布的概率密度函数图，判断某统计量的分布可能服从正态 分布； （2）利用统计绘图函数 normplot( )或 weibplot( )进行正态分布检验 （3）假设检验：利用 Matlab 统计工具箱给出的常用的假设检验方法的函数 ttest(x,m,alpha)，进行显著性水平为 alpha 的 t 假设检验，以检验正态分布样本 x（标准差未知）的均值是否为 m运行结果中，当 h=1 时，表示拒绝零假设； 当 h=0 时，表示不能拒绝零假设 例 9：试说明例 5 所示的刀具的使用寿命服从正态分布，并且说明在方差未知 的情况下其均值 m 取为 597 是否合理？
36、解：（1）对比正态分布的概率密度函数图（图 17、图 18）以及对正态分 布的描述（一个变量如果是由大量微小的、独立的随机因素的叠加效果，那么 这个变量一定是正态变量比如测量误差、产品质量等都可用正态分布描述） ， 可得初步结论：该批刀具的使用寿命可能服从正态分布 （2）利用统计绘图函数 normplot(x) 进行分布的正态性检验由于： x=load(data5.txt); x=x(:); normplot(x) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 0.003 0.01 0.02 0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.9
37、0 0.95 0.98 0.99 0.997 Data Probability Normal Probability Plot 图 19 刀具寿命分布正态性检验 结果如图 19 所示，经观察这 100 个离散点非常靠近倾斜直线段，图形为线 性的，因此可得出结论：该批刀具的使用寿命近似服从正态分布 （3）利用函数 ttest(x,m,alpha)进行显著性水平为 alpha 的 t 假设检验由于： x=load(data5.txt); x=x(:); h=ttest(x,597,0.05) 得：h = 0 检验结果：h=0 ，表示不拒绝零假设，说明所提出的假设“寿命均值为 597”是合理的 读者
38、可以验证：当执行 h=ttest(x,555,0.05) ，将得到 h = 1，表示拒绝零假 设请读者自行解释此结果的含义 四、自己动手 1了解本实验中虽已提及但没有详细介绍的其余 10 种概率分布的密度函 数，如 Beta 分布、Gamma 分布、Weibull 分布等，写出它们的概率分布的密度 函数表达式（本实验的附录中已经列出一部分） ，并画出相应的图形 2写出本实验所列出的 10 种概率累积分布函数表达式，并画出相应的概 率累积分布函数图形 3用 tabulate( )函数将例 1、例 2 的分数数据按频数表的方式进行统计，每 5 分为一个分数段（可参见例 4） ，观察数据分布有什么规
39、律 4用 weibplot(x)函数进行例 9 的正态分布检验，比较与例 9 的差别 5例 3 给出的上海 1998 年来的月降雨量的数据(data3.txt) 看上去很接近图 10 所示的 分布，但 分布好像没有直接进行参数估计的函数，试寻求对此 2 2 数据进行参数估计的可能方法 6向例 3 给出的上海 1998 年来的月降雨量的数据(data3.txt) 中“补充”一 些数据，使其看上去很接近正态分布，并求此时的均值 和标准差 的点估计 与置信度为 97%的区间估计 7在第 6 题基础上，说明在方差未知的情况下，其均值 取为 1150 是否 合理？ 8ttest( ) 函数的完整用法是：
40、h,sig,ci = ttest(x,m,alpha,tail) 其中 sig 为观察值的概率，当 sig 为小概率时则对零假设提出质疑（这里的 零假设为： 也可以是其它形式，例如： 、 等） 0 : H m 0 : H m 0 : H m ；ci 为真正均值 的 1-alpha 置信区间；不写 tail，表示其取值为 0 说明：若 h=0 ，表示在显著性水平 alpha 下，不能拒绝零假设；若 h=1，表 示在显著性水平 alpha 下，可以拒绝零假设 若 tail=0 ，表示备择（对立）假设为： （默认，双边检验） ；若 1 : H m tail=1，表示备择（对立）假设为： （单边检验）
41、 ；若 tail=-1 ，表示备 1 : H m 择（对立）假设为： （单边检验） 1 : H m 试用该函数求解如下问题：某种电子元件的寿命 X （以小时计）服从正态 分布， 、 均未知现测得 16 只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问当取 alpha=0.05 时：（1）是否有理由认为元件的平均寿命不大于 225（小时） ？（2）是否有理由认为元件的平均寿命不大于 295（小时）？ 9查看函数 ttest2( )的用法，并用于处理 Matlab 统计工具中的数据文件 gas.m
42、at回答问题：一月份油价 price1 与二月份油价 price2 的均值是否相同？ 五、附录 附录：Matlab 中的其它部分概率分布函数名及其数学意义列表： 函数名 对应分布 数学意义 batapdf Beta 分布 1 1 1 ( | , ) (1 ) , 0 1 ( , ) a b y f x a b x x x B a b chi2pdf 卡方分布 ( 2)/ 2 / 2 / 2 ( | ) , 0 2 ( / 2) n x n x e y f x n x n fpdf F 分布 2 2 2 2 2 ( | , ) 1 2 2 m m m n m n m x y f x m n m n n m x n 0 x gampdf Gamma 分布 ， 1 1 ( | , ) ( ) x a b a y f x a b x e b a 0 x raylpdf 瑞利分布 ， 2 2 2 2 ( | ) x b x y f x b e b x tpdf t 分布 1 2 21 2 ( | ) 1 2 n n x y f x n n n n x weibpdf Weibull 分布 1 ( ) ( | , ) ( ) e , 0 x y f x x x
