1、1复变函数的极限于秀芝(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国 )摘要：这是一篇讨论复变函数极限的论文，把我们所熟悉的数学分析中实变函数极限的定义、定理、性质，推广到复变函数中，并加以证明。但是实变函数极限的定义、定理、性质，并不完全适用于复变函数。例如：复变函数的极限没有保序性、正性，复变函数没有左、右极限等等。同时，复变函数极限的定义与数学分析中的二元函数极限的定义相似，故它又具有二元函数的某些性质。本篇论文由四个方面组成。首先，我们讨论的是复变函数在某个定点时极限的定义，即描述性极限的定义和表达式极限的定义。其次，我们讨论的是复变函数极限的定理，如 Heine 定理、Cauchy
2、 准则、复合函数极限的定理等等，并给出了详细的证明。再次，我们讨论的是复变函数极限的性质，即唯一性、绝对值的极限、局部有界性、四则运算法则等等，同时，我们也给了详细的证明。最后，我们讨论的是复变函数在无穷远点的极限。在这方面，我们将极限从有限的定点逐渐引入到无穷远点，进而给出了函数在无穷远点处极限的定义、运算法则、定理，并给予了相应的应用。关键词：Heine 定理 Cauchy 准则 极限 复数列 Complex variable function limitYu Xiuzhi(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzho
3、u 121000 China)Abstract：This is a discussion about complex variable function limit paper. It promotes the definition, theorem, nature of the real variable function limit to the complex variable function limit and performs to prove it .But the definition, the theorem, the nature of the real variable
4、function limit arent completely suitable for the complex variablefunction.For example, complex variable function limit doesnt have order nature,positive nature , and complex variable function doesnt have left limit and right limit , and so on . Simultaneously,the definition of the complex variable f
5、unction limit and the definition of the dual function limit of mathematica lanalysis is similar.So it also has some natures of dual function limit.This paper has four aspects.First,We discuss the defination of the complex variable function in some apex time , namely the definition of description lim
6、it and the definition of expression limit.Next,we discuss the theorem of the complex variable function limit.For example ,Heine theorem, Cauchy criterion,the theorem of composite function limit,and so on. And it has produced the detailed proof. Once more,we discuss the nature of the complex variable
7、 function limit. Namely unique nature , absolute value limit nature ,partially having nature, mathematical operations principle nature ,and so on . At the same time, we have also gave the detailed proof. Finally ,we discuss the complex variable function limit in the infinite point. In this aspect, w
8、e gradually introduce the limit from the limited fixed point to the infinite point, and then we have produced the definition and the theorem of limit in the infinite point . And we have gave the corresponding application.2Key words: Heine theorem Cauchy criterion Limit Duplicate sequence一、复变函数极限的定义1
9、定义定义 ：设 在点 的去心邻域内有定义，当 z 趋于 时 ， 的极限f0z 0()fz为 , 或是 ,指的是 可以任意接近 ，只要我们选的点0w0lim()zw()fzwz 足够地接近 ，而不等于它。定义： ，表明对每一个正实数 ，都存在一个正实数 ，00li()zf 使得当：0 如果极限 存在，则可以使点 以任意(,)Zxy的方式趋于原点，而极限值是唯一的，但是 是实数轴上的非零点，(,0)x则此时 ()10xifZ且当 是虚轴上的非零点,则此时 。(0)Zy()iyf于是，让 Z 沿实数轴趋于原点时，我们发现极限值为 1；另一方向，让 Z 沿虚轴趋于原点时，我们发现极限值为-1。但是，由
10、复变函数极限值的唯一性知，函数 的极限是不存在的。 （该()fz函数沿实数轴和虚轴趋于原点的图象，为下图所示）5二、复变函数的定理定理 1 设 ， ， ，那么()fz,)(,)uxyiv00zxiy0wuiv,当且仅当 且 。00lim()zfw00(,),)limxy0(,),)lim(xyv证明：（充分性）假如 且 成立，那0(,),)xyu00(,),)xyv么 的极限存在。设极限值为 ，即 。()fz 0wiv0li(zfwui由 知道，对任意的正实数 ，都存在正实数 ，使00(,),)li(xyuy1得当 时，有:221)02u（1） 对上述的 ，由 知，存在 0，使得当 00(,)
11、,)lim(xyvy2时，有:2200()(x02v（2）令 取 和 中较小的数，由120()(uivi= +0u0v和 2200()()xy= i= 0()()xy由（1） （2）所述， 有 60()()uivi2成立，只要 即可.0xy 这就是说，函数 的极限存在。()fz（必要性）假使函数 的极限存在 ，即 = .0lim()zf0w由此，对于每一个正实数 ，都存在一个正实数 ，使得 若 ，则由极限的否定表述知，存00lim()zf在 ，使得对任何 ，都存在 ，使得 当 时,有0z 0z。()fzw依次取 ， 则有数列 ，使得当 时，有1n,2 nz01nz。0()nfzw这表明 满足条
12、件 ，且 ,( )，但 nz0n0nz1,2，与充分性的假设矛盾。lim()nf0w从而有 = 。0li()zf0推论： 设 和 为异于 ，但又趋于 的数列，满足： 1n2nz0z0z，则 不存在。1li()nnfz2li()f0lim()zf定理 4（Cauchy 准则） 复变函数 在点 处有极限的充分必要()fz0条件是：对任何给定的 ，都存在 ，使得 ， ， ： ，12()fzf1z21z。20证明：（必要性）设 = ，于是，对于任给的 ，都存在0lim()zf0w0，使得，当 时，就有 。于是，当00()2fzw， 时，有1z2z12()fzf0w0()z +29= 。（充分性）设 是
13、满足条件 ( )，且 （ ）nz0nz0nz1,2的任一复数列，对于任给的 ，按假设存在 ，使得当及 时，就有 。0z0z()fzf对于上述的 ，因为 （ ） ，故有 ，使得当 时，0nzNnN就有 。0nz又因为 （ ） ，故当 ， 时，就有 ，0nz1,2 mn0mz，于是当 ， 时，有0nz Nn。()mnfzf由 Cauchy 收敛准则知 收敛。nf再由 Heine 定理知， 在点 的极限存在。()z0三、复变函数极限的性质1 （唯一性） 当一个函数 在一个点 存在极限，那么函数()fz0z的极限值是唯一的。()fz证明：设 ， ，那么，对于任意的正实数 ，存00lim()zfw0li
14、()zf在正实数 和 使得：当 时，有 。0z0()fz当 时，有 。w因此，如果 ，其中 为 和 当中较小的一个，那么，0z我们有= | |0w0()fzw1()fz+ 10=2 。由于 可以选得任意小，所以， 。10w即 ，即 。10w00lim()zf故极限是唯一的。例 4 设 = + ， ，试证明：当 时， 的极限不存()fzZ0z0z()fz在。证明：设 ，则 = 。izre-i re于是 = +()fii= 2iie= 。cos当 = 时，即 沿第一象限的角平分线趋于零时，有 。0z 0lim()zf当 = 时，即 沿 这条直线趋于零时，有 。4yx0li1zf由于 以不同的方式趋于零时， 不趋于同一个值，因此，由复z ()fz变函数极限值的唯一性知，该复变函数的极限不存在。例 5 设 = ， ，试证明：当 时， 的极限不存()fzReZ0z0z()fz在。证明：设 ，则 zxiy= ，ReZxiy当 z 沿直线 趋向于零时，有ykx
