1、 习题 1181 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式) (1) )21()2xxf解 因为 f(x)1x2 为偶函数 所以 bn0(n1 2 ) 而 6)(4/2100dxda210/cos)(/nxn(n1 2 )2210)(4d由于 f(x)在( )内连续 所以 x( ) 12cos)(n(2) 12 0 )(xxf解 21)(2011 dxdfan12011 coscoscoscos)( xdnxdnnxnfn (n1 2 )i22dxnxxdxdnfbn 120011 sisisisi)( (n1 2 ) 2co而在( )上 f(x)的间断点为 x2k
2、k0 1 2 故 sincocsin)14)(2 xxfn (x2k k0 1 2 ) (3) 30 12)(xxf解 1)12()(3300 dxdfa3coscos3cos 03 dxnnxnn (n1 2 ) )62sinsi(si31 3003 xdxxdxfbn(n1 2 ) )而在( )上 f( x)的间断点为x3(2k1) k0 1 2 故 3sin6)1(3cos)(6)(nnxxf (x3(2k1) k0 1 2 ) 2 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数 (1) lxlxf2 0)(解 正弦级数 对 f(x)进行奇延拓 则函数的傅氏系数为a00(n0 1 2 ) (n1
3、 2 )si4sin)(si 221 ldxlldxllb 故 x0 l 12sin4)(nllxf 余弦级数 对 f(x)进行偶延拓 则函数的傅氏系数为 2)(2210ldxllaln dxlnlxl210 cos)(cos (n1 2 )2nbn0(n1 2 ) 故 x0 l llxf ncos)(cos4)(2)f(x)x2(0x2) 解 正弦级数 对 f(x)进行奇延拓 则函数的傅氏系数为a00(n0 1 2 ) 1)(681(si 3 nndxb故 2si)()()13xxfnn x0 2) i12813n 余弦级数对 f(x)进行偶延拓 则函数的傅氏系数为3820da(n1 2 ) )6(cosxnnbn0(n1 2 )故 2cos)(1634)(xnxfn x0 2 12n
