1、1序列的收敛性与子序列的收敛性摘要: 本文研究序列的收敛性与子序列的收敛性之间的关系情况，分析和推导Bolzano-Welerstrass定理和一些结论，得出序列和子序列的收敛的几种判定方法并应用于控制收敛定理的一个重要推广，这对于我们进一步了解序列与子序列之间的关系有着一定的意义。关键词: 序列；子序列；收敛；极限1 引言在数学分析里，对于序列的研究主要是极限问题，但没有较系统地讨论序列的收敛性与子序列的收敛性的关系;本文主要分析序列与子序列之间的关系，从中得出一些定理和结论，这对于我们对序列收敛性判定和研究序列与子序列间的关系具有很大的帮助。 2 序列和子序列的定义及其相互关系2.1 序列
2、和子序列的定义定义：若函数 的定义域为整个全体正整数集合 ，则称f N或 :fNR,fn为序列。因为正整数集合 的元素可按照由大到小的顺序排列，故序列 也可 )(nf以写为1234,naa 或者简单地记为 ，其中 称为该序列的通项。序列可分为有界序列，无界nn序列，单调序列，常序列或周期序列等。从序列 中将其项抽出无穷多项来，na按照它们在原来序列中的顺序排成一列： ， ， ， ， 又得一个12 kn新的序列 ，称为原来序列的子序列。kna易见 中的第 k项是 中的第 项，所以总有 ，事实上 本k nakkna身也是 的一个子序列，且是一个最大的子序列（ = 时） 。n n22.2序列与子序列
3、之间的若干关系定理 1（Bolzano-Welerstrass）：若序列 有界，则必存在收敛子序列na，若序列 无界，则必存在子序列 ，使 （或 ）.knanakkkna证明：（1）不妨设 中有无限多个不同的项，否则结论显然成立用有n限覆盖定理(见注释)来证明结论设序列 为一有界序列，则存在 ，使na,mMna12下面先证明在 中存在一点 ，使该点任一邻域内有 中的无穷多,mcna项用反证法,若此断言不成立，则对任意 都存在一邻域,amM， 在此邻域内它有 中的有限项，a0an构成 的一开区间覆盖由有限覆盖定理,mMA存在有限子覆盖，即存在 ，使*j1,2k*1,jjjaaj依反证假设， 中至
4、多含有 的有限项与*1,jjkjaajn矛盾,2nmaM据以上证明，存在 ，又在 中，存在一项 使1,nac1,2c2na，否则与 的任何邻域中有 的无穷项矛盾，同样我们可以在21ncn中找到一项 ，使 在 中找到一项 使,3c3na2 1,ckkna，最终得到一个序列 满足：1kn kn（i） 是 的子序列knan3（ii） 1knac于是，由（i）和（ii）知， 是 的收敛子序列kna（2）另外对于无界序列 ，则可以利用序列无界定义，类似（1）后面一部n分可以证明出存在子序列 .k例 1：对于有界序列 ，它存在子序列 收敛于 1，当 .21kk例 2：对于无界序列 ，它的一切子序列都发散到
5、 .n以上是关于序列与其子序列在序列有界和无界的情况下进行的关系探讨，进一步对于单调有界序列分析，我们有如下定理：定理 2：若 为单调有界序列， 为 的一个子序列，且有 ，naknan kna则有kn证明：由于 是单调有界序列，可根据序列单调有界定理(见注释)知na道， 收敛，而 存在，现假设记为 ，即 ，由定义，对nlimblimnab， ，使当 时候，有 01N12na由于 是 的子序列，且 ，故对上述 ，knank02N，使当 时，就有 02N2kna又取 ，当 时，就有 ，于是有：12max,2kNknb由 =kkkknbaaakknnba=24即有 成立，所以 成立.ablimnxa
6、例 3 设序列 ， 为 的一个子序列且有22 kan， , 则有 .2kn3 序列与子序列的三个定理定理 3：序列 收敛于 的充要条件是它的任何子序列 也都收敛于nxaknx同一个极限 a证明：依题意，设 ， 为 的一个子序列，于是对于任给limnknxn的 ，存在 ，使得 当时就有 ，因为 是 的子序列，0Naknxn故有 ，所以当 时, , 从而有： knkkNknx按照序列极限定义知 ,即 收敛且与 的极限相同limnaknx反之若序列 的任一子序列都收敛，且有相同的极限 ，因为 本身x anx为自己的一个子序列，所以有 .linx定理 4：序列 收敛的充要条件是奇子序列 与偶子序列 都
7、收na21k2k敛，且它们的极限相等.证明：根据定理 3，序列 的奇子序列 与偶子序列 ，且它们的极限na21ka2ka相等.设 .根据序列极限的定义，即212limlikka12122,.0, kNa有有于是， ，有1ax,.knN，na即 . （证毕）lim5定理 5：若序列 收敛于 的充要条件是 的任一子序列 中必有nxanxknx子序列 ,使得 .nkxnk证明：由定理 3我们可以知道: 若序列 收敛于 ，则它的任何子序列 也nxaknx都收敛于同一个极限 ，由题意必要性得证.a已知序列 的任一子序列 中必有子序列 ,使得 ，nxknnkxnka则由定理 3有 .nk用反证法,假设 则
8、必然存在 ，对于任意自然数 ，都有limnxa0N时,有 0n00n当 时， ，使 1N110nxa当 时，有 ，使 22当 时，有 ，使1kNn1kn0knxa由此可以得到 的一个子序列 ，它的每一项 都满足 ，nxknxkn0knxa故 不收敛于 ，且 中不存在收敛于 的子序列, 这与已知矛盾，因此knxak a成立。lim4 序列与子序列定理的应用4.1定理 3的应用利用定理 3，可以用来判定一个序列不收敛的情况即若对一个序列 ，na可以找到两个不可能有相同极限的子序列 和 则有 必发散。kna“knna例 4 证明 发散。sin证明：因下述两区间长度均大于 1，故必存在自然数 和 满足
9、：k“6， 32,4knk“21,2knk显然 ，及 且 ， ，因此， 和12 “12,n sik“sin0ksink是两个不可能有相同极限的子序列，这证明了 发散.“sink i4.2定理 5的应用应用定理 5，可以判断一个序列收敛。例 5（控制收敛定理的推广）设 为一随机变量，其分布函数为 ，又设随机变量序列 满足XFxnfx， ， 且 ，则有nfxg1nRgxdpnffx 成立limRdFf引理 1:设 及 均为实值可测函数,且 , 则存在子序n pnff n列 ,使 , .knf.kaeff 引理 2(控制收敛定理):设 为一随机变量,其分布函数为 , 若随机XFx变量序列 满足以下成
10、立:nfx, , ,且 , 则有g1RgxdF.aenfxfx .(见注释)limnRfxf证明：由 知,对 的任一子序列 均有p nnf. 由引理 1, 必存在 的子序列 ,使得 pnfxfx knf.于是用引理 2就有.kae .limknkRRfxdFfxd由于子序列 的任意性,上式说明:序列 的任一子序列nf nfF均收敛于 ,故由定理 5知:nRfxdFRfxdF7.limnRRfxdFfxd证毕.参考文献：1 李成章，黄玉民.数学分析 (上册）M.北京：科学教育出版社，2001. 25.2 欧阳光中，姚允龙.数学分析（上册）M.上海:复旦大学出版社，1991. 453 龚怀云，刘跃武，陈红斌，向淑晃.数学分析（上册）,第一版M.西安交通大学出版社，2000.24.4 严加安.测度论,第二版M.北京:科学出版社，2000.34.5 华东师范大学数学系，数学分析（上册）,第三版M.北京：高等教育出版社，2001.79.
