1、数列极限的几种求法数学组 周 彬摘 要:数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本文就着重介绍数列极限的一些求法。关键词:数列,极限，收敛Several kinds of laws of asking of several lines of limitshuxuezu Zhou BinAbstract: Several limit theory foundation of calculus, it run through on infin
2、itesimal calculus all the time, it is a infinitesimal calculus important research approach. Several lines of limit are important components of the limit theory, and several lines of limit one asks the law to adopt the law of defining, insert the method on both sides , have circle laws dully , constr
3、uct the sincere formula law now , ,etc. This text recommends some of several lines of limit to ask the law emphatically.Keyword: Several, limit, disappear以下介绍数列极限的求法:一、定义法:数列极限的定义如下:设 是一个数列,若存在确定的数 a,对 0 N0 使当 nN 时,都有na0nn+1=nt)1(2)1(2)1(tntnt )(4)(tn0 取 则当 时，有 142NNn121nn=1lim二、单调有界法：首先我们介绍单调有界定理，其
4、内容如下：在实数系中，有界的单调数列必有极限。证明：不妨设 为有上界的递增数列。由确界原理，数列 有上界，记为 。na nasupan以下证明 a 就是 的极限。事实上， 0，按上确界的定义，存在数列 中某一项 ，使nN得 又由 的递增性，当 时有NnNn，a这就证得 。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。anlim例 2、证明数列 ,22,2收敛，并求其极限。证： na，易见数列 是递增的。现用数学归纳法来证明 有上界。nana显然 。假设 ,则有 ，从而对一切 n 有 ,212na221n 2即 有上界。n由单调有界定理，数列 有极限，记为 a 。由于n，n21对上式
5、两边取极限得 ，即有a2（a+1） （a-2）=0，解得 a=-1 或 a=2由数列极限的保不等式性，a=-1 是不可能的，故有22limn三、运用两边夹法：迫敛法：（两边夹法）设收敛数列 ， 都以 a 为极限，数列 满足：存在正数 当nabnc0N时有 （1） 则数列 收敛且0Nnnncbaccnlim证： 由 分别存在正数 与 使得nlili 1N2当 时有 （2）1a当 时有 （3）2Nnbn取 则当 时不等式（1） ， （2） ， （3）同时成立即有,max210Nnkn14lim aban从而有 cn即证所得结果。 例 3、求 21)!(limn解： （1）nn1122=1nli由（
6、1）式及两边夹法则 =1 。21)!(lin四、先求和再求极限： 例 4、求极限解:五、先用放缩法再求极限：例 5、求极限 )321(lim22 nnnn 解：记 xn2222则 nxn2211 )()(22n又 )(1lim1)(lim22 nnn )13)(2(30214 nkn时当 时当 时当 51li14nkn由两边夹法则 =)321(lim22 nnnn 1六、用施笃兹公式：首先我们介绍并证明施笃兹公式：施笃兹公式（stolz）：设数列 单调递增趋向于 ， （1） （可以为无nyAyxnn1lim穷）则 Ayxnlim例 6、设 axnli nxxnn21求： nlim解：由施笃兹公式 nxxnnn 21lili axnnn lim)1()(lim1221 以上介绍了数列极限的一般求法，本文的目的不在于只列举几个例题，而在于寻求一些常见的数列极限的求法，可能方法不够全面，在此只希望能起抛砖引玉的作用，以供大家探讨。 参考文献：1 华东师范大学数学系编，数学分析（上，下） ，高等教育出版社，20012 复旦大学数学系编，数学分析（上，下） ，高等教育出版社，19853 钱吉林等主编，数学分析题解精粹，崇文书局，20034 B. 吉米多维奇，数学习题集 ,李荣冻译，人民教育出版社，1978
