1、世界近代三大数学难题之一四色猜想 四色猜想的提出来自英国。1852 年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯研究一直没有进展。 1852 年 10 月，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。直到 1865 年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦
2、数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。18781880 年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。 11 年后，即 1890 年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913 年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于 1939 年证明了 22 国以下的地图都可以用四色着色。1950 年，有人从 22 国
3、推进到 35 国。1960 年，有人又证明了39 国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了 50 国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个小时，作了 100 亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时 100 多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 - 世界近代
4、三大数学难题之一 费马最后定理 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以业余王子之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2 的正整数解的问题，当 n=2 时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处 z 表一直角形之斜边而 x、y 为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多）。
5、 费马声称当 n2 时，就找不到满足 xn +yn = zn 的整数解，例如：方程式 x3 +y3=z3 就无法 找到整数解。当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六 0 年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P?Wolfskehl）在 19
6、08 年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人，有效期间为 100 年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的数学痴。二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当 n 为很大时是成立的，1983 年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行 5782 秒证明当n 为 286243-1 时费马定理是正确的（注 286243-1 为一天文数字，大约为 25960 位数）。 虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪
7、过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论由威利斯在 1993 年的 6 月於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994 年
8、 9 月他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997 年 6 月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。 要证明费马最后定理是正确的（即 xn + yn = zn 对 n33 均无正整数解只需证 x4+ y4 = z4 和 xp+ yp = zp (P 为奇质数)，都没有整数解。 - 世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于 1690 年，1725 年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742 年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小
9、于 6 的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如 633，1257 等等。1742 年 6 月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在 6 月 30 日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到 3.3 亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200 年过去了，没有人证明它。哥德巴
10、赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20 世纪 20 年代，才有人开始向它靠近。1920 年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9 十 9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924 年，数学家拉德马哈尔证明了(77)；1932 年，数学家爱斯尔曼证明了(66)；1938 年，数学家布赫斯塔勃证明了(5 十 5)，1940 年，他又证明了(44)；1956 年，数学家维诺格拉多夫证明了(33)；1958
11、 年，我国数学家王元证明了(2十 3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过 10 年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l 十 2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(11)了。陈景润的论文于 1973 年发表在中国科学院的科学通报第 17 期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996 年 3 月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(11)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。 几个未解
12、的题。 1、求 (1/1)3+（1/2）3+(1/3)3+(1/4)3+(1/5)3+ +（1/n）3=? 更一般地： 当 k 为奇数时 求(1/1)k+（1/2）k+(1/3)k+(1/4)k+(1/5)k+ +（1/n）k=? 欧拉已求出： (1/1)2+（1/2）2+(1/3)2+(1/4)2+(1/5)2+ +（1/n）2=（2）/6 并且当 k 为偶数时的表达式。 2、e+ 的超越性 此题为希尔伯特第 7 问题中的一个特例。 已经证明了 e 的超越性，却至今未有人证明 e+ 的超越性。 3、素数问题。 证明：(s)=1+(1/2)s+(1/3)s+(1/4)s+(1/5)s + (s
13、 属于复数域) 所定义的函数 (s)的零点，除负整实数外，全都具有实部 1/2。此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第 8 问题。美国数学家用计算机算了 (s)函数前 300 万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为 2 的素数）。 引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？ 4、 存在奇完全数吗？ 所谓完全数，就是等于其因子的和的数。 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的 32 个完全数全部是偶数
14、。 1973 年得到的结论是如果 n 为奇完全数，则： n1050 5、 除了 8=23,9=32 外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？ 这是卡塔兰猜想（1842）。1962 年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976 年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有 500 多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。 6、 任给一个正整数 n，如果 n 为偶数，就将它变为 n/2,如果除后变为奇数，则将它乘 3加 1
15、（即 3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1 吗？ 这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。 三 希尔伯特 23 问题里尚未解决的问题。 1、问题 1 连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数 c 之间没有其它基数。 1938 年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963 年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。 2、问题 2 算术公理相容性。 哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特
16、的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。 3、 问题 7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题。见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。 德国和法国数学家在 60 年代曾取得重大进展。 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。 8、 问题 13 仅用二元函数解一般 7 次代数方程的不可能性。 1957 苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。 9、 问题 15 舒伯特计数演算的严格基础。 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关
17、。 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。 12、 问题 20 一般边值问题。 偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。 13、 问题 23 变分法的进一步发展。 四 千禧七大难题 2000 年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的 23 问题。每一道题的赏金均为百万美金。 1、 黎曼猜想。 见 二 的 3 透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。这个问题是希尔伯特 23 个问题中还没有
18、解决的问题。透过研究黎曼猜想数学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass GapHypothesis) 西元 1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这
19、一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。 3、P 问题对 NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做P 问题。P 问题的 P 是 Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已知尺寸为 n，如果能决定计算时间在 cnd (c 、d 为正实数) 时间以下就可以或不行时，我们就称之为多项式时间决定法。而能用这个算法解的问题就是 P 问题。反之若有其他因素，例如第六感
20、参与进来的算法就叫做非决定性算法，这类的问题就是NP 问题，NP 是 Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否 NP 问题里面有些不属於 P 问题等级的东西呢？或者 NP 问题终究也成为 P 问题？这就是相当著名的 PNP 问题。 4、.纳维尔史托克方程（NavierStokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔史托克方程。自从西元 1943 年
21、法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔史托克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔史托克方程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔史托克方程的全时间平滑解？再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼
22、的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维尔史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳维尔史托克方程本身有非常丰富之内涵。 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的三维闭流形与三维球面同胚。从数学的意义上说这是一个看似简单却又非常困难的问题，自庞加莱在西元 1904 年提出之后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。庞加莱（图 4）臆测提出不久，数学们自然的将之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通
23、的n(n4)维闭流形，如果与 n 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与 n 维球面同胚。经过近 60 年后，西元 1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的广义庞加莱臆测，他因此获得西元 1966 年的费尔兹奖。经过 20 年之后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆测，并於西元 1986 年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。一直到西元 2003 年 4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於麻省理工学院做了三
24、场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后纽约时报首次以俄国人解决了著名的数学问题为题向公众披露此一消息。同日深具影响力的数学网站 MathWorld 刊出的头条文章为庞加莱臆测被证明了，这次是真的！14。数学家们的审查将到 2005 年才能完成，到目前为止，尚未发现斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-DyerConjecture）一般的椭圆曲线方程式 y2=x3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时就会遇见这种曲线。自 50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、
25、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与椭圆曲线有关。 60 年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与黎曼猜想之 Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数 (s) = 时取值为 0，即 (1)；当 s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之上同调类的有理组合。最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象参考资料：数学的 100 个基本问题数学与文化希尔伯特 23 个数学问题回顾
