1、盐 城 师 范 学 院毕 业 论 文2012-2013 学年度极限在数学分析与解题中的应用学 生 肖 永学 院 数学科学学院专 业 数学与应用数学学 号 09211237指导教师 李高林2013 年 4 月 24 日1极限在数学分析与解题中的应用摘 要极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础，极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。所以，对极限概念及理论的理解和掌握的好坏将直接影响到整个本课程的学习。极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折，极限概念描述的是变量在某一刻过程中的变化趋势，是从有限到无限，近似到精确，量变到质变的过程，与初等数学中的概念有很大的区别，因此学生
2、掌握起来比较困难，一些学生到了毕业，还对为什么要用如此抽象的“ ”定义来描述微积分的极限理论不甚理解。N但是如果能从数学的发展历史中了解极限思想和极限理论的形成过程，弄清极限理论概念的描述和逻辑表述形式并辅以典型的例题来加深理解，对于掌握和应用极限概念会起到很重要的作用。【关键词】：极限思想 数学分析 应用 2The applation of limit thought in Mathmaticai Analysis and problem solvingAbstractLimit thought is an important thought of modern mathematics, m
3、athematical analysis is based on the concept to the limit, limit theory as the main tool to study the function of a discipline. Therefore, the ultimate concepts and theoretical understanding and mastering will directly affect the whole of this course.Limit theory is an important turning point of mat
4、hematics from elementary to advanced, the limit concept describes the trend of the process variables in a moment, from finite to the infinite, similar to a precise, quantitative change to qualitative change, it is remarkable different from the concept of Elementary Mathematics, so it is master more
5、difficult to students, but also on why use such abstract “ “ definition to Ndescribe the limits of the theory of calculus not quite understand.But if you learn about the history of mathematics and ultimate limit ideological theory of the formation process ,clarify the limits of theoretical concepts
6、and logical presentation of the description and supplemented by typical examples to deepen understanding .application of the concept of limit for the master will play a very important role.【Keywords】 : theory of limits , Mathematical Analysis, Application3目 录摘 要 .11、极限思想的形成与发展 .31.1 极限思想的由来 .31.2 极限
7、思想的发展 .32、极限在数学分析中的应用 .42.1 极限在数学概念里的渗透 .42.2 极限在导数中的应用 .52.3 极限在积分中的应用 .52.4 极限在微分中的推动作用 .63、极限思想在解题中的应用 .61引言：极限思想是微积分的基本思想，极限不仅为微积分注入了严密性，而且实现了有限和无限的相互转化,连续与不连续的相互转化.数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的，所谓极限思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果
8、就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.所以证明极限存在和求极限的方法就需要我们去探究.1、极限思想的形成与发展1.1 极限思想的由来和一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限的思想可追溯到古代，刘徽到了 16 世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形中心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观大胆的运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明,因此，他就在无意中“提出了把极限方法发展成为一个使用概念的方法”.然而，微积分学在其创立初期由于历史条件的限制，人们对他的基本概念及其关系的认识还不能突破力学和几何直观的局限，许多概念还没有确切的数学定义，特别是一些定理和公式的推导还
9、处在逻辑混乱的局面.1.2 极限思想的发展极限思想的完善的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧” ，他们避免明显的“取极限” ，而是借助于间接证法一一归谬法来完成有关的证明.1917 年，波尔察诺的著作纯粹分析的证明的出版是微积分开始严格化的标志.在该书中波尔察诺处于证明代数基本定理的需要，首次用极限观点给出了连续性的定义，如在区间内任一处，只要 充分小，就能使两点间距离任意小，则说明该函数在该区间上连续，他把导数定义为无限接近的趋向的量，波尔察诺是微积分开始严格化的前驱.柯西被公认为近代分析的主要奠基人，事实上，他在
10、 19 世纪 20 年代陆续发表了 3 本著作：工科学学分析教程 、 无限小计算概要和微积分讲义 ，其中2革新了微积分中长期沿袭下来的模糊的旧概念重整了他的理论，把它纳入到一个新的严密的理论体系之中，柯西看出核心的问题是极限，他把极限概念理解为潜无限。并且定义“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终是变量和改定值之差要多小就多小”.这个定值就叫做所有其它值的极限，第一次使极限概念摆脱了与几何和运动直观的任何牵连，给出了建立在属于函数概念上清楚的定义.但是，柯西的极限概念并没有严格的数学定义而是停留在直观的描述上面，所以在他的著作的叙述中不是用严格的数学语言表达，他的函数概念并没有完全脱
11、离解析方式的束缚，在函数的连续性和可微性方面也欠明确等等.因此，他的微积分虽然具有近代的形式但它的基础并不牢固.19 世纪 50 年代，魏尔斯特拉斯（Weierstrass,18151897）在分析严密化方面的工作改进了波尔察诺、阿贝尔和柯西的工作，他力求避免直观而把分析奠基在算数概念上，提出了关于极限的纯算术定义，从而完成了数学分析的严密化工作，从此，极限理论才得以充实和严密的自身体系成为微积分的基础理论，微积分也从此完全脱离过去集合的直观和不确切地描述，进入了一个新的发展时期.极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，使唯物辩证
12、法的对立统一规律在数学领域中的应用借助于极限思想，人们可以从有限认识无限、从不变认识变、从直线形认识曲线形、从量变认识质变、从近似认识精确2、极限在数学分析中的应用2.1 极限在数学概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1） 如以函数 在点 连续的定义.记 称为自变量 （在点 ）()yfx0 0xx0的增量或改变量，设 ，相应的函数 （在点 ）的增量记为0 y，可见，函数 在点 连续等000()()
13、(yfxff()yf0价于 ，是当自变量 得增量 时，函数值得增量 趋于零时的极限.0limx3（2）函数 在点 导数的定义.设函数 在点 的某邻域内有定义，()yfx0 ()yfx0若极限 存在，则称函数 在点 处可导，令 ，0limxf0x，则可写为 ，所以，0()(yffx0 00()(limlixxff0f导数是函数增量 与自变量增量 之比 的极限.yy（3） 函数 在区间 上的定积分的定义。设 是定义在 上的()f,abf,ab一个函数， 是一个确定的实数，若对任给的正数 ，总存在某一正数 ，使对J 的任何分割 ，以及在其上任意选取的点集 ，只要 ，就有,abTiT，则称函数 为在
14、上的定积分，记 。是当分1niiifxf,ab()baJfxd割细度趋于零时，积分和式 的极限.1()niix（4）数项级数 的敛散性是用部分和数列 ， 的极限来定义的.nunSnsu2.2 极限在导数中的应用导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线.（1） 瞬时速度 设一质点做直线运动，其运动规律为 ，若 为某一确()ts0定的时刻， 为邻近于 的时刻，则 是质点在时间段 上的平均速t0t 0()stv,度. 若 时平均速度 的极限存在，则称极限 为质点时刻 的t0v00()limt
15、stv0t瞬时速度.（2）切线的斜率 曲线 在其上一点 处的切线 PT 是割线 PQ 当)(xfy0,pxy动点 Q 沿此曲线无限接近于点 p 时的极限位置.由于割线 PQ 斜率为 0fkx因此当 时如果 的极限存在，则极限 即为切线 PT 的x0 00()limxfxk斜率.4给出导数的定义：设函数 在点 的某邻城内有定义，若极限)(xfy0存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处00()limxfx f0x的导数，记作 .0f令 , ,则上式可改写为x00()(yfxf.00()lilixfy2.3 极限在积分中的应用积分是数学分析中的重要概念，其中的不定积分是求导数的逆运
16、算而定积分则是某种特殊和式的极限，下面给出在定积分中极限思想的重要应用.定积分提出的背景：曲边梯形是由非负连续曲线 .)(xfy直线 以及 x 轴所围成，求此曲边梯形的面积 ？byax, s（1） 将曲边梯形分成 个小曲边梯形n（2） 当 很大，且当所有的 都很小时，每个小曲边梯形都可(1,2)in以看成第 个成小矩形的面积k),kksfx（3）当 n 无限增大时，即当 无限趋近于 0 时，nTma就无限趋近于曲边梯形的面积 ，故 .()1,2)kfsx slim()kTfsx定积分在闭区间 内有 个点，依次为 它们,ab1n011nxb把 分成 个小区间 ， ，这些分点或这些闭子区间构成,a
17、bn,iix,2in对 的一个分割，记 或 。小区间 长度为T01n12,ni并记 设 是定义在 上的一个函数， 是一个确定的1iix1maiinfabJ实数，若对任给正数 ，总有在某一正数 ，使得对 的分割 ，以及在其上任,T意选取的点集 ，只要 就有 ，则称函数在区间iTf1niiifxJ上可积，数 称为 上的定积分，记作 .,abJ,ab()bafdx2.4 极限在微分中的推动作用若函数 在点 0可微，则 ，极限)(xfy )()(lim)( 00 xofyxfo 或有力地推动了微分的发展。促使微分在近似计算和泰勒公式等方面的重要应用，同5时微分也反作用于求解各种类型的不定式极限.1.
18、一个边长为 的正方形，它的面积 ，若边长由 增加 ，相应的正x2xs0x方形的面积的增量 = A =02xs)(oX)(xof2. 6)3(insi3in00o3. 泰勒公式的应用： )(!21nx xe4. 型 不 定 式 极 限 ：0)(lim)(li00gffxx3、极限思想在解题中的应用.事实上，极限思想使人们能够从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变成为可能。现行高中教材中有多处内容渗透了极限的思想和方法，如“球的体积和表面积” 、 “双曲线的渐近线”等，但是极限思想在实际教学中没有得到普遍的认可和推广，学生对这种思想方法相当陌生. 下面是笔者尝试将极限思想和方法渗透、
19、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视.3.1、寻求极限位置 实现估算与精算的结合例 1、设 是椭圆 的长轴的两个端点，21A、 1492yx是垂直于 的弦的端点，则直线 与2P、 PA交点的轨迹方程为（ ）A（A） （B） （C） 1492yx1492xy1492yx（D）2【分析】选 C（法 1）设 ，由椭圆得 ，),sin2,co3(1p)sin2,co3(2P )0,3(),(21A直线 为 ，PAtatxyxyFPQO6直线 为 ，交点 中，2PA2cott3xyM,cos32tanco)(3x，tantcostany 即 选 C ,1sec
20、)2(322x 1492yx(法 2)利用极限的思想即当 恰是短轴的两个端点时，则两直线无交点，即2P说明当 时，所求的曲线方程无解结合选项可判断选 C0x例 2、过抛物线 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点，若)0(2axy线段 与 的长分别是 ,则 等于（ ） PFQpq1(A) (B) (C) (D) a2a21a4a4解析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求 的关系，过程繁琐，qp、且计算较复杂。若能充分认识到变与不变的辨证关系，利用运动和变化的观点，借助于极限思想即取 PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线 PQ 绕点 F 顺时针方向旋转到与 轴重合，此时 Q 与 O 重合，点 P 运动到无穷远处，虽不能再称y它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为 ，而aOpQF41，所以 ，故选择（C） 。qPFaqp413.2、考查极限图形 简化计算例 1、在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）A、 B、 C、 (,)2(,)1(,)02D、 ,n解析：设正 n 棱锥为 ，由于 多变，所以底nAS321 HAn A1A2A3S
