1、高等代数课后思考题第二章 矩 阵思考题1、设 A,B 是数域 F 上的矩阵，a 是 F 中的数，进行配对（从右边挑出使左边运算能够施行的条件） 。（a） A+B ； （1） A 是 n 阶方阵；（b） aA； （2） A 的行数=B 的列数；（c） AB ； （3） A 的列数=B 的行数；（d） ATB ； （4）A 是任意方阵；（e） ABT ； （5） A 与 B 是同阶方阵；（f） detA； （6） A 的行数=B 的行数；（7） A 的列数=B 的列数；2、设 ，下列哪些式子有意义？1212 ,03344AB（1）A+B ； (2) A+BT (3) AB； (4) ATB3、设
2、A，B 是 F 上的矩阵，若 AB=BA，则（a）A 与 B 的行数相等；（b）A 的行数等于 B 的列数；（c）A 与 B 的行数相等且列数相等；（d）A 与 B 是同阶方阵。4、设 A 使 F 上的 n（n1）阶方阵，a 是 F 中的数,则下列等式正确的是( )（a） ； （b） ；aA（c） ； （d） .n n5、设 A，B 使数域 F 上的矩阵，且 AB=BA，下列等式成立吗？（1） 22()AB(2) ()()AB6、设 A，B，C 都是 F 上的矩阵，下列结论成立吗？如果成立，给出证明，如不成立，举出反例。（1）若 A0，B0，则 AB 0 ；（2）若 AB=AC，且 A0，则
3、B=C ；（3）若 AB=0，则 BA=0 .7、下述条件中，哪些是 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件？（1）存在 n 阶方阵 B，使得 AB=BA；（2）A 是两个可逆矩阵的乘积；（3）A 是两个可逆矩阵的和；（4）转置矩阵 AT 可逆；（5）伴随矩阵 A*可逆；（6）A 是第三种初等矩阵的积；（7）A 是第一、二种初等矩阵的积；（8）A 可经行的初等变换化为单位矩阵。8、设 A=(aij)mn，B=（b ij） np ，对 A，B 分别施行变换：（1）交换 A 的第 i 行与第 j 行；（2）A 的第 j 行乘以数 k 加到第 i 行；（3）B 的第 j 列乘以非零的数 k；（4）B 的第 j 列乘以数 k 加到第 i 列。问 AB 应怎样变化？9、分别对可逆矩阵 A 施行下述的初等变换：（1）行的第一种初等变换；（2）列的第二种初等变换；（3）行的第三种初等变换。试讨论 A-1 的变化。10、设 A，B 都是 n 阶方阵，AB=I，证明：A 与 B 互为逆矩阵。证明 因 AB=I，所以 A=(AB)B-1=IB-1=B-1. 同理，B=( A-1A)B=A-1(AB)=A-1I=A-1. 故A，B 互为逆矩阵。问这样的证明有无错误？如有错误，请指出错在哪里，并改正之。11、对于方阵 A，若存在矩阵 C0，使 AC=0，问 A 是否可逆？为什么？
