1、智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 1 页 1 1 第十九届全国中学生物理竞赛 复 赛 试 卷 题号 一 二 三 四 五 六 七 总计 全卷共七题，总分为 140 分。 一、 （ 20 分）某甲设计了一个如图复 19-1 所示的“自动喷泉”装置，其中 A、 B、 C 为三个容器， D、 E、 F 为三根细管 。管栓 K是关闭的 。 A、 B、 C 及细管均盛有水，容器水面的高度差分别为h1 和 h2 ，如图所示。 A、 B、 C 的截面半径为 12cm ， D 的半径为 0.2cm .甲向同伴乙说：“我若拧开管栓 K ，会有水从细管口喷出。”乙认为不可能。理由是：
2、“低处的 水自动走向高处，能量从哪儿来？”甲当即拧开 K ，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不能明白自己的错误何在。甲又进一步演示。在拧开管栓 K 前，先将喷管 D 的上端加长到足够长，然后拧开 K ，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度。 1 论拧开 K 后水柱上升的原因。 2 当 D 管上端足够长时，求拧开 K 后 D 中静止水面与 A 中水面的高度差。 3 论证水柱上升所需的能量来源。 得 分 地、市学校姓名性别现读年级准考证号智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 2 页 2 二、 （ 18 分）在图复 19-2 中，半径为 R 的 圆柱形区域内有匀强磁场，
3、磁场方向垂直图面指向纸外，磁感强随 时间均匀变化，变化率 B/ t = K（ K 为一正值常数）。圆柱形区域外空间中没有磁场。沿图中 AC 弦的方向画一直线，并向外延长，弦 AC 与半径 OA 的夹角 = /4 。直线上有一任意点，设该点与 A 点的距离为 x ，求从 A 沿直线到该点的电动势大小。 得 分 智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 3 页 3 三、 （ 18 分）如图复 19-3 所示 ， 在水平光滑的绝缘桌面上，有三个带正电的质点1、 2、 3 ，位于边长为 L 的等边三角形的三个顶点处， C 为三角形的中心。三 个质点的质量皆为 m ，带电量皆为
4、q 。质点 1、 3 之间和 2、 3 之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在 3 的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点 3 运动到 C 处时，其速度为多少？ 四、 （ 18 分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数。在图复 19-4-1 中， E为可调的直流电源， K 为电键， L 为待测线圈的自感系数， rL 为线圈的直流电阻，D 为理想二极管， r 为用电阻丝做成的电阻器， A 为 电流表。将图复 19-4-1 中 a、b 之间的电阻丝装进图复 19-4-2 中，其它装置见图下说明。其中注射器筒 5 和试管 1 组成的密闭容器内装有某种气体（可视
5、为理想气体），通过活塞 6 的上下移动可调节毛细管 8 中有色液柱的初始位置，调节后将阀门 10 关闭，使两边气体隔开。毛细管 8 的内直径为 d 。 得 分 得 分 智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 4 页 4 已知在压强不变的条件下每摩尔试管中的气体温度升高 1K 时，需要吸收热量为 CP ，大气压强为 p 。设试管、三通管、注射器和毛细管皆为绝热的，电阻丝的热容不计。当接通电键 K 后，线圈 L 中将产 生磁场，已知线圈中储存的磁场能量 W = 21LI2 ， I 为通过线圈的电流，其值可通过电流表 A 测量。现利用此装置及合理的步骤测量线圈的自感系数 L
6、 。 1 简要写出此实验的步骤。 2 用题中所给出的各已知量（ r 、 rL 、 CP 、 p 、 d 等）及直接测量的量导出 L 的表达式。 智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 5 页 5 五、 （ 20 分）薄凸透镜放在空气中，两侧焦点和透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为 n1 和 n2 ，则透镜两侧仍各有一焦点（设为F1 和 F2），但 F1 、 F2 和透镜中心的距离不相等，其值分别为 f1 和 f2 。现有一薄透镜 L ，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质和折射率及焦点的位置如图复 19-5 所示。 1 试求出
7、此时物距 u 、像距 v 、焦距 f1 、 f2 四者之间的关系式。 2 若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为 1 ，则与之相应的出射线与主轴的夹角 2 为多大？ 3 f1 、 f2 、 n1 、 n2 四者之间有何关系？ 得 分 智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 6 页 6 六、 （ 20 分）在相对于实验室静止的平面直角坐标系 S 中，有一个光子，沿 x 轴正方向射向一个静止于坐标原点 O 的电子。在 y 轴方向探测到一个散射光子。已知电子的静止质量为 m0 ，光速为 c ，入射光子的能量有散射光子的能量之差等于电子静止能量的 1/10 。
8、1 试求电子运动速度大小 v ；电子运动的方向与 x 轴的夹角；电子运动到离原点距离为 L0（作为已知量）的 A 点所经历的时间 t 。 2在 电子以 1 中的速度 v 开始运动时，一观察者 S相对于坐标系 S 也以速度 v 沿 S 中电子运动的方向运动（即 S相对于电子静止 ），试求 S测出的 OA 的长度。 得 分 智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 7 页 7 七、（ 26 分）一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为 m 的珠子（视为质点），绳的下端固定在 A 点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计）。细杆与 A
9、 在同一竖直平面内。开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图复 19-7-1 所示。已知：绳长为 L ， A 点到杆的距离为 h ，绳能承受的最大张力为 Td ，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断。求细绳被拉直时珠子的位置和速 度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）。 注 ：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度 an ，可以证明， an = v2/R ， v 为质点在该点的速度大小， R 为轨道曲线在该点的“曲率半径”。所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧线，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该
10、点的曲率半径。如图复 19-7-2 中，曲线在 A 点的曲率半径为 RA ，在 B 点的曲率半径为 RB 。 得 分 智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 8 页 8 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答 一、参考解答 实践证明，甲的设计是正确的，所以乙的结论肯定是错的。 （ 1）设大气压为 0p ，水的密度为 。拧开 K 前的情况如图复解 19-l的（ a）图所示。由流 体静力学可知， B 、 C 中气体的压强为 0 1 2()B Cp p p g h h （ 1） D 中气体的压强为 1DBp p gh （ 2） 由（ 1）、（ 2）两式可得 20Dp p
11、 gh 即 0Dpp ，当拧开 K 后， D 中气体压强降至 0p ，此时 10Bp p gh （ 3） 即 D 管中容器 B 水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以 D管中水柱上升。 （ 2）拧开 K 后，水柱上升，因 D 管上端已足够长，故水不会从管口喷出设到 D 中的水面静止时 D 中增加水量的体积为 V ，则 B 中减少水量的体积亦为 V ，其水面将略有降低，因而 B 及 C 中气体压强路有下降， A 中的水将通过 E 管流入 C 中，当从 A 流入水量的体积等于 V 时， B 、 C 中气体压强恢复原值。因为 A 、 B 、 C 的半径为 D 管半径的 60 倍，截面积比为 3600
12、 倍，故 A 、 B 、 C 中少量水的增减（ V ）引起的 A 、 B 、 C 中水面高度的变化可忽 略不计，即 1h 和 2h 的数值保持不变。 设 D 中水面静止时与 A 中水面的高度差为 H ，（见图复解 19-1（ b），则有 0 1 2 0 1( ) ( )p g h h p g H h （ 4） 由此可得 2Hh （ 5） （ 3）将图复解 19-l（ a）和 (b)两图相比较可知，其差别在于体积为 V 的水从 A 移至 C中，另 V 的水又由 B 移入 D 中，前 者重力势能减少，而后者重力势能增大，前者的重力势能减少量为 1 1 2()E g V h h （ 6） D 中增加
13、的水柱的重心离 A 中水面的高度为 2/2h ，故后者的重力势能增量为 2002 年 K K D H A A B B F C C E h1 h2 (a) (b) 图复解 19-1 智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 9 页 9 2 1 21()2E g V h h （ 7） 即 12EE 。 由此可知，体积为 V 的水由 A 流入 C 中减少的势能的一部分转化为同体积的水由 B 进入 D 中所需的势能，其余部分则转化为水柱的动能，故发生上下振动， D 中水面静止 处为平衡点由于水与管间有摩擦等原因，动能逐步消耗，最后水面停留在距 A 中水面 2h 处。 二、参考解
14、答 由于圆柱形区域内存在变化磁场，在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场，电场线为圆，圆心在圆柱轴线上，圆面与轴线垂直，如图中虚点线所示在这样的电场中，沿任意半径方向移动电荷时，由于电场力与移动方向垂直，涡旋电场力做功为零，因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零 1任意点在磁场区域内：令 P 为任意点（见图复解 19-2-1） 2xR ，在图中连直线 OA与 OP 。取闭合回路 APOA ，可得回路电动势 1 A P P O O AE E E E ，式中 APE ， POE ， OAE分别为从 A 到 P 、从 P 到 O 、从 O 到 A 的电动势。由前面的分析可知 0POE ， 0OAE
15、 ，故 1APEE （ 1） 令 AOP 的面积为 1S ，此面积上磁通量 11BS ，由电磁感应定律，回路的电动势大小为 111BEStt 根据题给的条件有 11E Sk （ 2） 由图复解 19-2-2可知 1 1 sin2 22xRS xR （ 3） 由（ 1）、（ 2）、（ 3）式可得沿 AP 线段的电动势大小为 22AP kREx（ 4） A C C A O O R R P x D Q 图复解 19-2 1 图复解 19-2 2 智浪教育 -普惠英才文库 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试卷 第 10 页 10 2任意点在磁场区域外：令 Q 为任意点（见图复解 19-2-2）， 2xR
16、 。在图中连 OA 、OQ 。取闭合回路 AQOA ，设回路中电动势为 2E ，根据类似上面的讨论 有 2AQEE（ 5） 对于回路 AQOA ，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为 2S ，通过它的磁通量 22BS 。根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小 22E Sk （ 6） 在图中连 OC ，令 COQ ，则 OQC ，于是 2221( s in ) 2 c o s221 ( s in 2 )2S A O C O CDR R RR 的面积 扇形 的面积当 /4 时， 22 1 (1 )2SR， OCQ 中有 2sin sin ( / 4 ) x R R sin ( 2 ) sin ( )41( 2 ) ( c o s sin )2R x RxR 22( ) s i n c o sx R x RR 2tan xRx 于是得 22 12(1 a r c ta n )2 xRSR x（ 7） 由（ 5）、（ 6）、（ 7）式可得沿 AQ 线的电动势的大小为 2 2(1 a r c t a n )2AQ k R x RE x （ 8）
