1、 高考数学创新型试题浅析 创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具活力的课题。自从 1999 年教育部明确提出高考命题“要遵循教学大纲，又不拘泥于大纲”，在试题设计上要“增加应用型和能力型的题目”，要“更加注重对考生能力和素质的考查”。近几年来，特别是 2001 年，为了考查学生在新情况中的迁移能力、创新能力、灵活应用所学知识的能力，出现了不受大纲字句约束，然而所考内容大体在高中数学范围内的问题。我们暂称为创新性问题。如 2001 年高考试题中的第 12 题的设计就 是如此，这类试题的设计既不超越数学大纲，又不拘泥于大纲，情景新颖，富有时代气息，有科学依据，切合实际，贴
2、近生活。这类试题，对于培养学生创新意识，创造性思维极为有利。因此在研究高考和指导高考复习中，实在不能轻视和放松对这类试题的研究。下面通过的对近几年的高考试题中出现的此类试题的分析，谈一下对这类试题的认识，不当之处，请批评指正。 一、近几年高考中创新型题的特点与趋向 1.突出数学思想和能力的考查，富有时代生活气息。 由于不再将知识点的覆盖面作为命题追求的指标，这就给试题的更新解除了束缚。一些看来与高中数学内 容没有太多联系，却能分辩出学生能力高下的好题，都纳入了命题人员的视野。如 【例 1】（ 2001 年高考试题第 12 题）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网络相连，连线标
3、注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点 A向结点 B传递信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最35126 812467 6B A 大信息量为 （ A） 26 （ B） 24 （ C） 20 （ D） 19 分析：该题有很多考生不理解题意，利用常规不等式或函数最值的解法不易找到突破口，且易走入误区，其实根据直觉只要 类比成“水流量”的最大值即可。也可以理解为“木桶效应”原理，木桶盛水的多少不取决于长的木板，而取决于最短的木板，就是取每条线路的最小值之和，也就是从上到下最小值和：3+4+6+6 19。 本题从立意上具有四个特点：（ 1）时代性。随着科学技术的发
4、展， 21 世纪是一个信息时代，信息量的传播快慢、大小与人民的生产、生活息息相关。（ 2）接受性。学生具有解答它的知识和能力，它不同于难题和怪题，面向全体学生。（ 3）障碍性。学生不能马上得出结论，必须经过思考、完全理解后，方可通过口算得出答案、（ 4）延伸性：如果仔细探究，发 现其数学背景是图论课程中网络最大流问题的简单再现。充分体现了初等数学与高等数学的衔接关系。 从考察能力上（ 1）考察创新能力。此题立意切合时代特点，语言叙述中涉及到现代社会许多术语，如“信息”、“网络”等，立意新，创意好。 （ 2）考察阅读理解能力。本题要求学生认真阅读。理解题意，提取解题所需的相关信息点，如“最大信息
5、量”、“从结点 A到结点 B传递信息”、“单位时间传递的最大信息量，学生必须都对题中所给的信息量加工、提炼，寻找突破口。 （ 3）考察了学生的心理承受能力。此题位置放在选择题的最后一个位置，对于学生来说 ，突然出现一个新颖题目，往往措手不及。这就要求学生沉着、冷静，不要想得太多，要认真阅读、理解题意。 （ 4）考察了学生分析问题解决问题的能力。此题不能用数学常规解法解答，考察学生阅读、分析、理解能力。 本题对学生的理解、分析、判断能力提出了较高要求，却不一定落在大纲所规定的具体知识点范围内。 又如【例 2】（ 1999 年的第 14题）某电脑用户计划不超过 500 元的资金购买单价分别为 60
6、 元、 70 元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买 3片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有： （ A） 5 种（ B） 6 种（ C） 7 种（ D） 8 种 本题背景是购买时额定资金的分配方式。考察学生运用数学知识分析和解决简单应用问题的能力。解答本题可用列式法、列表法或格点法等多种方法，不同的选购方式表现在所购买的软件数与磁盘数的取值上，取值如何受制于资金及商品的单价。 解法一：设所购买的软件数为 x,磁盘数为 y,依据题意可知： x、 y 是正整数。应满足下列各式 235007060yxyx 问题转化为求该不等式组的整数解组个数问题。 解法二：将购买 x 件软件与 y 件
7、磁盘所需资金列成下表（表中金额以不大于500 元为限，且 x 3, y 2） y x 3 4 5 6 2 320 380 440 500 3 390 450 4 460 由此即得合乎题意的不同选购方式共为 7种。 解 法 三 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 作 3 条 直 线 ： 在这三条直线所围成的区域（含边界）中，格点（坐标为整数的点）的个数即为合乎题意的不同选购方式的种数。由图即可知：不同的选购方式共有 7种。 还有 1999 年的第 10 题：如图在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3的正方形， EF AB, EF 与面 AC 的距 离是 2，则该多面体的体
8、积是 A. 29 B. 5 C.6 D. 215 此题为基本多面体的组合。计算其体积时不 是套用现成的公式便可做到，还得作割补处理。 灵活运用有关公式进行运算或估算才能求得正 确答案。 还有 1999 年的第 16 题（作物的选垄问题），也可用画图、列表，不等式的整数解等方法来解决。如 2000 年的第 6题（由个人所得税的税金估算月薪的问题）都是高考中考察能力的创新题型成功的例子。 2.注意学生的继续学习 能力，对“高观点”题目青睐。 “高观点题”是指对于后续学习作用大，而用初等数学知识又可以解决的一类A BCE FD 问题。这一类问题的名词、术语可以通过阐述或定义的方法予以补充，从而扫清学
9、生在阅读中的障碍。 【例 3】已知函数 )()(,66)( 12 xffxfxxxf nn 记 (n 2),且 )()(1 xfxf （ 1）求证：如果存在一个实数 0x ，满足 00 )( xxf ，那么对一切的 n N, 00 )( xxf n 都成立； （ 2）若实数 0x 满足 00 )( xxf n ，则称 0x 为“稳定不动点”试求出这些稳定不动点； （ 3）若 n 2， 0)( 0 xf n ,求实数 x的取值范围 本题就是以函数迭代与不动点理论作为素材的。本题略解如下： （ 1） 可用数学归纳法证明： 1. n=1 时， 0001 )()( xxfxf 2. 设 00k )(
10、xxf 则 00001 )()()( xxfxffxf kk 00 )( xxf n （ 2）由（ 1）知，要使 00 )( xxf n ,只要 00 )( xxf 就有 00 )( xxf n ，只须 0200 66 xxx 即得 0x 0,或 0x 65 （ 3） 使 0)( 0 xf n 已知 )(6)(6)()( 2 111 xfxfxffxf nnnn 只要 )(6)(6 2 11 xfxf nn 0即可，即 )()( 2 11 xfxf nn 只要 )()( 211 xfxf ， 222 )66(66 xxxx 解之得 ),1()6 33,6 33()0,( x 还有其它如线性相关
11、，极限思想，微积分思想等都是命题素材。 3.注重学生的解决问题能力考察，热衷“新定义”问题。 “新定义题”，是给出数学概念或运算的某种定义，从而完成某种推理证明或指定要求的问题 。这类问题可以考察学生在新情景下解决问题的迁移能力。近几年来高考命题中有所重视。 【例 4】（ 2001 年上海春招试题）若记号“ *”表示求两个实数 a与 b 的算术平均数的运算，即 2* baba ，则两边均含有“ *”和“”，且对于任意 3 个实数 a、 b、 c 都成立的一个等式可以是 。 分析：由于 2* baba 中的 a 与 b可以交换，而 22 abba ， a*b=b*a, 又必须涉及三个实数，（ a
12、*b） +c=(b*a)+c 又 2 )()(2 cabacba ， a+(b*c)=(a+b)*(a+c)等。 这就考察了学生的构造能力，为今后学习高等数学中的群、环等打下基础。 4.逻辑推理与合情推理并重，注意学生思维的扩散。 数学推理可分为逻辑推理与合情推理两大类。前者的思维特征是收敛式的，只是验证真理；后者的思维特征是发散式的，容易发现真理。要提高学生的实践与创新能力，就必须重视合情推理能力的培养。 【例 4】（ 2001 年上海高考题 11 题） 已知两个圆： 122 yx 与 1)3( 22 yx 则由减去可得两个圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍是圆的情况下加以推广，即要求得到一
13、个更一般的命题，而已知命题应成为推广命题的一个特例。推广的命题为：设圆方程： 222 )()( rbyax 与 222 )()( rdycx (a c,或 b d) 则由减去可得两个圆的对称轴方程 . 【例 5】（ 2001 年上海高考题 16 题） 用计算器验算函数 )1(lg xxxy 的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（） A. )1(lg xxxy 在 (1,+ )是单调减函数。 B. )1(lg xxxy 在 (1,+ )有最小值 C.)1(lg xxxy x (1,+ )的值域为 33lg,0(D. Nnnnn ,0lglim上面【例 4】关于命题的推广是答案不唯一的开放
14、式题。【例 5】关于函数性质的猜测需要用计算器作工具，也有特色。这二例是不可能用逻辑推理的思考方法解决的。而必须用合情推理的方法，包括类比联 想，直觉猜测，预感试验，尝试归纳，假设检验等才能获得。其接替思路的共同特征是跳跃式的，是特殊到一般的发散性思维。这种思维方式恰是创造发明的基础。 二、教学中注意的几个问题 1.教学中注意学生能力的培养。 在教学中，应弱化概念的记忆与背诵，强化对概念的理解与运用；弱化公式的直接代入与套用，强化公式的变形与活用；弱化对定理的机械搬用，强化对定理条件的把握；弱化再现性思维，强化求异思维与创新思维。 如【例 6】（ 2002 一轮试题文 12，理 11）某个体户
15、在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件以 135 元出售。若按成本计算 ，其中一件盈利 25%，另一件亏本25%。在这次买卖中这个个体户是 A.不赚不赔 B.赚 9 元 C.赔 18 元 D.赚 18 元 分析：题型不同自然方式同。选择题是客观题，只看结果，一般要“小题小做”，要速度，要准确率，要多想少算。 解法 1：（直接法）设两件上衣成本分别为 x,y 依题意有 135%)251( 135%)251(yx 解得 180108yx 270-（ 180 108） -18（元 ） 故选 C. 解法 2：（筛选法）因亏本那件上衣成本肯定大于 135 元，其亏本款额大于 135 25%，而盈利的那件上
16、衣肯定小于 135 元，其盈利额小于 135 25%。故这次买卖肯定是亏本，故可删掉 A、 B、 D,选 C. 显然法 2 比法 1 简捷。根据题目类型，采用不同的解题方法，往往能达到事半功倍的效果。 2.注意新题型的介入。 在能力培养的过程中，不失时机地引入一些新题型，让学生在解决过程中琢磨、适应，也是十分必要的。 【例 7】给出四个函数，分别满足： f(x+y)=f(x)+f(y) g(x+y)=g(x)g(y) m(x y)=m(x)+m(y) h(xy)=h(x)h(y) 又给出四个图象 3分析：图像（ A）可看成是指数函数图像，如 xy 2 由 yxyx 222 与 匹配； 图像（
17、B）可看成对数函数图像，如 xy lg 由 yxxy lglg)lg ( 与 匹配 图像（ C）可看成是二次函数图像，如 2xy ，由于222)( yxxy ，与 匹配 图 像 可 看 成 正 比 例 函 数 ， 如 y=2x, 由 2121 22)(2 xxxx 与 匹配 故知本题选 D. 3、注重知识、能力“板块”的形成 及早“焊接”成相应的知识、能力板块，就象在思维流程中植入了集成电路一样，对于提高思维速度，建立快速反应机制都是十分重要的。 如上的【例 7】中，若对指数函数、对数函数、二次函数、正比例函数的特征烂熟于胸，如指数函数 y=f(x)具有 )()()( 2121 xfxfxxf
18、 ， 对数函数y=g(x)具有 )()()( 2121 xfxfxxf 等特点，在解题中就可大大提高反应速度。高中的每个知识点，几乎都可形成或大或小的板块，这样在看到有关条件或特征结构时，就可以通过“集约化”加速思维的流程。所以，建立贮存恰当的“智能”板块，对于处理这类创新问题也是有益的。 4、注意“元学习”水平的提高 “元学习”是学习过程中的“元认知”，是主体对于学 习方法、策略、态度、效果等等的认知（通俗的说就是对事物的第一印象）。有些学生之所以对某些高考题产生畏难情绪，是因为“元学习”水平不高，解决问题的能力低下的缘故。提高“元学习”的能力的途径： （ 1）在预习、探求、答问、板演等活动中，要求学生对自己的思维、演算、操作的速度、质量提出一定要求，每次实现一个具体目标，如过程正确、板书过程完整、词能达意等。 （ 2）加强解题活动中的思维监控，要求学生在解题过程中始终警钟长鸣。随着解题的进展，思考以下问题： 1、我是否真正理解题意？对于已知条件的把握全面吗？有没有忽略一些 潜在条件？ 2、我是否准确捕捉了解题目标？这些目标之间有没有递进关系？是否存在着目标偏移情况？
