1、1一节“深厚”的数学课五年级下册的确定位置一课，是小学生凭生活经验描述位置逐步发展到用抽象的数对确定位置。在实际教学中，很多老师都是就“数对”教“数对” ，一节课下来，总感觉学生没有“吃饱” 。有幸听了“数学王子”张齐华老师执教这一课，他对教材、学情的用心解读，对数学知识的系统把握，使得他的课备得深，站得高，看得远，从而呈现出了一节既有深度又有厚度的数学课堂。现撷取几个精彩片段，以飨读者。 片段一给学生创新的“支点” ，探求新知 课始，张老师通过猜他儿子的位置，引导学生复习了二年级学的确定位置的方法。 （过程略） 师：既然二年级时我们学的方法已经能够确定位置了，那我们今天还来研究什么呢？ 生：
2、我觉得是不是有比像“第 3 排第 4 个、第 4 组第 3 个”更简洁的方法，也可以用来确定位置。 师：是呀，真和数学家们想一块去了！那下面的时间，我把任务留给四个小组，看看能不能集中大家的智慧，创造出一种更简洁，同时也很准确的方法。 学生以小组为单位展开研究，教师巡视，并把学生中出现的典型方法记录下来： 4 排 3 个4343竖 4 横 3 243 4-3 4，3 师：这些方法似乎都很简洁，到底选哪一种好呢？还是请大家来作裁判吧。 大家一致批评前三种。 师：难道这三种一点值得肯定的地方都没有吗？ 生：不对，它们好歹都比原来要简洁些！ 师：这就是一种进步！ 接着，张老师通过呈现相关的图示，组织
3、学生进行交流，明确行和列的一些规定。 （过程略） 师：试想，如果只给你第 4 列，行吗？只给第 3 行呢？（生答略） 师：看来，行数和列数还真的缺一不可，少了谁，都无法确定他的位置。既然如此，我觉得剩下的几种方法似乎都不错呀。哪种更好呢？ 生：我觉得第种肯定不行，既然有数字又有汉字，看起来就不简洁。 师：不过，老师很好奇，他们小组明知加上汉字不够简洁，为什么还非得要添上这两个字呢？ 生：我知道！如果不添上这两个字，那就不知道这里的 4 和 3 哪个是行，哪个是列了。 生：如果这样，那我觉得第和第种也都不行。虽然它们都保留了 4 和 3，并且也很简洁，但是，由于它没有说清楚哪个行，哪个是列，所以
4、很容易混淆。还是第种比较好，竖的箭头表示列，横的箭头表示行。连在一起就是第 4 列第 3 行，而且也很简洁。 3师：同意这位同学观点的请举手。 （绝大多数学生表示同意）这么多同学都同意啊？那你们不是成心为难老师嘛！ 生：为什么？ 师：因为数学家们最终采纳的方法，已经被你们给否定掉了！ 生：啊？ 师：猜猜看，他们最终采纳的可能是其中的哪种方法？ 生：不会是最后一条吧？ 师：真被你猜中了！那现在，你们觉得这种方法怎么样？ 生：我还是觉得不行，你不说清楚哪个表示列，哪个表示行，别人还是要混淆的。 师：这么说，连数学家们的观点你们也敢反驳？ 生：我觉得就可以用第种，既简洁又准确。 生：用第种也行，但必
5、须加个规定。 师：什么规定？ 生：得规定哪个数是行数，哪个数是列数，以后遇到这样的情况，都按照这样的规定。 师：真是太棒了！你绝对和数学家们心有灵犀！告诉大家，其实数学家们选择第种方法时，也发现了它的漏洞。怎么办呢？后来一讨论，干脆一不做、二不休，给它来个规定：以后凡是像这样用行数和列数来确定一个点的位置的，我们通常都将列数写前面，行数写后面。现在，还会起误会吗？ 生：不会了。 4师：按照这样的规定，哪个数写前面？ 生：4。 师：后面呢？ 生：可以写上 3。 师：中间还得加上个逗号。后来，为了进一步作出区分，他们干脆又在列数和行数外面加上了一个小括号。 （边介绍边板书）像这样，用列数和行数所组
6、成的一个数对来确定位置，就是我们今天要研究的内容。 赏析对于“数对”方法的处理上，张老师没有采用直接告诉学生的方法，而是在新知的生长点上质疑：“既然这样的方式已经能够确定位置了，那我们今天还来研究什么呢？”促使学生产生学习新方法的内在需要，有效地激发了学生学习新知的积极性。正如一个学生问的那样：“我觉得是不是有比像第 3 排第 4 个、第 4 组第 3 个更简洁的方法，也可以用来确定位置。 ”张老师于是推波助澜， “是呀，真和数学家们想一块去了！那下面的时间，我把任务留给四个小组，看看能不能集中大家的智慧，创造出一种更简洁，同时也很准确的方法。 ”于是，学生在这种有意义又极富挑战的问题下，主动
7、尝试着，思考着，创造出了多种确定位置的方法，而比较方法优劣时的辩论，恰恰折射出人类逐步“发明”用“数对”确定位置所经历的某些过程。 我们不可否认，用直接“告诉”学生“数对”的方法，再加以强化练习，会比较省时，而且学生可能会掌握得更好。但正如张齐华老师说的：“用数对确定位置这一内容原本附着的更为丰富、更为饱满的教学价值，往往因为这种不必要的忽视而无形中被普遍弱化了。 ”笔者认为，5用数对确定位置的教学，不能仅仅停留在“了解、掌握”层面，而应有更重要的一些价值。通过让学生经历“产生需要简单方便的记录形式学生自行创造记录形式在辩论中统一记录形式”的过程，使学生获得对数学“简洁美”和“符号化思想”形成
8、的有意义的认识。 片段二给学生思辨的平台，深化理解 师：请符合要求的同学迅速起立。看谁反应快。 （3，1） （3，2）（3，3） （3，4） （3，5） 。 （相应的五名学生一一起立。 ） 师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一对？ 生：这五个数对列数都是 3，说明他们都在第 3 列。 师：说起来容易，那你有本事也来说几个数对，也让一队同学站起来吗？ 生：（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 。 师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑。有没有不一样的？ 生：（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） 。 师：发现了什么？ 生：这次站起来的是一行，因为行数没变。 师
9、：真不错！不过，说五个数对，站起来一排，张老师觉得这还不算什么。我能只给一个数对，就可以请一队同学站起来，你们信吗？ 生：不信！ 师：口说无凭，要不试试？屏幕显示数对（4，x） 符合要求的同学请站起来。 6（第 4 列同学陆陆续续地站起来。教师面对第一名学生） 师：奇怪，我上面写（4，1）了没有？ 生：没有。 师：那你站起来干吗？还不坐下去。 生：不对， （4，x）中的 x 是一个未知数，既可以表示 1，也可以表示 2、3 等。 师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站起来。 生：不厉害。我也会！ 师：是吗？谁来试试？ 生：（x，4） 。 生：老师，我还可以让全班同学都站起来。 师：是吗？越
10、来越厉害了。试试！ 生：（x，x） 。 师：来，符合要求的站起来！（全班学生都站起来了） 。嗯，让我看看，当 x 等于 1 时，谁站起来？数对为（1，1）的同学举手示意了一下不错！当 x 等于 2 呢？ 数对为（2，2）的同学也示意了一下，此时，有些学生开始犹豫了，也有的学生迅速坐了下来。 师：奇怪，有人开始坐下去了，采访一下，你为什么又不站了？ 生：因为我发现，当 x 等于 1 时，只有（1，1）可以站，同样，当x 等于 2、3、4时，只有（2，2） （3，3） （4，4）其他人不可以7站。 生：我有补充。虽然字母可以表示任何数，但两个相同的字母只能表示两个相同的数。 （此时，剩下的同学陆陆
11、续续都坐了下去，只有符合要求的六名学生站着） 生：我知道了，可以用（x，y） 。 师：这一次，符合要求的请站起来。 （所有学生都站起来了）其实，有时错误并不重要，重要的是要从错误中吸取教训，并对问题获得更深入的认识。 赏析数对是用两个参数（几列几行）在二维空间上来确定位置，它作为一种符号刻画了物体和所在位置的对应关系。学生在学习新知时已有所领悟，这里安排报数对起立的游戏，目的是使学生对数对进一步深化理解，同时又充分体现了“数学知识从实际中来、到实际中去”的应用价值，并从具体数对（3，1） （3，2）等到半抽象数对（x，4） ，再到抽象数对（x，x） 、 （x，y） ，不仅把学生的求知欲望充分调
12、动了起来，同时使学生的思维有了进一步的飞跃，水到渠成地建构了数学模型有序数对（x，y） ，让学生在更高的层面上把握数对的本质。 片段三搭建“已知”和“未知”的桥梁，提炼升华 师：今天这节课，我们一起研究了用数对确定位置。通过今天的学习，你觉得确定一个点的位置，需要几个数？ 生：需要两个数。 师：一个数行吗？ 生：不行。 8师：为什么？ 生：因为，比如只给列数，那一列中就有好多个点，如果没有行，就不知道是哪一个。 师：那如果只给行数呢？ 生：也不行，因为一行中也有好多个点。 师：总之一句话，要确定一个点的位置，至少需要几个数？ 生：两个数。 师：一个数真的不行吗？ 生：不行。 师：那好，我们来看
13、下面这幅图。 （出示下图）瞧，他们正在排队买票呢。小明排在第二个，谁是小明？ 生：戴帽子的那个男孩儿。 师：奇怪，我只给了你一个数，你们不也一下子就确定了小明的位置吗？继续来看。 （出示下图）4 这个点在哪儿？ 生：在 3 的后面。 师：瞧，不也一个数就确定了点的位置了吗？ 生：老师，这不一样。 师：哪儿不一样？ 生：这两幅图里只有一行，所以要确定点的位置，只需要一个数就行了。而今天学的不光是一行或一列了，而是有几行几列，我们先要确定它在第几列，然后再确定它在第几行，所以需要用两个数。 师：说得真好！那么，既然确定位置，有时需要一个数，有时需要9两个数，那么 生：有时可能需要三个数。 师：多有
14、气魄的联想！不过，用数对来确定位置，究竟有没有什么时候需要三个数？如果真有，那什么时候才会需要用到三个数呢？这些问题，就留给大家在未来的数学学习过程中慢慢去探索和研究吧！ 赏析关于确定位置，在各个学段都能找到它的踪影，大体思路是：用具体的语言描述生活情境中的确定位置，逐步发展为用抽象的数对确定位置，再拓展到平面坐标系或极坐标系等。具体的安排是从一年级的一维空间过渡到二、五年级的二维空间，再渗透到初中、高中的多维空间的确定位置。张老师对整个知识体系是了然于胸，他一连串抛出几个问题：“为什么用数对确定位置需要两个数” “用一个数行吗” “为什么有的时候用一个数也行” “会不会存在需要用三个数来确定位置的情况” ，不断地引起学生的思维冲突，说“一个数” ，实则是为了“三个数” ，“拉回去”实则是为了“延出去” ，反思实则是为了升华。使学生在“不平衡平衡不平衡”的螺旋上升中，获得对“用数对确定位置”的更深理解和更准确的把握。同时，使学生看待问题不再单一，课堂的时空也不再局限于 40 分钟。这样的结尾如“跳高”一般美丽，知识的升华和拓展无处不散发着一种沁人心脾的数学的芬芳，它给予学生的影响也是多元而立体的。 （作者单位：江苏省无锡市洛社中心小学） 责编 /张 鹤
