1、n 条 直 线 能 把 平 面 最 多 分 成 几 部 分一 、画图探索一条线 两条直线 三条直线【答案】B【点评】平面内一条直线将平面分成两部分，记作 a1112；平面内两条直线将平面最多分成四部分，记作 a21124；平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作 a311237；平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成 11 个部分，记作 a41123411若平面上有 n 条直线，最多可将平面分成多少部分，此时 n 条直线的相对位置如何？从前面的分析不难推出平面上有 n 条直线时，最多可将平面分成 an11234 n1个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点二 、 为
2、 了 探 究 n 条 直 线 能 把 平 面 最 多 分 成 几 部 分 ， 我 们 从 最 简 单 的 情 形 入 手 （ 1） 一 条 直 线 把 平 面 分 成 2 部 分 ；（ 2） 两 条 直 线 最 多 可 把 平 面 分 成 4 部 分 ；（ 3） 三 条 直 线 最 多 可 把 平 面 分 成 11 部 分 ；把 上 述 探 究 的 结 果 进 行 整 理 ， 列 表 分 析 ：直线条数 把平面分成部分数 写成和形式1 2 1+12 4 1+1+23 7 1+1+2+34 11 1+1+2+3+4 （ 1） 当 直 线 条 数 为 5 时 ， 把 平 面 最 多 分 成16部
3、分 ， 写 成 和 的 形 式1+1+2+3+4+5；（ 2） 当 直 线 为 10 条 时 ， 把 平 面 最 多 分 成56部 分 ；（ 3） 当 直 线 为 n 条 时 ， 把 平 面 最 多 分 成n(n+1)2+1 解 答 ： 解 ： （ 1） 根 据 表 中 规 律 ， 当 直 线 条 数 为 5 时 ， 把 平 面 最 多 分 成 16 部 分 ，1+1+2+3+4+5=16；（ 2） 根 据 表 中 规 律 ， 当 直 线 为 10 条 时 ， 把 平 面 最 多 分 成 56 部 分 ， 为1+1+2+3+10=56；（ 3） 设 直 线 条 数 有 n 条 ， 分 成 的
4、平 面 最 多 有 m 个 有 以 下 规 律 ：n m1 1+12 1+1+23 1+1+2+3：n m=1+1+2+3+n=n(n+1)2+1本 题 体 现 了 由 “特 殊 到 一 般 再 到 特 殊 ”的 思 维 过 程 ， 有 利 于 培 养 同 学 们 的 探 究 意 识 三 、平面内有 n 条直线，其中没有两条互相平行，也没有三条交于一点，一共有多少个交点？因为每两条直线都确定一个交点,则每一条直线与另外的(n-1)条直线都有一个交点, 所以共有 n(n-1)个交点.但是每一个交点都重复计算了一次,(例如直线 a,b 的交点和直线 b,a 的交点就是同一个)因此应该除以 2.是故
5、共有 n(n-1)/2 个交点.平面内 n 条直线，把这个平面最多分成几部分第 1 条分成 2 个, 第 2 条分成 4 个, 第 3 条分成 7 个, 第 4 条分成 11 个, 第 2 条比第 1 条多分 2 个, 第 3 条比第 2 条多分 3 个 第 4 条比第 3 条多分 4 个 所以第 n 条,比第 n-1 条多分 n 个. 第 2 条的个数:4=2+2 第 3 条的个数:7=2+2+3 第 4 条的个数:11=2+2+3+4 第 n 条的个数:=2+2+3+4+ - +n 2+2+3+4+ - +n =1+1+2+3+4+ - +n =1+n*(n+1)/2 当 n=1 时,1+n*(n+1)/2=2 当 n=2 时,1+n*(n+1)/2=4 当 n=3 时,1+n*(n+1)/2=7 所以 n 条直线把平面分成 1+n*(n+1)/2 个
