1、第三章 点列极限极限是数学分析的最重要的工具，数学中很多重要的概念和方法都和极限有关，并且在实际问题中极限也占有重要的地位。第一节 数列极限的概念所谓极限，简单的说就是研究当自变量变化时，函数随之变化的趋势问题我们首先讨论数列极限。一 数列极限的定义与几何意义一列无穷多个数 ,321naa按次序一个接一个的排列下去，就构成一个数列。这个数列中，第一个数是 ，第二个数1a是 ，第 n 个数是 ，等等，或者说这个数列的第 n 项是 ，我们记这个数列为2an。要注意， 打了花括号后就表示一个数列，而不是一个数。na另外，我们也可以把数列看成是以自然数为自变量的函数，记作 ，即nfa。 ,1ff下面是
2、一些简单的数列的例子：（1） ， 即n2 ,21,64n（2） ， 即375（3） , 即n1 ,1,0n（4） 即 279考察当自变量 无限增大时，通项 的变化趋势。不难看出，上面数列（1）和（2）nna中，通项 无限趋向于某个确定的数；而数列（3）与（ 4）中，通项 不趋向于某个确a na定的数。一般情况下，设数列 ，当项数 无限增大时，如果通项 无限趋近于某个常数 ， n nac所谓 无限趋近于 ，可用距离 无限趋近于 0 来表示，以数列 为例：naccann12对于 ：12nn12若要 ，即 ，得 。这表示从数列的第 101 项起，以后各项与0na02 之差的绝对值小于 ；若要 即 ，
3、得 。这表示从数1102na1n0n列的第 1001 项起，以后各项与 2 的差的绝对值小于 。对这个数列来说，若任给一个任意小的正数 ，要使 ，即 ，则有2nan1。这表示对于项数 的以后各项，总有 成立。1n1n由于 为任意给定的很小的正数，可见 就刻画了 与 2 无限接近这一事nn实。于是，得到了下述关于数列极限的分析定义：定义 3.1 ( 定义) 对于给定的任意小正数 ，总存在一个正整数 ，当N 0N时，不等式 恒成立，则称 是数列 的极限，记为ncancna或nliman这时称 为收敛数列，如 不是收敛数列，则称为发散数列。n为了描述简便，我们可运用下列记号：，当 时，有 ，则 。这
4、里记号“ ”表示0,Ncancanlim“任意” ，记号“ ”表示存在。在上述定义中，值得注意的是： 是任意给定的小正数， 由 决定，但并不唯一，N因为如果当 时，有 ，那么当 时， 也ncan ,2,1can自然成立，可见 的取法并不唯一，关键是它的存在。N例 3.1 用定义验证 10limnn证 任给 ，要使 成立，则有 ，即 。于是，可n 10nlg取。1,lgmaxN可见，任给 ，存在 ，当 时，有 成立，即0Nn10n。10limnn这里，记号 max 是 maximum 的缩写。 表示 n 个数 中a,max21 na,21最大的数，如 。同样，min 是 minimum 的缩写。
5、85.2,ax表示 n 个数 中最小的数，如 。,min21 n,21 .7,i在介绍数列极限的几何意义之前，我们先了解邻域的概念。定义 3.2 设 与 是两个实数，且 ，满足不等式 的实数的全体0x00x称为点 的 邻域。0x显然，点 的 邻域即表示以点 为中心， 为半径的开区间 （图0x0,x3-1） 。 图 3-1数列极限的几何意义：指的是 （正整数） ，当 时，有 ，即canlimN,0Nncan。c如果将数列各项 的值以及极限值 都用数轴上的点来表示，那么 在几何nc cnlim上表示了当 的一切 ，即点 都落在点 的 邻域之内，而在邻域之Na,21Nac外至多只有 个点。例 3.2
6、 设实数列 满足 ，证明n0lim2n 0li1na证明 令 ，那么1nnab 1212 nnn ba由 知， ，因此，对 ，存在正整数 ，0limnn 0lib01N当 时，有 。从而1Nn21nb nbNnbba Nnn 111121 2 因为 为定数，所以存在正整数 ，当 时， 。1Nb2N21取 ，则当 时，21,maxn211a因此， 。0li1na例 3.3 设 为常数， ，证明 ， 时， 发散。0limna1na证明 对任意 ，要使 ，即 ，0nl又 ，从而 ，故只需1ala（不妨设 ）nla取 。因此，对任意 ，存在 ，当 时，有aNln0NlnN所以， （ ） 。nllim1
7、a当 时，要使 发散，即证存在某个 ，对任意实数 及都存在正整数 ，1an 10AN当 时， ，只需 ，又 ，从而 ，故只需NnAn Aana0lnal1取 。因此，存在某个 ，对任意实数 ，存在 ，当aANln10AaNln1时，有 ，所以， 时， 发散。n1an习 题 3-11 写出下列数列的前三项：（1） （2）2sina1!1nnanmx（3） 2211（4） 0, 1111 bababannn（5） ,322y,11nn2 按定义证明（1） （2）23limn 19.0limn（3）数列 的极限为 1。n1,4,（4）设 （这里 为有限数） ，求证 。anli anan2li（5）若
8、 且,210kp appnnn lim,0lim21则 aapnn 21li（6）证明 。lin3 用极限定义证明 不存在。coslim4 设 ， ，用定义证明 。axn2li axn12 axnlim第二节 收敛数列的性质收敛数列的主要性质性质 1 （极限唯一性） 收敛数列的极限是唯一的。证明 假设收敛数列 的极限值不唯一。na不妨假设 且 ，则由 知，对于某个21lim,licn211limcan，一定存在某个 ，当 时，有21cN1can（3.2.1）由 ，则对于 ，必存在 ，当 时，有2limcan212N2ncan（3.2.2）取 ，当 时， （3.2.1）和（3.2.2）两式都成立
9、，于是21,axN，矛盾，假设不成立，212121 ccaccnnn 唯一性得证。定义 3.3 设 为数列， 为正整数 的无限子集，且 ，nakN kn21则数列 ,21 knna称为数列 的一个子列，简记为 。nak注意 1 由定义 1 可见， 的子列 的各项都选自 ，且保持这些项在nknna中的先后次序。 中的第 k 项是 中的第 项，故总有 。实际上，nknak本身也是正整数数列 的子列。k如子例 由数列 的所有偶数项所组成，而子列 则由 的所有奇数项na2n 12kan所组成。又 本身也是 的一个子列，此时， 。a,nk性质 2 数列 收敛的充分必要条件是： 的任何子列都收敛。n证明：
10、必要性 设 ， 为 的任一子列。任给 ，存在正整数nlimkan 0，使得当 时，有 。由于 ，故当 时更有 ，从而NkkNknk也有 。由于 ，故当 时更有 ，从而也有 ，akn knNnk akn这就证明了 收敛（并且与 有相同的极限） 。a充分性 考虑 的子列 ， 及 ，由假设，他们都收敛，由于nn212kka3既是 的子列，又是 的子列，故由刚才证明的必要性ka6n2k3knknna632limlili又 既是 的子列，又是 的子列，同样可得36k12kakkn312lili由上式kkna212limli由定理的证明可见，若数列 的任何子列都收敛，则所有这些子列与 必收敛na于同一极限
11、。于是，若数列 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数na列 一定发散，如数列 ，其偶数项组成的子列 收敛于 1，奇数项组成的na1n2数列 收敛于1，从而 发散。再如数列 ，它的奇数项组成的数列2k n si即为 ，由于这个子数列发散，故数列 发散。由此可见，定si1k 2n理是判断数列发散的有力工具。有界数列定义为：定义 3.4 若存在两个数 （设 ） ，数列 中的每一项都在闭区间BA,na内，即 ，则称 为有界数列。这时 为它的下界，BA, 321nanA为它的上界。注意（1）数列 的上界不唯一。即若 为它的上界，则 都为nB0,21rB的上界，下界也如此。na（2） 数列有
12、界也可以叙述为：若存在一个正整数 ，使得 ，就称M,3na为有界数列，或者说：若存在原点 的一个 邻域 ，使得所有n OOU,，就称 是有界数列。MOUa,na性质 3（有界性）收敛数列必有界。证明： 由 ，即 ，当 时 ，于是有canlimN,0ncancan 取 ，则对一切 恒有 成立。因此，收MN,ax21 Mn敛数列必有界。必须注意：有界数列不一定收敛。例如， 显然有界，但此数列不收敛。1n性质 4（保号性）若 （或 ） ，则存在正整数 ，当 时，0,limxnNn有（或 ）nn证明 仅证明 的情形，对于 的情形，可以类似予以证明。0x0x因 ，由极限定义，对于 ，存在正整数 ，当 时
13、，有nli 3Nn，即得 ，又 ，故 。3xnn42n由性质 4，我们有下面的推论推论 设对一切正整数 ， （或 ） ，且 ，则 （或0nxxnlim0） 。0x前面中给出了极限的概念，我们可以由已知数列极限来求数列的极限，性质 5 是数列极限的运算法则。性质 5 若 ， ，则anlimbnli1) ；abn 2) ，其中 k 为常数；knli)(li3) ；bann 4) ，这里bnlim0lin简单地说就是，若两个极限若存在，可以进行四则运算 （做除法时分母不能为零）证明：只证明（） ，其余同理可证。我们的目的是要得到：对于任意 ，存在 N，使得满足 的一切 n，都有0nbayxn由已知条
14、件得， ，所以对于任意 ，存在 ，使得满足 的一anlim211N切自然数 ，都有 ；n2axn同样的 ，所以对于任意 ，存在 ，使得满足 的一切自然数bynlim02N2Nn，都有 。所以当 时，有,ax21N；an2byn从而 。 2)(yaxxbayx nnnnn所以 bynnlim例 3.4 求 ，其中 均为正整数，并且 ，sssrrrnbbaa10li s, sr都是与 无关的数，并且 都不为 0。 kba, 0,解： srsrsssrr nbbaanna 1010由极限的和运算，但 时， ，再由01010, bnanasr 极限的除法运算，得 0210limbnbrn又 srsrn
15、当当li于是根据乘法运算得： srbanbasssrrrn 当当010lim在计算过程中，必须注意到只有极限存在时才能用上述运算法则，否则，不能用。如32limn 3201lim3li213lim21li nnn由于数列 是发散的数列，即 不存在所以此例中不能按下面的方 ,1li法做。即下面的运算32lin3lim2n是错误的例 3.5 求 32lim1n解 031231lim2li231li2li1 nnnnn例 3.6 设 为正常数，证明 。alina证明 若 ，则明显 。下面将 分成 与 两种情形证明。1110a当 时，令 ，则由 得 。a0nncannca1对任意 ，要使 ，即使 ，又 。解不等式01nac1得 ，取 。因此，对任意 ，都存在n1N0，当 时，都有 成立。因此，当 时aNn1na1alimn当 时，令 ，则 ，由极限性质 ，而10aab1nnbalim1li，则 。limnblin故对任意的正常数 ，都有 。1lim
