1、- 1 -2014-2015 学年上学期高三数学（文科）期末八校联考试卷一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=1，0，1 ，B=1，2，则 AB 等于（ ）A 1，0，1 B0，1 C1 D1 ，22设 i 为虚数单位，复数 等于（ ）A1+i B 1i C1i D1+i3如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为 1 的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ）A B2C3 D44执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（ ）A120 B720 C1440 D50405
2、已知a n为等差数列，且 a3+a8=8，则 S10 的值为（ ）A40 B45 C50 D556双曲线 的离心率 e 为（ ）ABCD7已知 sin（ +）= ，（0， ） ，则 sin（+）=（ ）ABCD8圆（x1） 2+（y2） 2=1 关于直线 y=x 对称的圆的方程为（ ）- 2 -A （x2 ） 2+（ y1） 2=1 B （x+1） 2+（y2） 2=1C （x+2 ） 2+（y1） 2=1 D （x1） 2+（y+2） 2=19双曲线 x2y2=4 的两条渐近线与直线 x=3 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A B C D10已知 均为单位向量，那么 是 的（
3、 ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件11设 f（x）与 g（x）是定义在同一区间 a，b上的两个函数，若函数 y=f（x） g（x）在xa，b 上有两个不同的零点，则称 f（x）和 g（x）在a，b上是“关联函数”，区间a ，b称为“关联区间” 若 f（x）=x 23x+4 与 g（x）=2x+m 在0 ，3上是“关联函数” ，则 m 的取值范围为（ ）A （ ， 2 B 1，0 C （ ，2 D （ ，+）12G 是一个非空集合， “0”为定义 G 中任意两个元素之间的二元代数运算，若 G 及其运算满足对于任意的 a，bG，a0b=c ，则 cG，那
4、么就说 G 关于这个 “0”运算作成一个封闭集合，如集合 A=x|x2=1，A 对于数的乘法作成一个封闭集合以下四个结论：集合0对于加法作成一个封闭集合；集合 B=x|x=2n，n 为整数 ，B 对于数的减法作成一个封闭集合；集合 C=x|0x1，C 对于数的乘法作成一个封闭集合；令 是全体大于零的实数所成的集合，R 对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（ ）A4 B3 C2 D1二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡相应位置- 3 -13某学校共有师生 2400 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 320 的样本，已知从学
5、生中抽取的人数为 280，那么该学校的教师人数是 14已知函数 f（x）=mx 2+nx2（m 0，n0）的一个零点是 2，则 的最小值为 nm115如图，一个等腰直角三角形的直角边长为 2，分别以三个顶点为 圆心，l 为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域 M （图中白色部分） 若在此三角形内随机取一点 P，则点 P 落在区域 M 内的概率为 16已知函数 f（x）= ，若关于 x 的不等式 f（x）m 2 m 有解，则实数 m 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17等差数列a n中，已知 a1=3，a 4
6、=12，（I）求数列a n的通项公式；（）若 a2，a 4 分别为等比数列b n的第 1 项和第 2 项，试求数列b n的通项公式及前 n 项和 Sn18已知锐角ABC 中的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，定义向量 =（2sinB， ） ，m，且 ，m（1）求 f（x）=sin2xcosB cos2xsinB 的单调减区间；（2）如果 b=4，求ABC 面积的最大值19沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg） ，获得的所有数据按照区间（40，45， （45，50
7、， （50，55， （55，60，进行分组，得到频率分布直方图如图 3，已知样本中产量在区间（45，50上的果树株数是产量在区间（50，60上的果树株数的 倍（1）求 a，b 的值；（2）从样本中产量在区间（50，60上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60上的果树至少有一株被抽中的概率- 4 -20如图，已知 AB平面 ACD，DE AB， ACD 是正三角形，AD=DE=2AB，且 F 是 CD的中点（）求证：AF平面 BCE；（）求证：平面 BCE平面 CDE21已知函数 f（x）=x 3+bx2+cx 的极值点为 x= 和 x=1（1）求 b，c 的值与 f（x）的单调区间（2）
8、当 x1，2时，不等式 f（x）m 恒成立，求实数 m 的取值范围22已知椭圆 + =1（ab0）过点（1， ） ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F 2 距离为 2（1）求椭圆的标准方程（2）是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴上方与椭圆交于 P1，P 2 两点（P 1 在 P2 的左侧），P 1F1 和 P2F2 都是圆的切线，且 P1F1P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由- 5 - 6 -2014-2015 学年上学期高三数学（文科）期末八校联考答案一、选择题： CDCBA ADAAB AA二、填空题：13. 300 14. 8 15. 16.
9、 411,三、解答题：17. 解：（I）设数列a n的公差为 d，由已知有（2 分）解得 d=3 （4 分）an=3+（n1）3=3n （6 分）（）由（I）得 a2=6，a 4=12，则 b1=6，b 2=12， （8 分）设 bn 的公比为 q，则 ， （9 分）从而 bn=62n1=32n （11 分）所以数列b n的前 n 项和（12 分）18. 解：向量 =（2sinB， ） ， =（2cos 2 1，cos2B） ，且 ，mm =2sinBcosB+ cos2B=sin2B+ cos2B=2sin（2B+ ）=0， （2 分）2B+ =k，即 B= ，kZ，0 B ，B= ， （4
10、 分）（1）f（x）=sin2xcosB cos2xsinB=sin（2xB）=sin （2x ） ， （6 分）由 2x 2k+ ，2k+ ，kZ，得函数 f（x）的单调减区间为k + ，k+ ，kZ； （8 分）（2）由余弦定理得：16=a 2+c22accos =a2+c2acac， （10 分）- 7 -SABC= acsin 4 ，则ABC 面积的最大值为 4 （12 分）19. 解：（1）由题意知：解得： ， （4 分）（2）在（50，55中有 4 个个体，在（55，60 中有 2 个个体，所以（50，60 中共 6 个个体所以从（50，60中任意抽取 2 个个体基本事件总数为 =
11、15 个， （8 分）设“至少有一个个体落在（55，60 之间”为事件 A，则 A 包含基本事件 15C =9 个， （10 分）所以 P（A）= = （12 分）20. 证明：（）取 CE 中点 P，连接 FP、BP，F 为 CD 的中点，FPDE，且 FP= 又 ABDE，且 AB= ABFP，且 AB=FP，ABPF 为平行四边形， AFBP （4 分）又 AF 平面 BCE，BP 平面 BCE，AF平面 BCE （6 分）（）ACD 为正三角形， AFCDAB平面 ACD，DE ABDE平面 ACD 又 AF 平面 ACDDEAF又 AFCD，CDDE=DAF平面 CDE （10 分）
12、又 BPAFBP平面 CDE又 BP 平面 BCE平面 BCE平面 CDE （ 12 分）21. 解：（1）f（x）=x 3+bx2+cx，f（x） =3x2+2bx+c，f（ x）的极值点为 x= 和 x=1- 8 -f（1） =3+2b+c=0，f（ ）= b+c=0，解得，b= ，c= 3 （4 分）f（x） =（3x+2） （x1） ，当 f（x）0 时，解得 x ，或 x1，当 f（x）0 时，解得 x 1，故函数 f（x）的单调递增区间为（ ， ）和（1，+） ，单调减区间为（ ，1） ， （6 分）（2）有（1）知 f（x）=x 3 x22x，x 1，2，故函数在 1， ）和（1
13、，2单调递增增，在（ ，1）单调递减， （8 分）当 x= ，函数有极大值，f（ ）= ，f （2）=2，所以函数的最大值为 2， （10 分）所以不等式 f（x）m 在 x1，2 时恒成立，故 m2故实数 m 的取值范围为（2， +）. （12 分）22. 解：（1）椭圆 + =1（a b0）过点（1， ） ，F1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，且 F1、F 2 距离为 2， ，解得 ，椭圆的标准方程为 （4 分）（2）如图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 相交，P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2）是两个交点，y 10，y 20，F1P1，F 2P2 是圆 C 的切线，且
14、 F1P1F2P2，由圆和椭圆的对称性，知 ，y 1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（1）知 F1（ 1，0） ，F 2（1，0） ，- 9 -所以 =（x 1+1，y 1） ， =（ x11，y 1） ，再由 F1P1 ，得（ x1+1） 2+ =0，由椭圆方程得 1 =（x 1+1） 2，即 =0，解得 或 x1=0当 x1=0 时，P 1，P 2 重合，此时题设要求的圆不存在当 时，过 P1，P 2 分别与 F1P1，F 2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C，设 C（0，y 0） ，由 CP1F1P1，得 ，而 y1=|x1+1|= ，故 ，圆 C 的半径|CP 1|= = 综上，存在满足条件的圆，其方程为： =
