1、1. 集合列的特征函数1.1 集合 E 的特征函数定义：对于 X 中的子集 E，作=x,01称 ： 是定义在 X 上的集合 E 的特征函数。EX1,0由定义知，特征函数 在一定意义上作为集合 E 的代表。E借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。1.2 定理：对任意的集合列 ，有nA = ，nAXlimnAlim = ，nnlinli集列 收敛的充要条件是它的特征函数列 收敛，且nAnAX=nAnXlimnAlim定理说明了集列 取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。集n列 收敛性与数列 收敛性等价。nAnAX证明：由特征函数的定义， =1 或 0，nAli
2、，设 =1 有无限个 ，使得 =1，xnAlimkknAX有无限个 ，使得 ，knkx，xli=1 （*1）nAXlim，设 =0 有无限个 ，使得 =0xnAli kknAX有无限个 ，使得 ，kx，nxli=0 （*2）nAXlim由（1）（2）式，得证。2 迭代数列收敛性与特征函数2.1.定义：设 = 在区间 I 上有定义，数列 满足迭代关系：)(xFfnx= （n=1,2 ，） （*3）1nnxf若存在自然数 N，使得当 nN 时恒有 I 成立 ， 则称 F（ x） 和 f（ x） 分别为迭代数列（*3）在区间 I 上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（ *3）称为 F(x)在区间 I
3、上的生成迭代数列。引理：设 f（x）是在区间 I 上有定义的单调函数， 是 I 的内点。若 存在，则0xxf0limf（x）在 处连续。0证明： 不妨设 =A，f（x）在区间 I 上单调增加。fx0lim故当 x 时， ,则 A= 。0fxx0因此 =A= ，x0li0故 在 处连续。f定理 1：设 =x- 是迭代数列（*3）在区间 I 上连续的特征函数，且 在 I 上单调xFf xF增加。则若 I=a,b且 F（a）=0，则 存在且等于 a，nxlim若 I= , 中尖括号一侧的端点可以是实数，也可以是 - 或+ ；为实数是可以包含端点，也可以不包含端点。证明：（i）由特征函数和极限的定义，
4、不妨设对一切自然数 n，迭代数列（*3）恒有 I=a,b,nx则 有下界。nx再用反证法证明 在 I 上单调减少：nx若存在自然数 使得 上的特征函数， 和 在 IxFf Ff上单调增加且存在 I 的内点 使得 =0，则 存在且等于0x0Fnxlim0x证明：不妨设对一切自然数 n，迭代数列（*3）恒有 ，I记 =.1I0x2I0由题设及引理得 在 和 上均单调增加且连续。F1I2若对 有 = ，则由 在 I 上单调增加有 Ix12xf0xf= = ，3f0一般地由数学归纳法易证 = （n=1,2，）；1nx0xf若对 有 = ，类似地可以证明Ix1201f（n=1,2 ，）。0fnn所以 是
5、迭代数列（*3）在 或 上的特征函数。xF1I2故由定理 1， 存在且等于 。nlim0x利用上述定理，可以把迭代数列收敛性的证明和求极限的问题转化为求其特征函数、迭代函数单增区间和特征函数零点的问题，从而把判断函数单调性和求函数零点的一些方法应用到迭代数列的求解中，简化极限运算。这种方法解题的一般步奏是：（1）求出函数 =x- 的单增区间（或 和 公共的单增区间）；xFf xFf（2）求出方程 =0 在单增区间的根 ；0（3）判断 是迭代函数列（1）在单增区间上的特征函数；x（4）判断极限存在并得出极限。例 1：设 0 , = (n=1,2,；00（x0）且 =0.10F当 0 时，恒有 =
6、 0（n=1,2，），1x1nxnxcl故 为迭代数列在单增区间0,+ )上连续的特征函数。F于是由定理 1 可得 存在且等于 0.nxlim例 2：设数列 满足迭代关系 = （n=1,2，；a0），证明 存在并nx1nnxa2 nxlim求此极限。证明：由数学归纳法和均值定理可知，当 时有 （n=2,3，）；01x),an当 时有 （n=2,3，）。(所以 是 分别在区间 和xxxF212n ),a上连续的特征函数。,(a由 F = 得 在 和 上单调增加。x021axF),a,(a又因为 解得 。F所以由定理 1 得 的极限存在且当 时， ；nx01xxnlim当 时， 。01xaxnli
7、m同理可证数列 ： （n=1,2，；a0）的极限存在且nxna213。3limaxn例 3：设数列 满足迭代关系 （n=1,2，； ，），证明：对任意的n nncsi1 10c初值 ， 存在并求此极限。1xli证明：对任意的 ，有 （n=2,3，），1xnx因此 F（x）= 是 在区间 上的特征函数。cfsinx1,又当 时， （等号仅当 时成立），,0o1x 0xc故 和 在 单调增加，且 。xf,F由定理 2 可知 的极限存在且等于 0.n同理可证明 （n=1,2，； ）的极限存在且 ，nxxcos:1 10c0limxn其中 是 的根。)0,1(x0F3.极限定理证明的特征函数法李亚普诺
8、夫提出了一种以特征函数为基础的思想证明了中心极限定理，后来的 发展说明了李亚普诺夫的方法在证明最为多种多样的极限定理时，是十分有效的，这决定了它的发展和广泛应用。3.1 分布函数与特征函数对应的连续性定理 1：设 是分布函数序列： ， ，而 是相应的特征函数序列：nFxFnRn，dtnitne（1）如果 ，其中 是某一分布函数，则 ，其中 是wn xtntn的特征函数。xF（2）如果对于每个 存在极限 ，而函数 在 连续，则 是某Rttnlimttnlim0t一概率分布 的特征函数，且xFwn 注：设 是随机变量，且 ,则称随机变量 依分布收敛于 ，21,n ,21并记作 定理时，常认为表达式
9、 .这一记号很直观（ 是 distribution 的字头），因 dn d此在表述极限定理时，常认为表达式 比 更好。 dnFwn证明：将弱收敛的定义分别用于函数 和 ，立即可以证明命题（1）；eitxRitxIm命题（2）的证明，要求事先证明几个引理。引理 1：设 是稠密概率测度族。假设序列 的弱收敛子序列 ，都收敛于同一概nPnPnP率测度 P。则整个序列 也弱收敛于同一概率测度 Pn证明：假设结果相反，整个数列不收敛于 P 则存在这样的有界连续函数 ，使得xfdxfnRdxfR由此可得，存在 和无限数列 ，使得0（*4）0 RRndxPfdxf则由序列 可以选出子序列 ，使得 ，其中 是
10、某一测度概率。nP Qwn 根据引理假设 ，所以有Q，dxPfdxPfRnR而这与（*4）矛盾，从而引理得证。引理 2：设 是 稠密概率测度族，序列 弱收敛于某种概率测度，当且仅当于nPB, n每个 存在极限 ，而函数 测度 的特征函数：RttnlimtndxPnRite证明：如果概率测度族 稠密，则存在数列 和概率测度 P，使得 。nP Pwn 假设结果相反，整个数列不收敛于 P，则根据引理 1，存在子序列 和概率测度 ，使 Q得 ，且 。QPwn 对于每个 存在极限 ，则RttnlimdxPdxPnRitnnRitn ee lml从而， 。QRitxRitx t由于特征函数唯一决定分布，故
11、 与假设 矛盾。PnP最后，由弱收敛的定义可得引理相反的结论成立。引理 3：设 是数轴上的分布函数，而 是其特征函数，则存在常数 ，使xFt0K得对于任何 有0a， （*5）dtaKxdax01 Re1证明：由于，xtFtcos则 aa ddt00 1Re1xta0cosdFaxin111siifaxy，axdFK1其中= ，yysinif171si所以，当常数 时（*5）式肯定成立。7K定理 1 的命题（2）的证明：设， ， ，其中 在 0 连续。tnnt现在证明，由此可得 是稠密概率测度族，其中 是对应于分布函数 的测度。pnPnF由于（*5）和控制收敛定理，当 时有n=aRP1,xdFa
12、xn1dtaKn0Re1由于根据定义 在 0 连续且 ，可得对于任何 ，存在 使得对于一切 ，t00a1n有。aRPn1,从而测度族 稠密，而由引理 2 可得存在概率测度 ，使得nPP。wn 因此 ，dxPdxt eitnitn即 。故 是概率测度 的特征函数。t3.2 极限定理证明的特征函数法定理 2（辛钦大数定率）设 是独立同分布随机变量序列，且 ， ，,21 1Em1+ ，则 ，即对任何 ，有1nSnmSpn 0，nSPn证明：设 和 ，则由随机变量的独立性有eitEt1eSitSnEttnnSt0,1toitmt因此对任意 ，有Rt，ntint,从而 eotiitmnnSt1函数 在 0 处连续且是集中在点 m 的退化概率分布的特征函数。eitm所以，nSd 即 p定理 3（独立同分布随机变量的中心极限定理）设 是独立同分布（非退化）,21随机变量序列，且 ， + ，则当 时，有21E1nSn， ， （*6）xDPnR其中 duxxe21证明：设 ，而211,mEmitEt1那么，如果记，enDSitnt则 tnt但.0,212tot因此，对任意固定的 t 和 ，有n.ettt nn 22函数 是均值为 0 而方差为 1 的正态分布（记作 ）的特征函数，故由定et2 1,0N理 1 可得（*6）式成立。根据定理 1 的注，可将该结果写成 ,DSEdn
