1、1用平移坐标法探究平行四边形的存在问题存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在性问题1. 平移坐标法的探究1.1 课本习题题目：（人教版数学七年级（下）习题 62 第 1 题） 如图 1，三架飞机 P、Q 、R 保持编队飞行，分别写出他们的坐标30 秒后，飞机 P 飞到 P 的位置，飞机 Q、R 飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标AB Cxy图 1 图 2 图 3 分析：三架飞机保持编队飞行，实际上是三架飞机保持相对位置不变，相当于PQR作了整体的平移，因此当飞机 P
2、平移到 P 的位置时，飞机 Q 和 R 与飞机 P 进行了相同的平移变换解：由图中看出四个点坐标分别为 P（-1,1） 、Q （-3,1） 、R（-1,-1） 、P（4,3） ，点 P（-1,1）平移到点 P（4,3） ，横坐标加了 5，纵坐标加了 2，所以 QQ、RR 的坐标变化也一样，从而 Q点的坐标为（ 2，3） 、R点的坐标为（4,1） 本题中求出点 Q、 R 坐标依据的是平移的性质：对一个图形进行平移，图形上所有点的横、纵坐标都要相应发生相同的变化1.2 模型探究如图 2，点 A、B、C 是坐标平面内不在同一直线上的三点（1）画出以 A、B、C 三点为顶点的平行四边形（2）若 A、B
3、、C 三点的坐标分别为 、 、 ，写出第四个顶点1,xy2,3,xyD 的坐标2解：（1）如图 3， 过 A、B、C 分别作 BC、AC、AB 的平行线，则以 A、B、C 三点为顶点的平行四边形有三个：以 BC 为对角线，有 CABD1；以 AC 为对角线，有 ABCD2；以 AB 为对角线，有 ACBD3（2）在 CABD1 中，线段 AC 平移到 BD1，因 AB 横坐标增加（ ） 、纵坐标增21x加（ ） ，根据坐标平移的性质得 D1（ ， ） y321x3y同理得 D2（ ， ） 、D 3（ ， ） 312x32yx213y结论：以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个由已知的三
4、点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标 姑且称之 为平移坐标法2. 平移坐标法的运用平移坐标法能否用来探究平行四边形的存在性问题呢？2.1. 三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性例 1 （2009 烟台）如图 4，抛物线 与 轴交于 AB，两点，与 轴交23yaxbxy于 C 点，且经过点（ ， ） ，对称轴是直线 ，顶点是 M23a1（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过 ,M两点作直线与 x轴交于点 N，在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点 P、A、C 、N 为顶点的四边形为平行四边形？图 4 图 5 解：（1）抛物线的函数表达式为 23yx（2）由已知条
5、件易探究得 A、C、N 三点坐标为 A 、 C 、 N (1,0)(,3)(,0)下面探讨以三点 A、C、N 为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标 如图 5，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以 CN 为对角线，第四个顶点坐标为 ；以1,P3AC 为对角线，第四个顶点坐标为 ；以 AN 为对角线，第四个顶点坐标为2,3P将其分别代入抛物线 中检验，其中只有 在抛物线34,Pyx2,3P上点评：本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑例 2 （2009 湖州）已知抛物线 （
6、 ）与 轴相交于点 ，顶点2yxa0yA为 .直线 与 轴相交于 点，与直线 相交于点 M1yxayCAMN(1) 填空：试用含 的代数式分别表示点 与 的坐标，则 ； N ,(2) 如图 6，在抛物线 （ ）上是否存在一点 ，使得以2yxa0P为顶点的四边形是平行四边形？PACN， ， ，图 6 图 7 解：（1） 4113MaNa， ， ，（2） 由已知条件易探究得 A、C、N 三点坐标为 A 、C 、N 0,a,41,3a下面探讨以 A、C、N 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图 7若以 CN 为对角线，第四个顶点为 ，代入解析式得 ，即147,3Pa38a4；781,2P若
7、以 AC 为对角线，第四个顶点为 ，代入解析式得 ，即241,3Pa158a；25,8P若以 AN 为对角线，第四个顶点为 ，代入解析式得 0，不合345,Pa158a题意，无解所以在抛物线上存在点 和 ，使得以 为顶1728， 258， PACN， ， ，点的四边形是平行四边形点评：本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母 a） ，但依然可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标看上去此法冗长，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨有些解法通过分析图形认为以 AN 为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显然”并不显然抛物线的走向和弯曲程度学生是难以判断的，更何况这是一个含字母
8、系数的二次函数这样讨论更严谨！2.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性。例 3 （2009 抚顺） 已知：如图 8，关于 的抛物线 与 轴交x2(0)yaxcx于点 、点 ，与 轴交于点 (20)A， (6)B， yC（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点 ，使四边形 为等腰梯形，写出点 的坐标，并求出DABD直线 的解析式；D（3）在（2）中的直线 交抛物线的对称轴于点 ，抛物线上有一动点 ， 轴MPx上有一动点 是否存在以 为顶点的平行四边形？QPQ、 、 、解：（1）抛物线解析式为 ，顶点坐标是（2，4） 213yx（2）点 坐标为 ， 直线 的解析
9、式为 D(4,3)AD1yx5图 8 图 9 （3）直线 与抛物线对称轴 的交点坐标为 M（2，2） 12yx2x假设 轴上动点 Q 的坐标为 下面探讨以 A、M、Q 三点为顶点的平行四边,0m形的第四个顶点坐标 （图 9） 若以 MQ 为对角线，第四个顶点坐标为 ，代入 得14,2P2134yx2m若以 AM 为对角线，第四个顶点坐标为 ，代入 得2,m2yx若以 AQ 为对角线，第四个顶点坐标为 ，代入 得34,P2134yx62m存在满足条件的点有四个： ， ， 1(20)Q， 2()Q， 0， 3(0)Q， 4(620)，点评：先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照平移的性质，写
10、出第四个顶点的坐标再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标上述例题中总有两个点在同一坐标轴上，尚可通过平移和旋转来探究平行四边形的存在问题如果题目中没有两点在同一坐标轴上，难么，难以通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题然而平移坐标法将是解决这一问题的一个法宝 （见附件）例 4 （2009 南平）如图 12，已知抛物线： xy21（1）求抛物线 的顶点坐标 1y（2）将 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线 ，求 的解析式2y（3）抛物线 的顶点为 P， 轴上有一动点 M，在 、 这两条抛物线上是否存在点yx1y2N，使 O、P、M、N 四点构成以 OP 为一
11、边的平行四边形？6POyxNM图 12 图 13解：（1） 的顶点坐标是（2，2） 1y（2） 54x（3）假设 轴上动点 M 坐标为 有已知条件易得 P ,0m4,3下面探究以 O、P、M 三点为顶点（OP 为边）的平行四边形第四个顶点 N 的坐标如图 13，因为 P 为抛物线 、 的最高点，若以 PM 为对角线，有 PNOM ，则点1y2N 不可能在抛物线 或 上，故不可能存在满足条件的点；若以 OM 为对角线，用平移坐1y2标法看出点 N 坐标为 4,3m若点 N 在抛物线 上，可得： 或 ；1y42104210m若点 N 在抛物线 上，可得： 或 2 33存在满足条件的 N 点有四个：
12、、 、 、 1(20,3)2(10,)3(42,)N4(2,)N点评：本题中 N 点可以在抛物线 上，也可以在抛物线 上，运动的范围较大，yy学生难以探索，用平移坐标法不必分析复杂的图形，降低了分析的难度，体现了平移坐标法强大的解题功效 本题中因确定了以 OP 为一边，所以只有两种情况需要探究3 平移坐标法的思考 平移坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等，而是用动态的观点看待几何图形把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想7平移坐标法
13、的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标） 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标最后根据题目的要求（动点在什么曲线上） ，判断平行四边形的存在性平移坐标法的特点： 不会遗漏 平移坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；不需证明平移坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；不限条件平移坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变由课本习题偶然发现可以通过平移直接写出点的坐标，于是笔者进一步研究发现，新课程把“平面直角坐标系”前移，同时新增了“用
14、坐标表示平移”的内容，实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识附：（2007浙江义乌）如图 10，抛物线 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B23yx点左侧） ，直线 与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2l（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使得以 A、C、F、G 这样四点为顶点的四边形是平行四边形？图 10 图 11 变式 图 11，若已知 Q ，点 G 是抛物线 上的动点，在抛物线(0,1)23yx上是否存在点 F，使得以 Q、C、F、G 四点为顶点的四边形是平行四边形？21yx解题思路： 设 F 点坐标为（a, ）,那么转化为三个定点问题，三个定点是 Q 2a8，C（2，-3） ，F（a, ） ，直接写出点 G 坐标，后代入 中，(0,1)21a23yx就可求出 a，从而知 F 点坐标。 也可设 G 点坐标，再写出 F 点坐标，代入也可。2yx
