1、矩阵的特征根的求法及应用摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。关键字 矩阵 特征值 特征多项式1.特征值与特征向量的定义及其性质；1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质1.1 矩阵特征值与特征向量的定义设 是 阶方阵，如果存在数 和 维非零向量 ，使得 成立，则AnnxxA称 为 的特征值， 为 的对应于特征值 的特征向量.xA1.2 矩阵特征值与特征向量的性质矩阵特征值与特征向量的性质包括：（1）若 重特征值，则 个线性无关的特征向量，iirA的是 isA有对 应 特 征 值 其中 .irs（2）若线性无关
2、的向量 都是矩阵 的对应于特征值 的特征向量，21,x0则当 不全为零时， 仍是 的对应于特征值 的特征向量.1,kkA（3）若 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别n是 矩 阵,21是 ，则这组特征向量线性无关.nx,21（4）若矩阵 的特征值分别为 ，则nijaAn,21， .naa21An21（5）实对称矩阵 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交 .（6）若 是实对称矩阵 的 重特征值，则对应特征值 恰有 个线性无关iAiriir的特征向量.（7）设 为矩阵 的特征值， 为多项式函数，则 为矩阵多项式AxPP的特征值.AP2特征值与特征向量的常规求法；1.一般教科书求特征
3、值的传统方法是令特征多项式| E- A| = 0, 求出A的特征值, 对于A的任一特征值 , 特征方程( E- A)X= 0的所有非零解X即为矩阵A的属于特征值 的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法.1：特征方程( E- A)X= 0 进行行列式计算，求特征值与特征向量。列 1：求实数域上矩阵 的特征值与特征向量。12传统解法；解 212142301141523EA令 ,得 （二重） ， 是 A 的全部特1ijiiijiijcrkckcrk0EA1235征值。当 时，对应的特征
4、方程；1212312302xx的基础解析为，10210所以 A 的属于 全部特征向量为 ，其中 ， 为不全为零的常数；1212k1k2当 时，对应的特征方程351231234024xx的基础解析为所以 A 的属于 的全部特征向量为 其中 不为零.31353k3定理1：A 是n 阶方阵, 为待求特征值.若对矩阵( A- E) 施行一系列行初等变换, 可得到上三角矩阵 ( ) , 令 ( ) 的主对角线上元素乘积为零, 求得B值即为矩阵A 的特征值.例 求实数域上矩阵 121A的特征值与特征向量.解|12.10.212.01.010153.22|TAEDP 令 的主对角线元素之积为零, 即 =0，
5、特征值为 （二重） ；151235时； = 。121|DP2.001.2，于是 对应的特征向量为1R12, 1T2001T所以 A 的属于 全部特征向量为 ，其中 ， 为不全为零的常数；1212k1k2当 时。35= 3|DP24.0106.12.0201.61，于是 对应的特征向量为 ，其中 不为零。32R353k32：列行互逆变换法定义 1:把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换;1：互换 i.j 两列 ，同时互换 j.i 两行ijcjir2：第 i 列乘以非零数 k ，同时 i 行乘 ；i 1ik3：第 i 列 k 倍加到第 j 列 ，同时第 J 行-k 倍加到第 i 行 。jicijrk
6、定理 1：A 为任意 n 阶方阵，若 ,其中TAJI P 一 系 列 列 行 互 逆 变 换J=diag 是 jordan 标准型矩阵，P=12kj(),(),.()nkkjj1.r证：任一矩阵必相似于 jordan 标准型矩阵，有矩阵 A 的转置矩阵 相识于一Tjordan 矩阵 J，即纯真可逆矩阵 P，使得 ,故 AP=P ，其中1TPJJP= 11.r1 1k0.0.0iiiikJ1 1k0.0.0.iiTiikJ所以 A =11.r11.r1kk0rTTJ固有 。1.iiAr所以 为 A 的特征值， 为 A 对于的 的特征向量。i iiki列 1：解103120IA13()Cr 1040121()cr 104120321()cr 2104 321rc1042所以，特征值 ， 对应特征值 的特征向量为143 2， 对应特征值 的特征向量为 。13 13注：解答过程中(1)处的 K=-1 是由方程 2+3K+(2+k)(-K)=0 确定的， （2）处的K=-1 是由方程-1+K+(3K)(-K)=0 确定的， （3）处的 K=-1/2 是由方程-1+2K+4（-K）=0 确定的。
