1、1第二章极限与连续一、数列的极限A、数列Un中的数称为数列的项，Un 为数列的一般项或通项。正整数 n 称为数列的下标。给定数列Un ，各项的取值由其下标唯一确定，所以数列Un 可以视为定义在正整数集 N*上的函数，即称为下标函数。B、已知数列Un ，当 n 无限增大时，Un 无限趋近于某一个常数 A，则 A 为数列Un的极限。即 Un=A 或 UnA（n+ ）limn若数列Un有极限，则称数列 Un收敛，或 Un 存在limn若数列Un无极限，则称数列 Un发散，或 Un 不存在有界数列：|Un|M（nN*，M 0）收敛数列必定有界，单调有界数列必有极限。二、函数的极限 【前提必须是在某一趋
2、向下】A、x时函数 f（x）的极限 a、已知 f（x） ，x时，f （x）无限趋近于某一个常数 A，则称当 x时，函数 f（x）的极限存在，且称当 A 为 x时，f（x）的极限。 【双边极限】记作： f（x）=A 或 f（x）A， （x）limb、已知 f（x） ，x+时，f （x）无限趋近于某一个常数 A，则称当 x+时，函数 f（x）的极限存在，且称当 A 为 x+时，f（x）的极限。 【单边极限】记作： f（x）=A 或 f（x）A， （x+ ）lic、已知 f（x） ，x-时， f （x）无限趋近于某一个常数 A，则称当 x-时，函数 f（x）的极限存在，且称当 A 为 x-时，f（x
3、）的极限。 【单边极限】记作： f（x）=A 或 f（x）A， （x- ）lim综上： f（x）=A f（x）= f（x）=AlilimB、xx 0时 f（x）的极限a、f（x）在 x0的某空心邻域内有定义，xx 0时 f（x）无限趋近于某常数 A。即当 xx 0时 f（x）的极限存在，且称 A 为 xx 0时 f（x）的极限。记作： f（x）=A 或 f（x）A，（xx 0）0limb、f（x）在 x0的某空心邻域内有定义，xx 0-时 f（x）无限趋近于某常数 A。即常数 A 为 xx 0时 f（x）的左极限。记作： f（x）=A 或 f（x）A，（xx 0-）或 f（x 0-0）=A0l
4、ic、f（x）在 x0的某空心邻域内有定义，xx 0+时 f（x）无限趋近于某常数 A。即常数 A 为 xx 0时 f（x）的右极限。 【左极限和右极限统称为单侧极限】记作: f（x）=A 或 f（x）A，（xx 0+）或 f（x 0+0）=A0lim综上： f（x）=A f（x）= f（x）=A0 0li0lim2三、无穷大量与无穷小量A、在自变量的某一变化过程中（即在某一趋向下），若 f（x）的绝对值无限的增大，则称 f（x）为无穷大量。即 limf（x）=。a、 若 f（x）恒为正且 f（x）无限的增大，则称 f（x）为正无穷大。即 limf（x）=+b、 若 f（x）恒为负且 f（x）
5、的绝对值无限的增大，则称 f（x）为负无穷大。即 limf（x）= 一个无穷大量与一个有界变量（即有限函数）之和仍为无穷大量。 两个无穷大量的乘积仍是无穷大量。 两个正（负）无穷大量之和仍为正（负）无穷大量。【若是一正一负则结果不能确定】B、极限为零的变量成为无穷小量。 （0 也是无穷小量）limf（x）=A f（x）=A+ 其中 lim=0 有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量。 有限个无穷小量的积仍为无穷小量。 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量。C、无穷大量与无穷小量的关系在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量（不取零
6、时）的倒数是无穷大量。即 limf（x）= 则 lim =0 )(1xfD、无穷小量的阶【即无穷小量和无穷小量的大小比较 】若 与 为同一变化过程中的两个无穷小量a、若 =0，则称 是比 高阶的无穷小量。limb、若 =，则称 是比 低阶的无穷小量。lic、若 lim =A0， （且 A1）则称 与 为同阶的无穷小量。d、若 =1，则称 是与 等价的无穷小量。 记作：lime、若 =A0，k0，则称 是关于 的 k 阶无穷小量。 li若在同一极限中，、 均为无穷小量a、，即任何一个无穷小量总是和它本身等价。b、，则 。即等价关系具有传递性。c、，则 。即两个等价无穷小量乘以同一无穷小量后，仍为
7、等价无穷小量。d、 1， 1,则 1 1 。 即两个无穷小量之积等价于各自的等价无穷小量之积。四、函数极限的性质与运算法则A、函数极限的性质（同样适用于数列极限）3a、若极限 limf（x）存在，则极限值唯一。 【唯一性】b、 f（x）存在，则函数 f（x）在 x0 的某空心邻域内有界。 【局部有界性】0limc、若 f（x）=A 【 局部保号性】0、A0（或 A0） ，则函数 f（x）在 x0 的某空心邻域内恒有 f（x）0（或0）、x 0 的某空心邻域内恒有 f（x）0（或 f（x） 0）则有 A0（或 A0）c、 若 f（x）=A，若 g（x）=，且在 的某个空心邻域内恒有 f（x）g（
8、x） ，则0li0liB、函数极限的运算法则a、limf （x ）与 limg（x）存在，则 limf（x）g（x）与 limf（x）g（x）存在若有 limf（x）=A，limg（x）=B，limf（x）g（x）= limf（x）limg（x）=A+Bb、limf（x）与 limg（x）存在，若有 limf（x）=A，limg （x）=Blimf（x ）g（x）= limf（x）limg（x）=A B= = （B 0）()limfli()fAd、 由上 a、b 运算性质可得如下推论： 极限 limf（x）存在，C 为常数，则有 lim()li()cfxfx 极限 limf（x）存在， （n
9、可为正数也可为负数也可以是分数）li()nfx求函数极限的几种方法： 、多项式与分式函数：消去 0 因子法（即通过因式分解消去不利因子）、有理化：分子分母都乘以相应无理式的共轭因式、利用无穷小与有界函数的乘积为无穷小简化（只针对 时）x、无穷小分子法：（给公式的那个）10 0().lim()nnmx maabb、之后马上就会说的利用两个重要极限。、最麻烦的那个变量代换（注意趋向）、不会就用洛必达法则做，以后第四章再说C、极限存在性定理a、夹逼定理：若在 的某空心邻域 【要求 0】内恒有0x0,0()(,)xx【要求同一趋向下】 。 且有 = =A 则极限 存在，且有()()gxfh 0limx
10、g0li()xh0lim()xf=A 【对于其他函数极限的情形和数列极限，也有类似结果】0limxb、单调有界数列必有极限。五、两个重要极限A、 或 另：|sinx|x| （x0 时）01lisnx:01lisin()1()xfxf4B、 或 或 1lim()xxe10li()xxe()()1limfxfxe几个等价无穷小 【 时】sin:tarcsin:arctn:21cosx:ln()x:1lnxa用于简化求极限值的运算1xe()1xx【等价无穷小的代换只适用于乘除，不能用于加减】六、函数的连续性A、函数的连续与间断a、设函数 y=f（x）在点 的某个邻域内有定义，x 在 处的 趋于零时，
11、函数相应的该变量0 0x也趋于零。即 ()(yff00limli()(xxyffx即称函数 y=f（x）在点 处连续并称 是函数 y=f（x）的连续点。0b、y=f（x）在点 的某个邻域内有定义，若 y=f（x） ，当 时的极限存在且等于 f（ ）即0 0 0x。即称函数 y=f（x）在点 处连续，并称 是函数 y=f（x）的连续点。0 0lim()(li)x xfff 0x连续即为不间断，连续的条件（证明时会用到）、 存在 、 存在 =0()f0li()xf0lim()xf0c、在某邻域有定义时 00li()xf左 连 续右 连 续有定义时，f（x）在（ a，b）内连续，且在点 a 右连续，
12、在 b 左连续，则称函数 f（x）在a，b 上连续。所以，f（x）在 处连续 f（x）在 处既左连续又右连续。0x0e、 间断点的分类、左右极限存在 0000()lim()=li()limli()xxxxf fff左 右 极 限 相 等 ， 可 去 型 间 断 点 。 即 时 没 有 定 义 ，左 右 极 限 不 相 等 ， 跳 跃 间 断 点 。、左右极限至少有一个不存在 00() li()xf f无 穷 间 断 点 ： 左 右 极 限 中 至 少 有 一 个 是振 荡 间 断 点 ： 在 的 任 意 邻 域 内 振 荡 ， 且 不 存 在B、初等函数及分段函数的连续性a、设 f（x）与 g（x）在点 或区间 D 上连续，则有 、 、 在点 或区间 D0 ()fxg()fx:()fgx0上均连续。b、复合函数的连续性5函数 f（x）在点 连续时，函数符号 f 与极限符号 lim 可以交换。即 ，且0 0 0lim()li()xxff其连续性在某一邻域内一致。c、基本初等函数在其定义域内连续。初等函数在其有定义的区间内连续。d、常用的等价无穷小们 （第四页上有，就不再写一遍了）e、零点定理： 在闭区间a，b上连续，且 ，则至少存在一点 （a，b）使 =0 ()fx()0fab:0x()fx
