1、“等效单摆”周期的求解浙江省苍南县灵溪第三高级中学 李求龙 （325800）效单摆”的种类繁多，但由单摆的周期公式 可知，一般的等效单摆gLT2实质上是改变摆长，或者是改变重力加速度，或者是同时改变摆长和重力加速度的情形。故等效单摆的周期公式 ，式中 L*为等效摆长， g*为等效（类）重力gLT2加速度。我们要理解摆长 L*是从悬点（静止）或系统中的质心（定点）算起； g*为等效（类）重力场中的等效（类）重力加速度，g*的大小和方向是恒定不变的。一、等效摆长 L*：1、单线摆摆长的改变例 1、 如图所示，长为 L 的单摆，如果在 O 点的正下方 处的 B 点固定一个光L43滑的钉子，使摆球 A
2、 通过最低点向右摆动，悬线被钉子挡住成为一个新的单摆，则这个单摆的振动周期是多少？（已知摆角50）解：其周期应是摆长为 L 的单摆的周期 T1 的一半与摆长为 的L41单摆的周期 T2 的一半之和。即gl1gl42glT23212、多线摆（双线摆、三线摆、四线摆等）例 2、 如图 2 所示，三线长均为 L，BC、BD 线拴在天花板上，两线与天花板的夹角均为 ，AB 线的下端拴上小球，现使球在垂直于纸面做小角度摆动，问此摆的周期。解：此摆动方向在前后的竖直平面内，故该摆的等效摆长为 OA 的 长即：L*=（1+sin）L，周期为gLgT)sin1(23、单线连接的两球摆例 3、如图 3 所示，A
3、、B （m A= 3m 、m B=m）两球作长为 L 的细线相连，A 球穿过光滑的水平横杆且可以自由滑动，求此摆的周期？（振幅很小）解：由于两球在摆动过程中沿水平方向所受的外力之和为零，故该系统有一定点 O（质点）是不变的，故 O 点相当于摆的悬点，则求摆长就容易。由水平方向的动量守恒得： “等AB图 2ODCAB图 1Om AvA=mBvB3mv A=mvB vA、v B 分别是两球回到平衡位置时的速率，而周期 TA=TB ，即Bkmk23据简谐运动的能量公式 2121221 kvxvEmPK 有 213AAkv又 21BBm由上各式得 3BAAA 或 AB 为振幅，由三角形相似有L43)(
4、故该摆的周期为 gLgBAT32从种种摆长变化来看，将各种摆等效成一单线摆，确定摆动过程中系统中哪一点是固定的这点就相当于悬点，再确定摆球质心到悬点的距离，便可确定等效摆长，从而确定该摆运动的周期。二、等效重力加速度 g*、在某种物理条件下，让摆球在平衡位置静止，摆球所受的各力中mFg去掉悬绳的作用力，剩下各力沿绳方向合力即为 F*，并且 F*提供了简谐运动的回复力。1、在加速的系统中：摆球所受的各力中包括惯性力，惯性力的大小 F= m a，方向和 a 的方向相反，此时对单摆受分析时，惯性力要看成一个独立存在的力。例 3、 如图 4 所示，一单摆在竖起向上的匀加速系统中（加速度为 a） ，求此
5、单摆的振动周期？解：如图 4（a ）所示，摆球受到绳的拉力 FT，惯性力 F，重力 G，去掉绳的拉力 FT，如图 4（b）所示则摆球还受两个力G 和 F，这两个力在平衡位置沿绳方向的合力为B 图 3OABALFTA图 4aOGFGF（a）（b）F*= G + F = m（g +a） agLgLT2例 5、如图 5 所示，一单摆在水平向右的匀加速系统内，单摆的摆长为 L，系统水平方向加速度为 a，求此单摆的振动周期？解：如图 4（a ）所示摆球受到绳的拉力 FT，惯性力 F，重力 G，去掉绳的拉力 FT，如图 4（b）所示 则摆球还受两个力 G 和 F，这两个力在平衡位置沿绳方向的合力为 222
6、2agLgLTm2、带电摆球在电场、磁场和重力场的复合场中运动，要弄清电场力或磁场力是否恒定不变（是否有提供回复力） 。例 6、如图 6 所示，摆球的质量为 m，摆长为 L，若摆球的带电量为+q，且在单摆的悬点处放一带电量为+Q 的点电荷，试求单摆的振动周期？解：本题中的带电摆球在重力场和电场的复合场中运动时，摆球在运动中的每个位置处所受的电场力是变化的（F 电 的大小不变，方向始终随线方向的变化而变化） ，故其不能合成一恒定不变的类重力加速度 g*。分析可知此电场力始终沿绳方向不提供回复力，只有重力沿圆弧切线的分力提供摆球运动的回复力。故 g*= g。 gLgLT2例 7、如图 7 所示，摆
7、球的质量为 m，摆长为 L，若摆球的带电量为+q，且单摆处在竖直向下电场强度为 E 的匀强电场中，试求单摆的振动周期？解：摆球受到绳的拉力 FT，电场力 F 电 ，重力 G，去掉绳的拉力 FT，则摆球还受两个力 G 和 F 电 （均为恒力） ，这两个力在平衡位置沿绳方向的合力为F= G + F 电 = mg +qE FA图 7+q m+EO（a）（b）Aa图 5FTFG AFGGFA图 6+q m +O+mqEgLgLmFT:2三、等效摆长 L*和等效重力加速度 g*例 8、 （竞赛练习题）如图所示是一种记录地震装置的水平摆，摆球 m 固定在边长为 l，质量可忽略不计的等边三角形的顶点 A 上
8、，它的对边 BC 跟竖直线成不大的夹角 ，摆球可绕固定边 BC 摆动，求摆球作微小摆动的周期。解：此摆动方向在前后的竖直平面内，该等效摆长为隐形摆长如图（b）中 OA 即llLoA23sin等效重力加速度为ig所以此摆做微小摆动的周期为sin232glgLT综上所述：由质量为 m 的质点和摆长为 L 组成的单摆的周期 T 与摆角 和质量 m无关，若单摆在加速度为 a 的系统中式中的 g*为 g 和 a的矢量和（a 方向和 a 的方向相反） 。若摆球带电荷 q，置于匀强电场中，则 g*为重力和电场力的矢量和与摆球的质量m 比值；若单摆处于由位于单摆悬点处的点电荷产生的电场中，或磁场中时，周期不变
9、。巩固练习：1、如图 9 所示，摆球的质量为 m，摆长为 L，若摆球的带电量为+q，且单摆处在方向垂直纸面向里的磁感强度为 B 的匀强磁场中，在摆角小于 50， 求该单摆的振动周期？2、如图 10 所示，摆球的质量为 m，摆长为 L，若摆球的带电量为+q，且单摆处在水平向右电场强度为 E 的匀强电场中，在摆角小于 50，求单摆的振动周期？3、如图 11 所示，摆球的质量为 m，系在长为 l 的细绳上，细绳另一端固定在竖直高 OC 长为 h 的杆上端，球在倾角为 的光滑斜面上做微小角度的摆动，已知细绳与杆成 a 角，求其摆动的周期？ FA图 10+q m +EOAA图 11hBl OCFA图 9+q m +BO AB图 8OC AB（b）OCg*gg（a）答案：1、 gLgLT22、 2)(:mqE3、 sincoglhlgL
