1、1奥数专题之递推递推法专题递推法是组合数学中的一个重要解题方法，许多问题通过递推法来解决就显得精巧简捷鉴于这一方法在学习中的应用越来越广泛，掌握和运用这种方法，就显得更加重要递推方法问题主要有两类：一是问题中有明显的递推关系，重点在于递推关系的应用；二是问题中没有明显的递推关系，需要对已有条件进行变形或改变问题的有关形式而建立递推关系，将问题转化为第一类问题。本文重点探索第二类问题。通过建立、研究递推关系 Sk+1=f(Sk)，使问题得以解决的方法称为递推方法。例 1 平面上有 n 条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这 n条直线可以把平面分割成多少个部分？请看一个引起普遍
2、关注的关于世界末日的问题。例 2 有这样一段关于“世界末日”的传说。在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约 0.5 米。据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金片。每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到来。这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少时间。也就是说，人类在这个世界上还可
3、以生存多少时间。例 3 有 10 级台阶，小王从下向上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？追问：10 级的情况可以一一列出，台阶数比较多的情况，怎么办？提示：此即为斐波那契数列 a n求通项的问题。例 4 同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4 张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6 种 （B）9 种 （C）11 种 （D）23 种这里，我们引进一个概念：设 a1,a2,a3,，a n 是 1，2，3，n 的一个排列,如果 ai i,(i=1,2,，n),则称这种排列为一个错位排列（也称为更列） 。2更列问题也可以形象地理解为
4、：将 1，2，3，n 看成已经排好对的 n 个人，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。例 5 A、B 二人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 3 的倍数时，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数不是 3 的倍数时就由对方接着掷，第一次由 A 开始掷，求第 5 次仍由 A 掷的概率。例 6 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端异色。如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数有多少种？例 7 设实数 a,b,x,y 满足方程组 ，求 的值。42167342byaxyx5byax例 8 设 为下列自然数 N 的个数：N 的各位数字之和为 n，且每位数字只能是
5、 1，3 或 4. na求证 a2n是一个完全平方数。例 9 过平面上两点 A、B 分别有 m、n 条直线，问这 m+n 条直线最多可以把平面分成多少部分？（m 和 n 均为正整数）3递推数列求通项问题一、 引例斐波那契数列假定一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，隔月一次。年初时兔房里有一对小兔（一雌一雄） ，问一年以后，兔房里有多少对兔子？解：设第 个月初时兔房里有兔子 对。易知nnf(1)2,1,321ff第 个月初时兔房里的兔子可分为两部分：一部分是第 个月初时已经在兔房 1n里的兔子，共有 对，另一部分是第 个月初时新出生的小兔，
6、共有 对，于是1nf 2nnf.(2)nf2这就是为广大中小学生所熟悉的斐波那契数列，它是递推数列的一个典型代表。二、递推数列（一）.递推数列的定义斐波那契数列是递推数列的典型代表，其中(2)式称为递推式，也称递推关系， (1)式是初始条件，这二者是递推数列的必要构成条件。一般地，我们把满足. (6),.(11knnknffFf和初始值的数列 称为 阶递推数列。当递推关系的形式为(7)(.21 Ffcfcff nkknknkn时，数列 称为 阶常系数线性递推数列，其中 为常数，且 。若函数kc,.21 0kc，则递推关系 (7)所确定的数列 称为 阶常系数齐次线性递推数列；否则，0)(Fnf称
7、递推关系(7)所确定的数列 为 阶常系数非齐次线性递推数列。因此，斐波那契数列nfk是一个 2 阶常系数齐次线性递推数列。递推数列是数列中的一个重要类型，数学竞赛中的数列问题多与递推数列尤其是其通项有关，且问题多以递推式、不等式等形式出现，本文主要探讨递推数列通项的求法。（二）递推数列求通项的常用方法常见的求递推数列通项的方法有：（1）迭代法：对所给的递推式进行适当的变形，以便能连续使用下标较小的项代替某些下标较大的项，最后在一般项与初始项之间建立某种练习，从而求通项。4（2）化归法：把不熟悉的问题转化为熟悉的问题解决是数学中处理问题的常用策略，最常见的是转化为等差或等比数列来解决问题。（3）
8、累加法：形如 的递推式，其通项求法多采用累加法，具体操作)(1nfan见例题 3。（4）累乘法：形如 的递推式，其通项求法多采用累乘法，具体操作见nnf)(1例题 4。（5）代换法：包括代数代换、对数代换、三角代换等。代换的优点在于可以使用一些原本并不明显的性质和运算。比如三角代换 ，代换后就可以使用三角函数的有nnasi关变换和性质。（6）数学归纳法：在递推公式比较复杂，一般情形较难处理时，可以通过一般问题特殊化的思想，先通过简单情况的研究提出猜想，再用数学归纳法证明。（7）不动点法：形如 （其中 ， ）的递推式，其通项求dcarpnn10cbdr法可采用不动点法。不妨称 的根为上述数列的不
9、动点， 若该数列有两个不动点 和 ，则可dcxrp 令 （其中 为待定常数） ，代入 的值可求得 值。这样数列nnaAa1 A12,aA是首项为 ，公比为 的等比数列，于是可求得 。n1 n若该数列只有一个不动点 ，则可令 （其中 是待定常数） ，Aann11代入 的值可求得 值。这样数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，12,aAn1于是可求得 。n（8）特征根方法引例中求斐波那契数列通项公式的方法称为特征根法。这是一种解常系数齐次线性微分方程时常用的方法，在求解线性递推数列通项时也经常使用。其中方程（8）kkkk cxcx.21称为数列(7)的特征方程，对应的根称为数列 的特征根。对 阶常
10、系数齐次线性递推数nf列(7)，设其特征根为 ，对应的重数为 ，则数列 的通t,.21 ktdt1,.,21 nf项为 )()()(1 nttnnn AAf 12.)(idiii Bn中5这里 都是常数，它们由初始值可以确定。ijB特征根方法使用较多的是求二阶线性递推数列的通项问题。若递推数列 的特征nf方程有两个不等实根（称为特征根） ，则递推数列 的通项 ，21,xnfnxcf21其中 由数列的初始值 唯一确定 。若特征方程有21,cba21, bxca221两个相等实根 ，则递推数列 的通项 ，其中 由数列x21 nf nnf)(221,c的初始值 唯一确定 。ba21, bxca21)
11、(三、例题精讲例 1 已知数列 中， ， ，求此数列的通项 。n3141nnana例 2 已知 ，求 .3,12nan例 3 在数列 中， ，求通项公式 .na,1na)1(42na例 4 设正数数列 满足 ，且 ,10na212nna)2(1n，求 的通项公式。10an6例 5 数列 与 定义如下：,10a,10b ,210,1,2,0 20 nbbann证明：对每一个 ，有, nnba2例 6 数列 满足递推式 ，试求 的通项公式。na,21,1naCnkk na例 7 在数列 中， 1， ，求通项na423nnana例 8 数列 满足 且 ，求通项公式。nx018321nnxx7解析几何
12、专题讲座一 知识补充（部分）1 直线参数方程的标准式及其应用， （t 为参数）sinco0tyx注意：t 的几何意义2 圆锥曲线的焦半径公式及其应用3 圆锥曲线的统一定义及其应用平面内，到定点的距离与它到定直线的距离之比为一个常数 e 的点的轨迹。这里e（0，1）时轨迹是椭圆；e=1 时轨迹是抛物线；e （ 1，+）时轨迹是双曲线。4 圆锥曲线的极坐标方程 cos1p二 几个问题问题 1：已知 Q 为抛物线 上的动点， M（m , 0）为其对称轴上的xy2)0(点，试讨论|QM| 的最小值，并指出何时取得该最小值。变式：椭圆 E： + =1 ( )上的点 Q 到其长轴上的点 N（m ,o）的最
13、小距离。2axby0问题 2 AB 是过抛物线 （p0）的焦点 F 的动弦,该抛物线在 A,B 处的切线交于pxy2M，求动点 M 的轨迹。并将问题作进一步的推广。推广：AB 是过抛物线 （p0）的点（m,0）的动弦,该抛物线在 A,B 处的切线pxy28交于 M，求动点 M 的轨迹。问题 3 直线 上任意一点 引抛物线 的两条切ym(0)0(,)Qxm2xpy(0)线，切点分别为 ，问：直线 是否过定点？,AB问题 4 求证椭圆的一条弦的两端与焦点所在的轴的端点连线的交点在准线上的充要条件是该弦过椭圆焦点问题 5 过抛物线 （p0 ）的焦点 F 的弦 AB，A 在准线上的射影为 E，求证：B
14、Epxy2过顶点 O；并请将该命题推广到椭圆和双曲线情形推广： 问题 6 圆锥曲线焦点三角形的一些性质例题 分别是椭圆 E： + =1 ( )的左右焦点，P 是 E 上的动点，I 是三21,F2axby0角形 的内心，PI 与 x 轴的交点为 E，求 的值。请把该结果推广到双曲线。21P|I推广：对于双曲线9三 经典题型1. 已知椭圆 的左右焦点分别为 与 ，点 P 在直线 l：2164xy1F2上. 当 取最大值时，比 的值为 .3820xy12FP12P2 已知点 P（1，2）既在椭圆 内部（含边界） ，又在圆 x2+y2= 外部（含2byax 32ba边界） ，若 a,bR +,则 a+
15、b 的最小值为_.3. 在 Rt 中， . 如果椭圆经过 两点,ABC24,3ACBAB它的一个焦点为 ，另一个焦点 F 在边 上. 如图，以 CF 所在直线为 x 轴，CF 中点 O 为原点建立直角坐标系.（）求出椭圆的标准方程.（）设 P 为椭圆上的动点，是否存在定圆 ，使得以 PC 为直径的圆 始1 2C终内切于圆 ，若存在，求出圆 的方程，若不存在，说明理由.114. A、B 为双曲线 上的两个动点，满足 。 （1）求证：1942yx 0OBA为定值；（2）动点 P 在线段 AB 上，满足 ，求证：点 P 在定圆21O P上.105（2015 全 1-20）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y = 与直线 ( 0)交与24xykxaM,N 两点， （）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由。
