1、第 1 页 共 13 页常见递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见递推数列求通项的基本求法。类型 1、 型ngan1解题思路：利用累差迭加法，将 ， = ， = ,各式相)1(1nganna2)(ng2a1)(g加，正负抵消，即得 .n例 1、在数列 中， , ，求通项公式 .a31)(1n n解：原递推式可化为： 1an则 ,212a3123，434 nn1逐项相加得： .故 .n1a4例 2在数列 中， 且 ，求通项 .a021nna解：依题意得， ，
2、 ，把以上各式相加，得1 321,3, 132 n23nn【评注】由递推关系得，若 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若 非常数，g na1而是关于 的一个解析式，可以肯定数列 不是等差数列，将递推式中的 分别用 代入得nan2,34,个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得 ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。1 n例 3、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 312n1n， an解：由 32n1得 an1则 1232n1nn a)()a()a()( )(33(2 3121n1 1 所以 nan 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出132an1n
3、 132an1n，即得数列 的通项公式。232n1n )()a()a()( 练习：1、 已知 n满足 1， )(1nn求 na的通项公式。第 2 页 共 13 页2、 已知 na的首项 1， nan2（ *N）求通项公式。3、 已知 中， 3， ，求 。类型 2 型nnf)(1解题思路：利用累乘法, 将 各式相乘得，1,2,121 fanfanfan ，即得 .21121 fnffaan n例 4在数列 中， ， ，求通项 .1anna解：由条件等式 得， ，1n nn 12121 得 .na1【评注】此题亦可构造特殊的数列，由 得， ，则数列 是以 为首项，以 11na1nana1为公比的等
4、比数列， 得 .1nnqa例 5、设数列 是首项为 1 的正项数列，且 （n=1,2,3） ，则它的通项公式n 0)(121nnn是 =（2000 年高考 15 题）.na解：原递推式可化为：=0)()1(1nna 0， na1n则 ，,43,2,312na1逐项相乘得： ，即 = .na1n练习：1、已知： 31， 12nna（ 2）求数列 na的通项。2、已知 na中， nn1且 1求数列通项公式。类型 3、 型),0(1cdcn第 3 页 共 13 页解题思路：利用待定系数法，将 化为 的形式，从而构造新数列dcan1 xacnn1是以 为首项，以 为公比的等比数列.xanx1例 6数列
5、 满足 ，求 .n 2211an， n解：设 ，即 对照原递推式，便有x1(),xan x1.故由 得 ，即 ，得新数列 是以 为首项，,21nna1(21nn 21nna121以 2 为公比的等比数列。，即通项1nn 1na【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“ ”作适当的分离，配凑成等比数列的结构，从而构造出1一个新的等比数列。练习：1、已知 na满足 31， 21nna求通项公式。2、已知 中， ， （ ）求 na。分析：构造辅助数列， ，则)(1nn 13同类变式1、已知数列 满足 ，且 ，求通项na)2(1ann 21ana分析：（待定系数） ，构造数列 使其为等比数列，bk即
6、，解得)()(1bknn,求得 1251an2、已知： 1， 时，121nan，求 na的通项公式。解：设)(21BABAnann21 121BA解得： 64BA 3641a 64na是以 3 为首项， 2为公比的等比数列第 4 页 共 13 页 1)2(364nna 64231nan3、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1n1n， an解： 两边除以 ，得32an1 n3，1nn13则 ，1nn132a故 3a)()3a()a()a(3 12n22n11nn )1()3()2()( 22n1nn3122n1n 因此 ，nnn 3213)()(2a 则 213nn评注：本题解题的关键是
7、把递推关系式 转化为 ，进而求出132an1n 1nn132a3+ ，即得数列 的通项公式，最后再求数列)3a()3a()3a( 2n2n11n )( 的通项公式。类型 4 型gacnn1例 7 已知数列 的前 项和 满足nSna2（1） 写出数列的前 3 项 ；321,（2） 求数列 的通项公式.na解：（1）由 ，得 .11S1a由 ,得 ,42262由 ,得31a33(2)当 时,有 ,即 n211nnnaS21na第 5 页 共 13 页令 ,则 ,与比较得,12nna12na2是以 为首项,以 2 为公比的等比数列.4,故11)(nnn 1n引申题目：1、已知 na中， 1，nna2
8、1（ ）求 na2、在数列 中， 求通项公式 。,34,1n解：原递推式可化为：)3(2311nnnaa比较系数得 =-4，式即是： .)34(23411nnna则数列 是一个等比数列，其首项 ，公比是 2. 41n 51 253na即 .11n3、已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。ann1n23aa1an解： 两边除以 ，得 ，则 ，n123n23n123n1故数列 是以 为首，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，an123 23)1n(2a所以数列 的通项公式为 。nn)(a评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差数列，n1n23a23an1 2
9、an再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式)(24、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式113()nnaA5、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式112()nna6、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 6a531n1n， an解：设 )xa(25xn1n第 6 页 共 13 页将 代入式，得 ，等式两边消去 ，得n1n53a2 nn1n5x2a5x3a2 na2，两边除以 ，得 ，则 x=1，代入式，x53 n52得 )a(2an1n由 0 及式，得 ，则 ，则数列 是以 为首56105an25an15an15a项，以 2 为公比的等比数列，则 ，
10、故 。1nn21n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列n153a)5a(25an1n是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。5an5nn类型 5、取倒数例 8、已知数列 中，其中 ，且当 n2 时， ，求通项公式 。na,112nana解： 将 两边取倒数得： ，这说明 是一个等差数列，首项是 ，21n 1nan 1a公差为 2，所以 ，即 .2)(nan 2例 9、数列 中，且 ， ，求数列 的通项公式.n311nnana提示 21nna例 10、 ，求1,1nna解： 即na21nb21则 1211 nnnn ab例 11、数列 na中， n
11、na12， 1，求 n的通项。解： nn11 112nn第 7 页 共 13 页设 nab1 112nnb nnb21 nn2111nnb232nn3231b21nnb21231 nn21)(1 nnn 1na练习：1、在数列 中， 求 na,3,1nan类型 6、取对数法例 12 若数列 中， =3 且 （n 是正整数） ，则它的通项公式是 =（2002 年上海高考题）na121n na.解 由题意知 0，将 两边取对数得 ，即 ，所以数列 是以n21na nnalg2l12l1nalgna= 为首项，公比为 2 的等比数列， ，即 .1lga3 113llgl nn 13例 13、已知数列
12、 满足 ， ，求数列 的通项公式。an5n1na371an解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得73215n1n， 01nn， 5n1na32lgalg5l1n设 )yxna(l5y)1(xl1n 11第 8 页 共 13 页将式代入 式，得 ，两边消去 并整理，得11 )yxna(lg5y)1n(x2lg3nalg5 nalg5，则yx2yxn)3(lg，故5ll42lg163y代入 式，得11 l)n(lalg1n42l634(l5n12由 及 式，042lg63lg7l1galg1 12得 ，042l63n4ll 则 ，542lg163n4lgal)(n1 所以数列 是以 为首项，以
13、 5 为公比的等比数列，则llln 42lg163l7g，因此nn 5)421637(lg42163g4alg lgl5)ll7(l nn 1n46145)2lg3llg7( )23l()237lg(2l3lgl 4164n1n41644164 1n4164)l(，则 。7g)( 51n5n5n51n1n n 41516n45nn1237a评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5n1na32a，从而可知数列 是等)4lg643lga(l542lg163)n(4lgal n1n 42lg163n4lgal比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。21aln 练
14、习：1、若数列的递推公式为 ，求这个数列的通项公式12()naA类型 7、平方（开方）法例 13、 若数列 中， =2 且 （n ） ，求它的通项公式是 .n1213nana第 9 页 共 13 页解 将 两边平方整理得 。数列 是以 =4 为首项，3 为公差的等差数列。213nna321na2na21。因为 0，所以 。)(21an n【评注】求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知数列,使问题化陌生为熟悉.我们要根据不同的递推关系式,采取不同的变形手段,从而达到转化的目的.其他类型：1、数列 中， 且满足na2,841annaa12*N求数列 的通项公式；设 ，求 ；|2S S
15、设 = ，是否存在最大的整数 ，使得对任意nb)1(na )(),( *21*bbTNnn m，均有 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。*NT32mm解：（1）由题意， ， 为等差数列，设公差为 ，nna1nd由题意得 ， .8d210)(28（2）若 ，50则 |, naS时 212 9,2na时，6n naaaS 7651 40)(25 Snn故 n4092（3） )1(2)1()1( nnabnnT )1(432 n .)(2若 对任意 成立，即 对任意 成立，3m*N16mn*N的最小值是 ， 的最大整数值是 7。)(1*n,2即存在最大整数 使对任意 ，均有,7*.3T
16、n说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。提高相关阅读利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，下面介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略.一、构造等差数列法例 1.在数列a n中， ，求通项公式 an。anan113212， ()()第 10 页 共 13 页解：对原递推式两边同除以 可得：n()12anan12()()令 bnn()1则即为 ，则数列b n为首项是 ，公差是 的等差数列，因而n12ba1132()bn12，代入式中得 。bn32()ann24故所求的通项公式是ann141()二、构造等比数列法1.定义构造法利用等比数列的定义 ，通过变换，构造等比数列的方法。qan1例 2.设在数列a n中， ，求a n的通项公式。ann112，解：将原递推式变形为aann122()nn12()/得： ，aann122即 lglgaann1设 bnnl2
