1、应用二元一次方程组 鸡兔同笼 1列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把 “ 未知 ” 转化成 “ 已知 ” 的重要方法它的关键是把已知 量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系一般来说，有几个未知量就 必须列出几个方程，所列方程必须满足： (1)方程两边表示的是同类量； (2)同类量的单位要统一； (3)方程两边的数值要相等 列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程 【例 1】 “ 甲、乙隔河放牧羊，两人互相问数量，甲说得乙羊九只，我羊是你二倍整乙说得甲羊八只，两人羊数正相当 ” 请你帮助 算一算，甲、乙各放多少羊？ 分析： 题中有两个未知数：甲放羊的只数和乙放羊的
2、只数相等关系： (1)甲放羊的只数 9 2(乙放羊的只数 9)； (2)甲放羊的只数 8乙放羊的只数 8. 解： 设甲放羊 x 只，乙放羊 y只 由题意，得 x 9 2(y 9)，x 8 y 8. 解得 x 59，y 43. 所以甲放羊 59 只，乙放羊 43 只 析规律 建模型、列方程组 在列方程组解决 实际问 题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程 (组 )，建模过程即可完成，因此解决实际问题的建模过程非常重要 2列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系 (2)设：设未知
3、数 (一般求什么，就设什么为 x， y) (3)找：找出能够表示应用题全部意义的两个 等量关系 (4)列：根据这两个等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组 (5)解： 解所列方程组，得未知数的值 (6)验：检验 所求未知数的值是 否符合题意 ，是否符合实际 (7)答：写出答案 (包括单位名称 )北师版中的 “ 答 ” 一般用 “ 所以 ” 代替 点技巧 完善列方程解应用题的步骤 (1)“ 审 ” 和 “ 找 ” 两步在草稿上进行，书面格式中主要写 “ 设 ”“ 列 ”“ 解 ” 和“ 答 ” 四个步骤 (2)解应用题时，切勿漏写 “ 答 ” ， “ 设 ” 和 “ 答 ” 要写
4、清单位名称 【例 2】 一张方桌由 1 张桌面和 4 条桌腿做成，已知 1 m3 木料可以做桌面 50 张或桌腿300 条现有 5 m3 木料，恰好能做成方桌多少张？ 分析： 这是一个产品配套问题题中已知数有两个：做桌面的木料的方数 和做桌腿的木料的方数相等关系： (1)做桌面的木料的方数做桌腿的木料的方数木料的总方数；(2)4 桌面的张数桌腿的条数 解： 设用 x m3 木料做桌面， y m3 木料做桌腿，由题意，得 x y 5，450 x 300y. 解得 x 3，y 2. 因为 350 150，所以恰好能做成方桌 150 张 注：读懂题意，找出等量关系式是关键 3列方程组解决古代问题 人
5、们在日常生活中 少不了数学运算，在诗歌创作中也时有反映解决这类问题的关键是读懂题意，将古诗文转化为白话文 【例 3 1】 周瑜年华 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个是十位正两倍； 哪位学子算得快，多少年华数周瑜？ 分析： 本题有两个等量关系式：十位数字个位数字 3；个位数字十位数字的 2 倍 解： 设周瑜年龄的个位数字为 x，十位数字为 y，根据题意，得 y x 3，x 2y. 解得 x 6，y 3. 所以周瑜只活了 36 岁 点评： 解决这类问题的关键在于从实际问题背景中抽象出数学问题的本质，建立方程 (组 )模型，并能从多种途径出发，通过列方程 (组 )去求得其解 【例
6、 3 2】 二果问价 九百九十九文钱，甜果苦果买一千， 甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 试问甜苦果几个？又问各该几个钱？ 分析： 这首古诗词翻译成白话文，即：九百九十九文钱可买一千个 甜果和苦果，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买多少个？买甜果、苦果各需多少文钱？ 解： 设甜果 x 个，苦果 y 个，根据题意，得 x y 1 000，119 x47y 999.解得 x 657，y 343. 因为 119 x 803， 47y 196，所以甜果 657 个需 803 文钱，苦果 343 个需 196文钱 4实际问题中的基本数量关系及关键词 常用的数量关系有： (1
7、)路程速度 时间； (2)工作量工作效率 工作时间； (3)商品的销售额商品销售价 商品销售量； (4)商品的总销售利润 (销售价成本价 ) 销售量； (5)商品售价标价 折数； (6)商品的利润率 商品利润商品成本价 100% 等等 还要正确理解一些关键词表达的同类量之间的特殊的等量关系，如 “ 提前 ”“ 超过 ”“ 早到 ”“ 迟到 ”“ 几倍 ”“ 增加了 ”“ 相向而行 ”“ 同向而行 ” 等 【例 4】 8 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，从现在起 8 年后父亲的年龄成为儿子年龄的 2 倍，求父亲和儿子现在的年龄 分析： 题中有两个未知数： 父亲现在的年龄和儿子现在的年龄 相等
8、关系： (1)8 年前父亲的年龄 48 年前儿子的年龄； (2)8 年后父亲的年龄 28年后儿子的年龄 解： 设父亲现在的年龄是 x 岁 ，儿子现在的年龄是 y岁， 由题意，得 x 8 4(y 8)，x 8 2(y 8). 解得 x 40，y 16. 所以父亲现在 40 岁， 儿子现在 16 岁 点评： 此题易出现 x 8 2y 这类错误原因是认识到父亲增长了 8 岁，忘记了儿子也应该增长 8 岁遇年龄问题时，注意两人年龄同时增长相同岁数 5列二元一次方程组的应用题常用策略 (1)“ 直接 ” 与 “ 间接 ” 转换：当直接设未 知数不便时，转而设间接未知数来求解，反之亦然 (2)“ 一元 ”
9、 与 “ 多元 ” 转换：当设一个未知数有困难时，可考虑设多个未知数求解，反之亦然 (3)“ 部分 ” 与 “ 整体 ” 转换：当整体设元有困难时，就考虑设其部分，反之亦然，如：数字问题 (4)“ 一般 ” 与 “ 特殊 ” 转换：当从一般情形入手困难时，就着眼于特殊情况，反之亦然 (5)“ 文字 ” 与 “ 图表 ” 转换：有的应用题，用文字语言表达较难，就 可以用表格或图形来分析，这样既直观，也易理解题意 【例 5】 学校书法兴趣小组准备到文具店购买 A、 B 两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买 A 型毛笔不超过 20 支时，按零售价销售；超过 20 支时，超过部分每支比零售价
10、低 0.4 元，其余 部分仍按零售价销售一次性购买 B 型毛笔不超过 15 支时，按零售价销售；超过 15 支时，超过部分每支比零售价低 0.6 元，其余部分仍按零售价销售 如果全组共有 20 名同学，若每人各买 1 支 A 型毛笔和 2 支 B 型毛笔，共支付 145 元 ；若每人各买 2 支 A 型毛笔和 1 支 B 型毛笔，共支付 129 元这 家文具店的 A、 B 两种类型毛笔的零售价各是多少？ 分析： 20 名学生每人买 1 支 A 型毛笔的钱每人买 2 支 B 型毛笔的钱 145 元； 20 名同学每人买 2 支 A 型毛笔的钱每人买 1 支 B型毛笔的钱 129 元 解： 设该家文具店 A 型毛笔的零售价为每支 x元， B 型毛笔的零售价为每支 y 元，根据题意，得 20x 15y 25(y 0.6) 145，20x 20(x 0.4) 15y 5(y 0.6) 129. 解得 x 2，y 3. 所以这家文具店 A 型毛笔的零售价为每支 2 元， B 型毛笔的零售价为每支 3 元
