1、第 1 页 共 9 页AB PRCQ平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点P、Q、R ，则 P、Q、R 共线的充要条件是 。1BAC塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q 、R，则AP、 BQ、CR 共点的充要条件是 。1BAC托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。例题：1 设 AD 是ABC 的
2、边 BC 上的中线，直线 CF 交 AD 于 F。求证： 。FBA2ED【分析】CEF 截ABD （梅氏定理）1FCE【评注】也可以添加辅助线证明：过 A、B、D 之一作 CF 的平行线。AB CFDElPACBEF DAB CPQRA BCD第 2 页 共 9 页2 过ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于E、F ，交 CB 于 D。求证： 。1ACB【分析】连结并延长 AG 交 BC 于 M，则 M 为 BC 的中点。DEG 截 ABM （梅氏定理）1DBGEDGF 截 ACM （梅氏定理）CFA = = =1CBM)(2【评注】梅氏定理3 D、E、F 分别在ABC 的 BC、C
3、A、AB 边上，AD、BE 、CF 交成LMN。ABC求 SLMN 。【分析】【评注】梅氏定理4 以ABC 各边为底边向外作相似的等腰BCE、CAF、 ABG。求证：AE 、 BF、CG 相交于一点。【分析】AB CDG FEAB CDEFM NLC BAAB CD MG FEAB CGFEAB CGFEMNL第 3 页 共 9 页【评注】塞瓦定理5 已知ABC 中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。【分析】过 A 作 BC 的平行线交ABC 的外接圆于 D，连结 BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。【评注】托勒密定理6 已知正七边形 A
4、1A2A3A4A5A6A7。求证： 。 （第 21 届全苏数学竞赛）413121【分析】【评注】托勒密定理7 ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于 P，作PEAB 于 E，延长 ED 交 AC 延长线于 F。求证：BCEF=BFCE+BECF 。【分析】【评注】西姆松定理（西姆松线）8 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 分别被内分点M、N 分成的比为 AM：AC=CN：CE=k ，且 B、M、N共线。求 k。 （23-IMO-5）【分析】AB CDPEFDE FABCNMBCADA1A7 A6A5A4A3A2A1A7 A6A5A4A3A2ODE FABCMN第 4
5、页 共 9 页【评注】面积法9 O 为ABC 内一点，分别以 da、d b、d c 表示 O 到BC、CA 、AB 的距离，以 Ra、R b、R c 表示 O 到A、B、C 的距离。求证：（1）aR abd b+cdc; (2) aRacd b+bdc;(3) Ra+Rb+Rc2(d a+db+dc)。【分析】【评注】面积法10 ABC 中，H、G、O 分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O 三点共线，且 HG=2GO。 （欧拉线）【分析】【评注】同一法11ABC 中，AB=AC，ADBC 于 D，BM、BN 三等分ABC，与 AD 相交于 M、N ，延长 CM 交 AB 于 E。求证：MB
6、/NE 。【分析】OCA BHGB CDMNAEOCBADFEOCBADFEKLOBACDHG86745321B CDMNAE第 5 页 共 9 页【评注】对称变换12G 是ABC 的重心，以 AG 为弦作圆切 BG 于 G，延长 CG 交圆于 D。求证：AG 2=GCGD。【分析】【评注】平移变换13C 是直径 AB=2 的O 上一点，P 在ABC 内，若PA+PB+PC 的最小值是 ，求此时ABC 的面积7S。【分析】【评注】旋转变换费马点：已知 O 是ABC 内一点，AOB=BOC= COA=120；P 是ABC 内任一点，求证：PA+PB+PC OA+OB+OC。 （O 为费马点）CB
7、AGDPBACPBACBPCBAGGDA BC COPPOA BCOP第 6 页 共 9 页【分析】将 C C，O O， P P，连结 )60,B(R )60,B(R )60,B(ROO、PP。则B OO 、B PP都是正三角形。OO=OB，PP =PB。显然BOCBOC，BPC BPC。由于BOC=BOC=120=180- BOO ，A 、O、O、C四点共线。AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即 PA+PB+PCOA+OB+OC。14(95 全国竞赛) 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别交于 E、F、G、H，在弧 EF 和弧 GH 上分别作O 的切线交 AB、BC、CD、DA 分
8、别于M、N、P、Q。 求证：MQ/NP 。【分析】由 ABCD 知：要证 MQNP，只需证AMQ=CPN，结合A= C 知，只需证AMQCPN ，AMCN=AQCP。NPAQ连结 AC、BD ，其交点为内切圆心 O。设 MN 与O 切于 K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记ABO=， MOK=， KON=，则EOM= ，FON=，EOF=2+2=180 -2。BON=90- NOF-COF=90- -=CNO=NBO+NOB= +=AOE+ MOE=AOM又OCN=MAO，OCN MAO ，于是 ，CNAOMAMCN=AO CO同理，AQCP=AOCO。【评注】15(96 全国竞赛)O 1
9、 和O 2 与 ABC 的三边所在直线都相切，E、F、G、H 为切点，EG 、FH 的延长线交B DOACMN PQEO1GCO2AFHPBDB OACELF GHQPNM第 7 页 共 9 页DB OCAFGHEM N DB OCAFGHEM NEH于 P。求证：PABC。【分析】【评注】16(99 全国竞赛)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC平分BAD。在 CD 上取一点 E，BE 与 AC 相交于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证：GAC=EAC。证明：连结 BD 交 AC 于 H。对BCD 用塞瓦定理，可得1ECDHB因为 AH 是BAD 的角平分线，由角平分线定理，可得
10、 ，故 。A1ECDBG过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I，过 C 作 AD的平行线交 AE 的延长线于 J。则 ，E,IB所以 ，从而 CI=CJ。1CJDA又因为 CI/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=- DAC=ACJ。因此，ACIACJ ，从而IAC=JAC，即GAC=EAC。已知 AB=AD， BC=DC，AC 与 BD交于 O，过 O 的任意两条直线 EF 和 GH与四边形 ABCD 的四边交于E、F、 G、H 。连结 GF、EH，分别交BD 于 M、N。求证： OM=ON。 （5 届CMO）ABDCEFG4321EO1GCO2AFHPB DDBACHEJFG
11、I第 8 页 共 9 页证明：作EOH EOH，则只需证 E、M、H共线，即 EH、BO、GF )AC(S三线共点。记BOG=，GOE=。连结 EF 交 BO 于 K。只需证=1（Ceva 逆定理） 。KEFHBG= = =1 OKEFHBOGESS OEFsinBsi 注：筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。对应于 99 联赛 2：EOB=FOB，且 EH、GF、BO 三线共点。求证：GOB=HOB 。事实上，上述条件是充要条件，且 M 在 OB 延长线上时结论仍然成立。证明方法为：同一法。蝴蝶定理：P 是O 的弦 AB 的中点，过 P 点引O 的两弦CD、EF，连结 DE 交 A
12、B 于 M，连结 CF 交 AB 于 N。求证： MP=NP。【分析】设 GH 为过 P 的直径，F FF，显然 O。又 )GH(SPGH，PF=PF。PF PF，PA PB，FPN=FPM，PF=PF。 )GH(S )(又 FFGH，ANGH，FFAB。FPM+MDF= FPN+EDF=EFF+ EDF=180，P、M 、D、F四点共圆。 PFM=PDE=PFN。PFNPFM，PN=PM。【评注】一般结论为：已知半径为 R 的O 内一弦 AB 上的一点 P，过 P 作两条相交弦 CD、EF ，连 CF、ED 交 AB 于 M、N ，已知 OP=r， P 到 AB 中点的距离为 a，则B OFGEHMOBA PDFC EN MHGFOBA PDFC EN M第 9 页 共 9 页。 （解析法证明：利用二次曲线系知识）2rRaPN1M
