1、平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量 ，在平面内任取一点 A，作 ， ，则向量,abr BarCbr叫做 与 的和，记作 ，即 ACarbrC求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则说明：运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接” ，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型（2）向量加法的平行四边形法则以点 O 为起点作向量 aA ， ，以 OA,OBO
2、Bbur为邻边作 ，则以 O 为起点的对角线所在向量CBY就是 的和，记作 = 。ur,abbrCr说明：三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型对于零向量与任一向量 0aarr，（3）特殊位置关系的两向量的和当向量 a与 b不共线时， +b的方向不同向，且| +b| |，则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-|b|；若| a|b|，则 a+ 的方向与 b相同，且| +b|=|b|-| |.（4）向量加法的运算律向量加法的交换律： a+ = +向量加法的结合
3、律：( +b) +c= + ( + )知识点二：向量的减法（1）相反向量：与 长度相同、方向相反的向量.记作 ar 。ar（2）向量 和- 互为相反向量，即 (- ).ar ar零向量的相反向量仍是零向量 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 (- )(- ) rar0r如果向量 互为相反向量，那么 - ， - ， ,abrarbb（3）向量减法的定义：向量 加上的 相反向量，叫做 与 的差.r即： = + ( ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.rr（4）向量减法的几何作法在平面内任取一点 O，作 ，则 即 可以表示为从向,AaBburrAaburr量 的终点指向向量 的终点的向量，这就是
4、向量减法的几何意义brar说明： AB表示 .强调：差向量“箭头”指向被减数b用“相反向量”定义法作差向量， = + ( )， 显然，此法作图arbr较繁，但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义（1）定义：一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，r记作 ，它的长度与方向规定如下：ar| | |当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反0arr0arr当 时， （2） 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设 、 为实数，那么( )() ；arr( ) ；a( ) b知识点四：向量共线的条件向量 ( )与 共线，
5、当且仅当有唯一一个实数 ，使 ar0br bra学习结论（1）两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定，这两种法则本质上是一致的共线向量加法的几何意义，为共线向量首尾相连接，第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量（2） 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量abrbrar（3）实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加（4）向量 ( )与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 。r0r bra练习例 1已知任意两个非零向量 ，作 ，试判断,abr,2,3OAabBOCurrurA、B 、
6、C 三点之间的位置关系解： a+2b(a+b)b，urOB且 a+3b(a+b)2 b，A 2 所以，A、B、C 三点共线例 2.如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 ，且 ， ，试用 ， 表示向MuraADrbar量 ,r解析： = ，所以C1()2, 所以1()2AbrrBurMr1()2br1()2MDbaurr例 3.一艘船从长江南岸 A 点出发以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的流速为向东 2 km/h试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字） ；求船实际航行速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度).分析：速度是
7、一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解析：如图，设 表示船向垂直于对岸行驶的速度， 表示水流的速度，以ADABAD、AB 作邻边作平行四边形 ABCD，则 就是船实际航行的速度.AC在 RtABC 中，| |2，| |5，B | |C295.4ur tanCAB ， 5268CA答：船实际航行速度的大小约为 5.4 km/h，方向与水的流速间的夹角为约为 68.1.(2006 上海理)如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）（A） ； （B） ；BDCADBC（C） ； （D） 02 （2007 湖南文）若 O、E、F 是不共线的任意三点
8、，则以下各式中成立的是（ ）A B. OFEC. D. 3 （2003 辽宁）已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A、C） ，则（ ）PA B)1,0(),(DB )2,0(),(CAC D, ,4.(2008 辽宁理)已知 O， A， B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C，满足,则 （ ）20A B C D2213OAB123OAB5 （2003 江苏；天津文、理） 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，、 、动点 满足 的轨迹一定通过 的( )P(),0,AP则 C（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心6 （2005 全国卷理、文）已
9、知点 ， ， 设 的平分线(3,1)(,)B(3,0)BA与 相交于 ，那么有 ，其中 等于( )ECE（A） （B） （C） （D）127设 是两个不共线的非零向量，若向量 与 的方向相反，则ba, bak2k8k=_.8.（2007 江西理） 如图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点 M、N，若 m ， n ，则 mn 的值为 ABCAN9 （2005 全国卷理） 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，C，则实数 m = )(OAmH10.（2007 陕西文、理）如图，平面内有三个向量 、 、 ，其中AB与 的夹角为 120
10、， 与 的夹角为 30，且 B1， .若 的C2 则R),(O值为 .例 1. B 例 2 例 3B. （三）基础训练： A BCD1. C； 2B. 3A 4. A 5B 6C； 7_4_；8. 2 9 1 ；10. .6（四）拓展与探究：11、D ； 12. ， .(,0)13(,)2平面向量的线性运算（复习课）复习目标： 1、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义. 2、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义. 3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义.难点:应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题.一、学案导学 自主建构
11、复习复习 1:向量的加法向量的加法 复习复习 2:向量的减法向量的减法已知向量已知向量 a 和向量和向量 b,作向量作向量 a+b. 已知向量已知向量 a 和向量和向量 b,作向量作向量 a-b.复习复习 3：向量的数乘：向量的数乘 复习 4：平面向量共线定理已知向量已知向量 a,作向量作向量 3a 和和 -3a. 二、合作共享 交流提升1、填空： - - -(4) _ABCDABDA在 平 行 四 边 形 中 ， 若 则2、判断题：(2)(3)CBD（1）相反向量就是方向相反的向量（2）（3） ABO（4） 在ABC 中，必有 0ABC（5）若 ，则 A、B、C 三点必是一个三角形的三个顶点
12、。0C32,OA若 则 三、 点 是 否 共 线三、案例剖析 总结规律例 1:根据条件判断下列四边形的形状(1)ADBC1(2)3ADBC(3),ADBCAD且4;OO是 四 边 形 所 在 平 面 内 一 点 ） (5)(6) ,OO四 边 形 的 对 角 线 与 相 交 于 点 ， 并 且例 2、如图，在 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使 BD=OB.DC 与 OAOAB交于 E,设 请用 ab， ， aOCD， 表 示 向 量 ，.例 3、设ABCD 一边 AB 的四等分点中最靠近 B 的一点为 E，对角线 BD 的五等分点中靠近 B 的一点为 F，求证：E、F、C 三点在一条直线上0四、反馈矫正 形成能力跟踪训练：1、有一边长为的正方形 ABCD，设 ,BCbAc求： abc2ac3a2、已知 A、 B、 C 是不共线的三点，O 是ABC 内的一点，若 = 0，则 O OABC是ABC 的 （填内心、重心、垂心、外心等）.
