1、1数列求和的方法教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理1求数列的前 n 项和的方法(1)公式法等差数列的前 n 项和公式Sn na 1 .21ad2等比数列的前 n 项和公式()当 q1 时，S nna 1；()当 q1 时，S n .qana1 anq1 q常见的数列的前 n 项和： 23+=(1)2， 1+3+5+(2n1)= 2n22213+=(1)6n， 333+=2(1)等(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、
2、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(5)错位相减法这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求a nbn的前 n 项和，其中a n和 bn分别是等差数列和等比数列(6)并项求和法2一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1) nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，S n100 299 298 297 22 21 2(10099)(98
3、97)(2 1)5 050.2. 常见的裂项公式(1) ；11n 1n 1(2) ( )；k1k1n 1n k(3) ( )；1212 12n 1 12n 1(4) ；n12 (5) ( )1n n k 1k n k n(6)设等差数列a n的公差为 d，则 ( )1anan 1 1d1an 1an 1数列求和题型考点一 公式法求和1.(2016新课标全国)已知a n是公差为 3 的等差数列，数列 bn满足 b11，b 2 ，a nbn1 b n1 nb n.13(1)求a n的通项公式；(2)求b n的前 n 项和.2.(2013新课标全国，17)已知等差数列 an的公差不为零，a 125，
4、且 a1，a 11，a 13 成等比数列.(1)求a n的通项公式；(2)求 a1a 4a 7a 3n2 .3变式训练1.(2015四川，16)设数列a n(n1，2，3，) 的前 n 项和 Sn 满足 Sn2a na 1，且 a1，a 21，a 3 成等差数列.(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求 Tn.1an2.(2014福建，17)在等比数列 an中，a 23，a 581.(1)求 an；(2)设 bnlog 3an，求数列 bn的前 n 项和 Sn.考点二 错位相减法1.(山东)已知数列 na 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， nb是等差数列，且
5、1.nnab （）求数列 nb的通项公式；（）令1().2nnc求数列 nc的前 n 项和 Tn.42.(2015天津，18)已知数列a n满足 an2 qa n(q 为实数，且 q1)，n N*，a 11，a 22，且a2a 3，a 3a 4，a 4a 5 成等差数列.(1)求 q 的值和a n的通项公式；(2)设 bn ，nN *，求数列b n的前 n 项和.log2a2na2n 1变式训练1.(2014江西，17)已知首项都是 1 的两个数列a n，b n(bn0，nN *)满足 anbn1 a n1 bn2b n1 bn0.(1)令 cn ，求数列c n的通项公式；anbn(2)若 b
6、n3 n1 ，求数列a n的前 n 项和 Sn.2.(2014四川，19)设等差数列 an的公差为 d，点(a n，b n)在函数 f(x)2 x 的图象上(nN *).(1)若 a12，点(a 8，4b 7)在函数 f(x)的图象上，求数列a n的前 n 项和 Sn；(2)若 a11，函数 f(x)的图象在点( a2，b 2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 ，求数列 的前 n 项和 Tn.1ln 2 anbn53.(2015湖北，18)设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q，已知b1a 1，b 22，qd，S 10100.(1)求数列a n，b n的
7、通项公式；(2)当 d1 时，记 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn.anbn4(2015山东，18)设数列a n的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn3 n3.(1)求a n的通项公式；(2)若数列b n满足 anbnlog 3an，求b n的前 n 项和 Tn.65.(2015浙江，17)已知数列a n和b n满足 a12，b 11，a n1 2a n(nN*)，b1 b2 b3 bnb n1 1(nN *).12 13 1n(1)求 an 与 bn；(2)记数列a nbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn.6.(2015湖南，19)设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a11，a
8、22，且 an2 3S nS n1 3, nN *.(1)证明：a n2 3a n；(2)求 Sn.7考点三 分组求和法1.(2015福建，17)在等差数列 an中，a 24，a 4a 715.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn n，求 b1b 2b 3b 10 的值.22.(2014湖南，16)已知数列a n的前 n 项和 Sn ，nN *.n2 n2(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn (1) nan，求数列b n的前 2n 项和.28变式训练1.(2014北京，15)已知a n是等差数列，满足 a13，a 412，数列 bn满足 b14，b 420，且b na n为等比
9、数列.(1)求数列a n和b n的通项公式；(2)求数列b n的前 n 项和.考点四 裂项相消法1.(2015新课标全国，17)S n 为数列a n的前 n 项和已知 an0，a 2a n4S n3.2n(1)求a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和1anan 192.(2011新课标全国，17)等比数列 an的各项均为正数，且 2a13a 21，a 9a 2a6.23(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bnlog 3a1log 3a2log 3an，求数列 的前 n 项和1bn3.(2015安徽，18)已知数列a n是递增的等比数列，且 a1a 49，a 2a38
10、.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 Sn 为数列a n的前 n 项和，b n ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.an 1SnSn 1变式训练1.(2013江西，16)正项数列a n满足：a (2n1)a n2n0.2n10(1)求数列a n的通项公式 an；(2)令 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.1（n 1）an2.(2013大纲全国，17)等差数列 an中，a 74，a 192a 9.(1)求a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Sn.1nan3.在数列a n中，a 11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S a n .2n (Sn12)(1)求 Sn 的表达式；(2)设 bn ，求b n的前 n 项和 Tn.Sn2n 1
