1、1反证法在中学数学中的应用一 绪论近年来，随着国民对教育的关注，中高考成为学生们竞技个人实力的舞台，数学在这个舞台上起着至关重要的作用，而数学解题方法的探讨和熟练运用则成为制胜的法宝，在现行中学教材中，数学思想贯穿于教材的各个部分，数学方法是数学思想的媒介，将试题和数学思想结合起来，几乎渗透到所有的教学过程中。运用适当的数学方法，通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。而反证法在数学领域一枝独秀。反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。而思维定势对问题解决
2、既有积极的一面，也有消极的一面，它容易使我们产生思想上的防性，养成一种呆板、机械、千篇一律的解题习惯。当新旧问题形似质异时，思维的定势往往会使解题者步入误区。 大量事例表明，思维定势确实对问题解决具有较大的负面影响。当一个问题的条件发生质的变化时，思维定势会使解题者墨守成规，难以涌出新思维，作出新决策，造成知识和经验的负迁移。根据唯物辩证法观点，不同的事物之间既有相似性，又有差异性。思维定势所强调的是事物间的相似性和不变性。在问题解决中，它是一种“以不变应万变” 的思维策略。所以，当新问题相对于旧问题，是其相似性的主导作用时，由旧问题的求解所形成的思维定势往往有助于新问题的解决。而当新问题相对
3、于旧问题，是其差异性起主导作用时，由旧问题的求解所形成的思维定势则往往有碍于新问题的解决。从思维过程的大脑皮层活动情况看，定势的影响是一种习惯性的神经联系，即前次的思维活动对后次的思维活动有指引性的影响。所以，当两次思维活动属于同类性质时，前次思维活动会对后次思维活动起正确的引导作用；当两次思维活动属于异类性质时，前次思维活动会对后次思维活动起错误的引导作用教育心理学认为：每个人认知新事物的过程中，都存在着思维定势与迁移。所谓思维定势，就是指人们按习惯了的比较固定的思路去考虑和解决问题的一种形式，在许多情况下，思维定势表现为思维的趋向性和专注性，有其积极的一面，但当这种趋向与当前问题解决的途径
4、相悖或不完全一致时，就会产生消极的干扰作用，使得我们因循守旧，摆脱不了被动模仿的束缚，这就是思维定势在迁移过程中的负效应。笔者在数学教学中，针对学生解答问题时暴露出来的具有典型性和普遍性的错2误进行了分析，发现许多类似概念模糊，审题不清，思考不周，主观臆断等错误原因，均可归咎于思维定势的负迁移。因此，弄清学生数学学习中产生思维定势负迁移的原因，采取相应的对策，有效地加以克服，不仅能减少学生们解题错误的发生，且将有利于学生数学思维灵活性和创造性的培养，从而全面提高学生的思维品质。学生产生思维定势负迁移的原因有很多，归纳起来主要有以下几个方面:首先受已有数学知识局限性的影响，引起的数学原理 公式方
5、面的负迁移.其次任何事物都有它自身的有别于其他事物的本质属性,数学概念、公式也是如此,学生往往会 在从有理数域到实数数域扩展的时候，有些在有理数范围内不能再因式分解的式子，在实数范围内却能够继续分解，这些概念如果被教师忽视的话，就会导致学生思维上的定势，产生负效应，造成许多解题中不该有的麻烦。再者受习惯化的影响而引起的知识方面的负迁移。人们做事大多有一种自然的比较稳定的习惯，我们在数学学习中和解决问题时，也都有一些比较自然的习惯，正是由于某些习惯的影响，有时会使我们运作单调思维窄化造成一些知识上的负迁移，如变换非等价，甚至造成虚假论证，混淆问题的特殊性和一般性 条件的充分性和必要性等一系列错误
6、。 二 反证法的简介及定义2.1 反证法的严密性数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证法。有些命题不易用直接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真，这种证法叫做间接证法。数学中常用的间接证法有反证法。既然反证法是间接证法，那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的。2.2反证法的介绍及概念反证法是“间接证明法 ”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard) 对反证法的实质作过概括
7、：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设” ，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法 ”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法 ”。反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用3反证法，此即所谓“正难则反 “。 牛顿曾经说过：“ 反证法是数学家最精当的武器
8、之一” 。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆 反证法的证题可以简要的概括我为“否定得出矛盾否定” 。即从否定结论开始，得出矛矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定” 。应用反证法的是： 欲证“若 P 则 Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真。其实在很早的时候人们就开始运用反证法了。例如：“证明素数有无穷多个”这个古老的命题最初是在大约前 330约前 275,由生活在亚历山大城的古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria),在他的不朽著作 几何原本里给出的一个
9、反证法。这个命题的证明过程大致如下：证明：素数有无穷多个。 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是 2= ( =1,2n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证i明，所以确实有无穷多个素数！ 这个证明简短而又有力，它的逻辑依据就是反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律” 。 模式是：设待证的命题为 “若 A 则 B”，其中 A 是题设，B是结论，A、B 本身也都是数学判断。这充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽！那么究竟什么才算是反证法呢？反证法就是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛
10、盾，推理而得。不仿设原命题为 ， 是推出的结qps论， 一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：s，即 。qpqpqps运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论 B 的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。如此严谨的证明必定要有规范的步骤，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：首先反设：作出与求证结论相反的假设；其次归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；最后结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。2.3反证法的基本思路做任何事情都要先有思路然后按照思路进行做事，这样人的生活才会有条理，过4的丰富而充实。要证明数学命题更是这样，
11、所以运用反证法证明数学命题也应该有一个明确的思路，即首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾） 。有了思路不代表一定能把事情做好，因为完成任何事情都不是一蹴而就的，必须有一个过程，一步一步的进行，最终实现目的。那么用反证法进行数学命题的证明应该是一个如何过程呢？下面就介绍一下反证法的步骤。3反
12、证法的一般步骤：首先假设命题的结论不成立，其次从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾，最后：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。简而言之就是“ 反设归谬结论 ”三步曲。三 反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但从证题的实践中可以得出：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。3.1否定性命题即结论以“没有” “不是” “不能”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。例 1 求证： 是无理数3lg2证明：假设 不是无理数，即
13、为有理数，则设 ， 互3lg2mnN,(n,质）从而 得， 上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，32mnmn32于是假设不成立故 是无理数lg分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数这时候发现从正面下手来解决不是很容易，所以可以采用反证法来对这个命题进行证明。由 是有理数3lg2mn可以得到 进一步推理得， 。奇数和奇数的乘32mn mn32积让然是奇数，同样偶数和偶数的乘积让然是偶数这时可以得出 是偶数， 是奇数，一个奇数和一个偶数是不可能n相等的，这不符合数学的基本常识，从而得出矛盾。5例 2已知：AB、CD 是O 内非直径的两弦，求证 AB 与 CD 不能互相互评分证
14、明：假设 AB 与 CD 互相平分于点 M、则由已知条件 AB、CD 均非O 直径， 可判定 M 不是圆心 O，连结 OA、OB、OM。OAOB，M 是 AB 中点OM AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OMCD，从而过点 M 有两条直线 AB、CD 都垂直于 OM这与已知的定理相矛盾，故 AB 与 CD 不能互相平分。 分析：这个题目如果直接从正面考虑比较麻烦，所以用反证法，先假设 AB、CD相互评分然后再根据题目给的已知条件推出与题设相矛盾的结论，即 OMCD 同时OMAB，再推翻原假设，所以命题的证。例 3求证：三角形中至少有一个角不大于 60。证明：假设存在凸四边形
15、ABCD， 使 ABC、BCD、CDA、DAB 都是锐角三角形。则 A B CD 360。 这与四边形 ABCD 中 ABC D360矛盾。故假设不能成立，所以原命题成立。 例 4 求证：在ABC 的 BC 边上任取一点 D、AC 边上任意取一点 E，连结AD、BE，则 AD 和 BE 必定不能互相平分。证明：假设 AD 和 BE 互相平分于 P 点，则 ABDE 应是一个平行四边形。 所以 AEEB，即 ACBC这与 AC 与 BC 相交于 C 点矛盾故假设 AD 与 BE 互相平分不能成立所以 AD 和 BE 必定不能互相平分例 5 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：A，B，
16、C 是三角形 ABC 的三个内角。求证：A，B，C 中不能有两个钝角。证明：假如A，B，C 中有两个钝角，不妨设A 900,且B900，则A+ B+C1800。这与“三角形内角和为 1800”这一定理相矛盾。 故 A ，B均大于 900 不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。例 6 证明：一个三角形中不可能有两个直角分析：用三角形内角和为 018证一个三角形中不存在两个直角证明：假设一个三角形中有两个直角不妨设 09， 096 09 018 018这与三角形内角和定理矛盾 假设不成立，即原命题成立例 7：如右图，设 SA、 SB 是圆锥 SO 的两条母线， O 是底面圆心， C 是 SB
17、上一点，求证： AC 与平面 SOB 不垂直.分析：结论是“不垂直”呈“否定性” ，考虑使用反证法，即假设“垂直”导出矛盾后，再肯定“不垂直”. 否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.证明：假设 AC平面 SOB，直线 SO 在平面 SOB 内， AC SO. SO底面圆 O， SO AB. SO SAB. 平面 SAB底面圆 O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即 AC 与平面 SOB 不垂直.例 8. 给定实数 a，a0 且 a1，设函数 y (其中 xR 且 )，证明：1xax1a.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴；
18、 .这个函数的图像关于直线 yx 成轴对称图像.(88 年全国理).【证明】 设 ( , )、 ( , )是函数图像上任意两个不同的点，则1Mx1y2x2y ,12假设直线 平行于 x 轴，则必有 ，即 ，整理得 a( 12 1y21xa211x) 2x12 a1， 这与已知“a1”矛盾， x因此假设不对，即直线 不平行于 x 轴.1M2 由 y 得 1,即(ay1)xy1,所以 x ，xay 1ya即原函数 y 的反函数为 y ，图像一致.1x1xa7由互为反函数的两个图像关于直线 yx 对称可以得到，函数 y 的图像关1xa于直线 yx 成轴对称图像.分析: “不平行”的否定是“平行” ，
19、假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设.对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知 a1 互相矛盾.第问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。3.2限定式命题所谓限定性命题即结论中含有“至多” 、 “至少” 、 “不多于”或“最多”等词语的命题。例 9 求证：直线与圆最多只有两个交点。证明：假设一直线 l 与O 有三个不同的交点 A、 B、C，M 、N 分别是弦AB、BC 的中点。OAOBOC在等腰OAB 和OBC 中OMAB ，ONBC从而过 O 点有两条直线都垂直于 l，这是不可能
20、的，故假设不能成立。因此直线与圆最多只有两个交点。例 10 在半径为 的圆中，有半径等于 1 的九个圆，证明：至少有两个小圆的公5共部分的面积不小于 。9证明：每个小圆的公共部分的面积都小于 ，而九个小圆共有 =36 个公共部分，929(九个小圆的公共部分面积要小于 ，又大圆面积为 ，则九个小圆应占面积3645要大于 ，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于 。945 9例 11 已知方程 ， ， 中至少40xa222(1)0xa20xa有一个方程有实数值，求实数 的取值范围。分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件 的集合的补
21、集即可。证明：假设三个方程都无实根，则有：8解得 2(4)3)18a 0 32- a -1所求 的范围为 .若一个命题的结论是“至少”或“至多” ， “不a或都”则可考虑用反证法例 12 已知 、 、 、 R，且 = 求证：方程1p21q21p212()q和 中，至少有一个方程有实根210xpq0x分析：“至少有一个”是“有一个” 、 “有两个” ，它的反面是“一个都没有” 证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于，即：212211 404qpqp 代入上式得11()112()，即 这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，222()0所以假设不成立故这两方程中，至少有一个方
22、程有实根3.3无穷性命题即涉及各种“无限”结论的命题。例 13 求证： 是无理数。2分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的， “无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件” ，使得能方便地将 表示为一个2 2分数。证明：假设 是有理数，则存在 互质，使 ，2,abN且 互 质 2ba从而， 为偶数，记为 ， ， ，则 也是偶数。由 均为偶aac24c2,数与 互质矛盾，故 是无理数。,b例 14 求证：素数有无穷多个。证明：假设素数只有 n 个： 、 ，取整数 N= ，显然 N1p2np1p
23、21np不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者 N 本身就是素数（显然 N 不等于9“ 、 、 中任何一个） ，或者 N 含有除这 n 个素数以外的素数 r，这些都与1p21np素数只有 n 个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。3.4逆命题某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便。例 15 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。逆命题的证明：如图，若AB+CDAD+BC（ 1） ，设四边形 ABCD 不能有一个内切圆，则可作O 与其三边 AD、DC、AB 相切，而 BC 与 O 相离或相交
24、，过 C 作O 的切线交AB 或延长线于点 E,由正命题知：AE+CDAD+CE（2）.当 BC 与O 相离时，（1） （2）得 AB AEBCCE BCCE+BE ，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当 BC 与O 相交时， （2）-（1）得 AE-ABCE BC BCCE+BE，同样推出矛盾，则 BC 与O 不能相交或离，BC 与O 必相切，故四边形必有一个内切圆。3.5某些存在性命题例 16 设 x，y(0,1), 求证:对于 a, bR ,必存在满足条件的 x, y,使成立.xy a b13证明：假设对于一切 x , y0 , 1使 恒成立，令 x = 0 , y = 1 ,则xy
25、a13|b| 令 x = 1 , y = 0 , 得| a| 令 x = y = 1 ,得| 1 - a - b| 但| 1 - a - b| 33产生矛盾,故欲证结论正确。1 ab33.6肯定性命题即结论以“总是” 、 “都” 、 “全”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。例 17 求证:无论 是什么自然数， 总是既约份数。n2143n证明：假设 不是既约分数，令 （1） ， （2） （2143ka43nkb） ，且 为既约，由（2）3-（1） 2 得 ，,kabNab 11ak因 为整数， 为分数，则 不成立，故假设不成立，分数 是既32k2bak 43n约的。103.7一些不等量命
26、题的证明如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。已知 ，且 ，求证： 1。abcdR、 、 、 abc1 22abcdabc证明：假设 ，把 代入前式得：22d 10 即22cca、b、 c、dRabd（ ） （ ） （ ） （ ） ，从而 与 矛盾.故假设ca0 ab0 adbc1不成立，原命题成立.例 18 在ABC 中，C B, 求证：ABAC.证明：假设 AB 不大于 AC，即 ABAC，下面就ABAC 或 ABAC 两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.若 ABAC ，则ABC 为等腰三角形，B C，与
27、已知C B 矛盾.若 ABAC ，在 AB 延长线上取一点 D，使得 AD=AC，连接 DC. AD=AC ADC 为等腰三角形 ADCACD ，又ABC 为ABD 的一个外角 ABC BDCACD 而ACDACB C ABCC 即BC，与已知矛盾. 假设不成立，原命题成立.分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。3.8基本命题即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明。例 19 已知：如图 ABEF 于 M。CD EF 于 N。求证：AB CD证明:假设 AB,CD 不平行，即 AB,CD 交于点 P ，则过 P 点有 ABEF ，且 CDEF，与“过直线外一点，
