1、浙江理工大学 20082009 学年第二学期高等数学 A 期终试题（A）卷班级 学号 姓名 三 六题号 一 二1 2 3 四 五 1 2 七 总分得分阅卷教师一、选择题（每小题 4 分，满分 28 分）1、旋转抛物面 在点 处的切平面方程为 （ ）2zxy(1,)(A) (B) (C) (D) 04xyz24xyz247xyz、二重积分 （其中 ）的值为 （ ）Dxyd2:,01(A) (B) (C) (D) 1612143、微分方程 的特解应具有形式 （ ）3cosxye(A) (B) (cosin);xeab sincos;xxebae(C) (D) 23si;2xxx23(in);2xb
2、4、设 是从 A 到 B 的直线段，则 （ ） 。L(1,0)(,)Lyds(A) (B) (C) (D) 34305、 设 ，则下列说法正确的是（ ） 。1lnnu(A) 与 都收敛 (B) 与 都发散 1n21n 1nu21n(C) 收敛而 发散 (D) 发散而 收敛1nu21n 1n21n6、 ，则交换积分次序后得（ ）0,yIdfxd(A) （B） 210y 210,xIdfyd（C） （D）1,yIxf 7、设 ，则 在 处的方向导数的最大值为（ ）2uzu（A） （B ） （C） （D）681223二、填空题（每小题 4 分，满分 20 分）1、微分方程 的通解是 xye2、设 L
3、 是圆周： 的正向，则 26dyxyxL)()(333、设幂级数 的收敛域为 ，则幂级数 的收敛区间为 01nax4,20nna4、微分方程 的一般解是 2y5、 20xde三、把下列积分化为极坐标的形式，并计算积分值， 。 （本题 5 分）220 0axIdyda四、1.计算 ，其中 为球面 的外侧。 （本题 6 分） 333xdyzxzdyA224xyz2.设 连续可微且 ，曲线积分 与路径无关，求 。)(xf(0)2fsin2tanLyxfxdfy )(xf（本题 8 分）3.计算三重积分 ，其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区间。 （本题 8 分）2xydv2xyz2五、求幂级数 的收
4、敛域、和函数以及数项级数 的和。 （本题 8 分）12nx12n六、 （本题满分 12 分，每小题 6 分）1.求函数 在 处的幂级数展开式，并确定收敛区间。2xesh02.将函数 在 上展开成余弦级数。1fx0,七、 （本题满分 5 分）试证曲面 的任一切平面恒与某一直线相平行（其中 为可微函数， 为常数） (,)0fxayzbf,ab浙江理工大学 20082009 学年第二学期高等数学 A 期终试题（A）卷参考答案与评分标准一、选择题（每小题 4 分，满分 28 分）1D; 2A ; 3D; 4B; 5C 6B 7D二、填空题（每小题 4 分，满分 20 分）1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
5、 5 xyeC180,12xyCe412e三、计算下列积分（本题 5 分）解： 4 分2 200axaIdydd1 分36四、1.解：由高斯公式，原积分= .6 分2200384sin5drd2.解： ， ，sin2taPyxfxQf（5 分）ftansin2xfx，由 （3 分）2cosxxC2020cosfCfx3.解：用柱面坐标， 8 分2220163xydvdz五、 （本题满分 8 分）解：易求得收敛域为 2 分2,设和函数为 111022nxnnxsxtd5 分22x于是 1 分1s六、 （本题满分 12 分）1.解： （展开 5 分，收敛区间 1 分）35,!xsh2.解：对 进行
6、偶延拓，()1f0,2,nb， (1 分)0(1)axd3 分0220 20,462()coscoscos1135n nnxnxn 所以 的余弦级数为()1fx2 分0 22141cos1cos3cos5,(0)22naxxxx 七、 （本题满分 5 分）证明：令 ，则,(,)Fyzfayzb2 分1122, ,xy zfxfFxyf由于 ，因此曲面的切平面恒与方向向量为 的直线平行。3 分0yzab ,1ab浙江理工大学 20082009 学年第二学期高等数学 A 期终试题（B）卷班级 学号 姓名 三 六题号 一 二1 2 3 四 五 1 2 七 总分得分阅卷教师一、选择题（每小题 4 分，
7、满分 28 分）1、设力 作用在一质点上，该质点从点 沿直线移动到点 力所作的功（ 2,1F1(,)M2(,)M）(A) 2 (B) -1 (C) 3 (D) 4、 在点 处的法线方程为（ ）lnxzy,(A) (B) (C) (D) 11z12zxy12yzx32zxy3、微分方程 的特解应具有形式 （ ）2sinye(A) (B) (cosin);xeabxsincos;xxebae(C) (D) 4、设 是从 A 到 B 的直线段，则 （ ） 。L(1,0)(,2)Lxyds(A) 2 (B) (C) (D) 05、下列说法不正确的是（ ） 。(A) 若 ，且 收敛，则 (B) 若 ，则
8、 必发散 0nu1nu1limnulim1nu1nu(C) 若 ，则 必收敛 (D) 若 ， 都收敛，则 必绝对收敛2limn1n 21n21nv1nv6、设 ，若 ，则 为（ ）2:Dxya22Dxyda(A) （B） （C ） （D ）3431327、已知曲线 过原点，且在原点处的法线垂直于直线 是微分方程yx 1,yxyx的解，则 （ ）20y（A） （B） （C） （D）xe2xe2xe2xe二、填空题（每小题 4 分，满分 20 分）1、微分方程 的通解是 sin2xyx2、设 L 是圆周： 的正向，则 dyxyxL)()(333、设幂级数 的收敛域为 ，则幂级数 的收敛区间为 01
9、nax4,20nna4、设函数 在点 取得极值，则常数 22,fyxy1,5、设 在 平面上是某个二元函数的全微分，求这样一个二元函数 2xdo ,uxy三、计算下列积分（每小题 6 分，共 18 分）1.计算二次积分 20yxed2.计算 ，其中 为球面 的外侧。 （其中 ）333xdyzxzdyA22xyza0a3计算 ，其中 是由 与 所围成的区域。 （其中 ）xyzdv22zaxy2zxy0a四、 （本题满分 8 分）设 ， 为连续函数，试求0()sinxftfdtf )(xf五、 （本题满分 7 分）设函数 有二阶连续偏导数，证明由方程 所确定的函数满足下列方程：,Fuv 0,xyF
10、zz000zzxy六、 （本题满分 14 分）1. 求幂级数 的收敛区间及和函数12nx2. 将函数 在 上展开成余弦级数fx0,七、 （本题满分 5 分）设正项级数 和 都收敛，证明级数 也收敛1na1nb21nab20082009 学年第二学期高等数学 A 期终试题（B）卷参考答案与评分标准一、选择题（每小题 4 分，满分 28 分）1C; 2D ; 3C; 4 C; 5A 6D 7B二、填空题（每小题 4 分，满分 20 分）1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 cosxC,02xy三、计算下列积分（每小题 6 分，共 18 分）1. 42e2. 15a3. 2 22 24 400 00s
11、incosincosin8a axyzdvxydvzxdvzd 四、 （本题满分 8 分）1sincos2yx五、 （本题满分 7 分）解：方程两边分别对 x 求导，联立解出 ，代入即可得证。,xyz六、 （本题满分 14 分）1.解：设和函数为 ，则 ，sx12n0s逐项求导，得 112221,1nnnxx 积分，得20arctxsxd即 arctn,1,sx2.解：对 进行偶延拓，()f0,2,nb0axd0220 20,462coscoscos1135n nnxn 所以 的余弦级数为()fx0 22141coscos3cos5,(0)22nafxxxx 七、 （本题满分 5 分）证明：因为 收敛，所以1nalim0na由于 ， 收敛，所以 收敛2limli0nn1n21na同理可证， 收敛，因而 收敛，21nb21nab又因为 ，所以由比较判别法知 收敛222nnnna21nab
