1、频率特性的基本概念 大 中 小 在稳定的线性系统（或线性环节）的输入端作用一个正弦信号，当系统相对稳定后，系统的稳态输出也必定是一个同频率的正弦信号。稳态输出与输入的振幅比值以及它们之间的相位差取决于系统本身的结构和输入信号的频率。这种现象在如图 5-1 所示的强迫振动实验中可以观察得到。(图 5-1)图中的系统为稳定的线性定常系统。当输入信号 R 为时，输出 C 在稳态时也为正弦信号两者的频率 相同，但振幅和相位角不同。当输入信号的频率改变时，输出信号的振幅和相位角会发生变化。一、频率特性的数学本质以上介绍的是频率响应特性（简称频率特性）的实验现象，下面我们将证明频率特性和传递函数之间的数学
2、关系，以便可以很方便地由系统传递函数得到频率特性，反之也能够由频率特性得到传递函数。输出的拉普拉斯变换式为设输入 R(t)为正弦函数，表示为由拉普拉斯变换表查得故部分分式中 及 B、D 均为待定系数。对于一个稳定的系统，由于特征方程的所有特征根 均具有负实数部分， 的第一个分量总是随着 t 的增长逐渐消失，系统最终将以作稳态运动。上式恰恰是我们需要求解的，其中系数由上式得到同理将系数 B、D 代入，则式中Im 为 G(j)的虚部，Re 为 G(j)的实部。而输出端响应的振幅和输入端的振荡之比为输出端响应和输入端的相位差为由此可见，作用有正弦输入时的稳定线性定常系统，输出响应具有与输入同一频率的
3、正弦稳定信号。但是输出的振幅和相位角通常不等于输入量的振幅和相角，输出响应的振幅是输入量的 倍，输出响应和输入量相位差为 。因此，系统的频率特性可以直接由 G(j)表示，系统的频率特性为式中 是 的函数，称为幅频特性，也是频率特性的模；是 的函数，称为相频特性。在上述数学推导中，我们可以清楚地看到所以，在已知系统或环节的传递函数时，只要令 ，就可以很方便地得到系统或环节的频率特性。为了进一步说明频率特性的意义，现以图 5-2 所示的 R-C 电路为例。图 5-2频率特性可通过传递函数来求取，当电容两端电压 uc 为输出量，输入电压 ui 为输入量时，传递函数可用复阻抗串联的知识求取式中 T=R
4、C频率特性只要将 S 以 j 代替，频率特性为幅频特性（模）为相频特性（幅角）为当 ui 以低频信号输入时（ ）；这表明，当输入正弦电压 ui 的频率很低，则输出电压 uc 的振幅与的振幅几乎相等，相位近似同相。从电路上分析，由于 T=RC，所以 即等于 ，这说明此时电路中的容抗远大于阻抗，电流上电阻上的压降极小，信号 uI 几乎无衰减地全部输出，振幅、相位无明显变化。当 uI 以高频信号输入时（ ）； 这表明，当输入正弦电压 ui 的频率很高，则输出电压的振幅只有输入电压振幅的 倍，相位几乎滞后900。从电路上分析，由于 ，电阻几乎等于电路的全部阻抗，因此在电容两端压降很小，输出电压的振幅自
5、然很小，输出电压的相位也比输入电压滞后 900。根据这种 R-C 电路对高、低频率不同输入信号的特性，我们也称图 5-2 的电路为“低通滤波器”。二、频率特性的表示方法频率特性有多种表示方法，每一种方法各有其用途，我们将介绍常见的几种。1、 幅频特性和相频特性由于频率特性 ， 是频率特性的幅值，它表示输出量与输入量的振幅比。如果把这个函数关系用频率 为横坐标，以 为纵坐标的平面表示，所得的图形称为幅频特性曲线。同样， 是频率特性的相角，它表示输出量与输入量的相位差。如果把这个函数关系用频率 为横坐标，以 （）为纵坐标的平面表示，所得的图形称为相频特性曲线。通过这些曲线可查得不同频率 下的幅值
6、M（）和相对应的相角 （）的数值。具体的特性曲线在下一节给出。2、 幅相频率特性若以极坐标形式把幅频特性和相频特性结合画在同一平面坐标内，以频率 为参变量，就得到幅相频率特性曲线。如图 5-3 所示。实际上频率特性 G(j)本身就是一个复数，可以在复平面上用向量表示出来。当 从零增加到无穷大时，向量 G(j)的端点随着移动，G(j)的端点轨迹就称之为幅相频率特性曲线。幅相频率特性应用的非常广泛，在采用频率特性理论判别系统稳定性时会使用它。图 5-33、 实频特性和虚频特性实频特性 Re()是幅相频率特性 G(j)的实部，对于确定的频率 ，它的值是向量 G(j)在复平面实轴上的投影。虚频特性 Im()是幅相频率特性 G(j)的虚部，对于确定的频率 ，它的值是向量G(j)在复平面虚轴上的投影。由此可见，实频特性是频率 的偶函数，虚频特性是频率 的奇函数。
