1、求极限的各种方法1约去零因子求极限例 1：求极限 1lim4x【说明】 表明 无限接近，但 ，所以 这一零因子可以约去。与 1xx【解】 =46)(li1)()(li 2121 xxx2分子分母同除求极限例 2：求极限 13lim2x【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】 3li13li12xxx【注】(1) 一般分子分母同除 的最高次方；(2) nmbaxbanmmnnx 0li13分子(母) 有理化求极限例 3：求极限 )13(li22xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 13)(lim)(lim222222 xxx013l
2、i22x例 4：求极限 30sintalixx【解】 )sin1ta(limi1tnlim3030 xxxx 41sintalim21sintalisn1talim30300 xxxxxx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 4应用两个重要极限求极限两个重要极限是 和 ，第1sinlm0x exnxxx 10)(lim)1(li)(li一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例 5：求极限xx1li【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑 ，最后凑X1指数部分。【解】 2121lim12li1lim exxx xx
3、x 例 6：(1) ；(2)已知 ，求 。x2li 8lixaa5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时, ,0x )1ln(arctrsintasinxxx e；bb121cos(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例 7：求极限 0ln()im1cosx【解】 .02llix例 8：求极限 x30tansil【解】 x30tilm 613lim31cosliil 2102030 xxxxxx6用罗必塔法则求极限例 9：求极限 220 )sin1l(coslnimxx【说明】 或 型的极限,可通过罗必塔法则来求。
4、【解】 220 )sin1l(coslnixxxx2sin1cosilim203si2lim20 x【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例 10：设函数 f(x)连续，且 ，求极限0)(f .)(lim0xdtf【解】 由于 ,于是00 )()(xxxut ufdfdf=xxx ftttf 000 )(li)(lim=xx xfduft0)()(li xxfduft0)()(lim= =)()(lim0xfduftxx.21)(f7用对数恒等式求 极限 lig例 11：极限 xx20)1ln(i【解】 = =xx20)l(im)1ln(20lixxe.2)1ln(2im)1l
5、n(2lim00 eeexxx 【注】对于 型未定式 的极限，也可用公式1)(gf=)(lixgf )(1lim(xfe因为 )1(ln)(lim)(lnlim)(li xfgxfgxgeef )(1lim(xgfe例 12：求极限 .3012cosli1x【解 1】 原式2cosln30imxxe20cosln3ixx20lcoslix（ ） 01sincoimxx（ ）1nl 6【解 2】 原式2cosln301imxxe20cosl3ixx20slix（ ） 20cos1lim36x8利用 Taylor 公式求极限 例 13 求极限 .) ( ,lim20axax【解】 ,) (lnl1
6、22ln xeaax ;) (l2ln2xaxx ). (l2ax.axaxxx 22020 ln) (lnimli 例 14 求极限 01li(cot)x.【解】 0011sincoslim(cot)lxxx3230()()!lixx301()()12!limx.9数列极限转化成函数极限求解例 15：极限21sinln【说明】这是 形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限 61sin101sin222 limli1sinlm eeex yyxxx所以， 612sinlen10n 项和数
7、列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例 16：极限 222 11limnnn 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把 看成0,1定积)(xf分。 101li dfnffnfn【解】原式 222111limnnn12ln102dx例 17：极限 n222lim【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解；nffnfn1li(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】 nnn 222 11lim因为 1122222 n又 nn2li 1li
8、m2所以 nn 2221li 12单调有界数列的极限问题例 18：设数列 满足nx110,si(,)nnxx（）证明 存在，并求该极限；lim（）计算 .21linxn【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】 （）因为 ，则 .10x210sinx可推得 ，则数列 有界.1sin,x x于是 ， （因当 ） ， 则有 ，可见数列nn0sinx时 ， 1nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限 存在.nx limnx设 ，在 两边令 ，得 ，解得 ，即limnl1sinnx s0l.lim0nx（） 因 ，由（）知该极限为 型，2211sinlilmnnxxn1(使用了罗必塔法则)61sin01sin00 32221 llisil eexxxxxx故 .22116ilimlnnn
