1、13.4 数学归纳法一、填空题 1用数学归纳法证明 1 n(nN，且 n1)，第一步要证的不12 13 12n 1等式是_解析 n2 时，左边1 1 ，右边2.12 122 1 12 13答案 1 212 132.用数学归纳法证明： ；当推证当 nk1 等式也1213 2235 n2(2n 1)(2n 1) n(n 1)2(2n 1)成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 .解析 当 nk1 时， 1213 2235 k2(2k 1)(2k 1) (k 1)2(2k 1)(2k 3) k(k 1)2(2k 1) (k 1)2(2k 1)(2k 3)故只需证明 即可.k(k 1)2(2k 1)
2、(k 1)2(2k 1)(2k 3) (k 1)(k 2)2(2k 3)答案 k(k 1)2(2k 1) (k 1)2(2k 1)(2k 3) (k 1)(k 2)2(2k 3)3若 f(n)1 22 23 2(2 n)2，则 f(k1)与 f(k)的递推关系式是_解析 f(k)1 22 2(2 k)2， f(k1)1 22 2(2 k)2(2 k1) 2(2 k2) 2； f(k1) f(k)(2 k1) 2(2 k2) 2.答案 f(k1) f(k)(2 k1) 2(2 k2) 23若存在正整数 m，使得 f(n)(2n7)3 n9( nN *)能被 m整除，则 m_.解析 f(1)6，
3、f(2)18， f(3)18，猜想： m6.答案 64用数学归纳法证明“ n3( n1) 3( n2) 3(nN *)能被 9整除” ，要利用归纳假设证 n k1 时的情况，只需展开的式子是_解析 假设当 n k时，原式能被 9整除，即 k3( k1) 3( k2) 3能被 9整除当 n k1 时，( k1) 3( k2) 3( k3) 3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3) 3展开，让其出现 k3即可答案 ( k3) 35用数学归纳法证明 123 n2 ，则当 n k1 时左端应在n4 n22n k的基础上加上_解析 当 n k时，左侧123 k2，当 n k1 时，左侧123 k2( k
4、21)( k1) 2，当 n k1 时，左端应在 n k的基础上加上( k21)( k22)( k23)( k1) 2.答案 ( k21)( k22)( k23)( k1) 26用数学归纳法证明 1 ，则当12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12nn k1 时，左端应在 n k的基础上加上_解析 当 n k时，左侧1 当 n k1 时，12 13 14 12k 1 12k左侧1 .12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2答案 12k 1 12k 27.设平面内有 n条直线 其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线(3)不过同一点.若用 f(n)表示这
5、 n条直线交点的个数,则 f(4)= ;当 n4时,f(n)= (用 n表示). 答案:5 2) 1)2解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9, 每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数. f(4)-f(3)=3, f(5)-f(4)=4, f(n)-f(n-1)=n-1. 累加得 f(n)-f(3)=3+4+(n-1) . 3(2)n 2). 1(f8用数学归纳法证明不等式 1 (nN *)成立，其初始值12 14 12n 1 12764至少应取_解析 右边1 2 ，12 14 12n 11 (12)n1 12 12n 1代入验证可知 n的最小值是 8.答案 89在数列 an
6、中， a1 且 Sn n(2n1) an，通过计算 a2， a3， a4，猜想 an的表13达式是_解析 当 n2 时， a1 a26 a2，即 a2 a1 ；15 115当 n3 时， a1 a2 a315 a3，即 a3 (a1 a2) ；114 135当 n4 时， a1 a2 a3 a428 a4，即 a4 (a1 a2 a3) .127 163 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，13 113 115 135 135 157 179故猜想 an .1 2n 1 2n 1答案 an1 2n 1 2n 110用数学归纳法证明( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)( nN
7、*)，从“ k到 k1”左端需乘的代数式是_解析 左端需乘的代数式是 2(2 k1) 2k 1 2k 2k 1答案 2(2 k1)11如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有 n(nN *)行，在这些数中非 1的数字之和是_11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1解析 所有数字之和 Sn2 022 22 n1 2 n1，除掉 1 的和 2n1(2n1)2 n2n.答案 2 n2n12对于不等式 n1( nN *)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：n2 n(1)当 n1 时， 11，不等式成立12 1(2)假设当 n k(kN *)时，不等式成立，即 k1，k2 k则当 n k1 时
8、， k 12 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 k 22(k1)1，当 n k1 时，不等式成立则上述证法中_（哪一步推理）不正确. 解析 此同学从 n k 到 n k1 的推理中没有应用归纳假设答案 从 n k到 n k1 的推理131 22 23 24 2(1) n1 n2，当 n分别取 1,2,3,4时的值依次为_，所以猜想原式_.解析 当 n1 时，原式1 21(1) 11 11 12当 n2 时，原式1 22 23(1) 21 22 12当 n3 时，原式1 22 23 26(1) 31 33 12当 n4 时，原式1 22 23 24 210(1) 41 44 12猜
9、想原式(1) n1 .nn 12答案 1，3,6，10 (1) n1 n n 12二、解答题14已知数列 an满足 an1 a pan(pR)，且 a1(0,2)，试猜想 p的最2n小值，使得 an(0,2)对 nN *恒成立，并给出证明证明 当 n1 时， a2 a pa1 a1( a1 p)21因为 a1(0,2)，所以欲使 a2(0,2)恒成立，则要Error!恒成立，解得 2 p2 ，2由此猜想 p的最小值为 2.因为 p2，所以要证该猜想成立，只要证：当 p2 时， an(0,2)对 nN *恒成立现用数学归纳法证明：当 n1 时结论显然成立；假设当 n k时结论成立，即 ak(0,
10、2)，则当 n k1 时， ak1 a 2 ak ak(2 ak)，2k一方面， ak1 ak(2 ak)0 成立，另一方面， ak1 ak(2 ak)( ak1) 2112，所以 ak1 (0,2)，即当 n k1 时结论也成立由可知，猜想成立，即 p的最小值为 2.15在数列 an中，对于任意 nN *， an1 4 a 3 an.3n(1)求证：若| an|1，则| an1 |1；(2)若存在正整数 m，使得 am1，求证：| a1|1； a1cos (其中 kZ)(参考公式：cos 3 4cos 3 3cos )2k3m 1证明 (1)因为| an|1， an1 4 a 3 an.3n
11、所以| an1 |4 a 3 an| an|(4|an|23)1.3n(2)假设| a1|1，则|a2|4 a 3 a1| a1|(4|a1|23)1.31若| ak|1，则|ak1 |4 a 3 ak| ak|(4|ak|23)1.3k所以当| a1|1 时，有| an|1( nN *)，这与已知 am1 矛盾，所以| a1|1.由可知，存在 ，使得 a1cos ，则 a24cos 3 3cos cos 3 .假设 n k时，有 ancos 3 n1 ，即 akcos 3 k1 ，则 ak1 4 a 3 ak4(cos 3 k1 )33(cos 3 k1 )cos 3 k .3k所以对任意
12、nN *， ancos 3 n1 ，则 amcos 3 m1 1,3 m1 2 k，其中 kZ.即 .2k3m 1所以 a1cos (其中 k为整数)2k3m 116在数列 an中， a11， an1 c .1an(1)设 c ， bn ，求数列 bn的通项公式；52 1an 2(2)求使不等式 an an1 3 成立的 c的取值范围解析 (1) an1 2 2 ，52 1an an 22an 2，即 bn1 4 bn2.1an 1 2 2anan 2 4an 2bn1 4 ，又 a11，23 (bn 23)故 b1 1，1a1 2所以 是首项为 ，公比为 4的等比数列，bn23 13bn 4
13、n1 ， bn .23 13 4n 13 23(2)a11， a2 c1，由 a2 a1，得 c2.用数学归纳法证明：当 c2 时， an an1 .当 n1 时， a2 c a1，命题成立；1a1设当 n k时， ak ak1 ，则当 n k1 时，ak2 c c ak1 .1ak 1 1ak故由知当 c2 时， an an1 .当 c2 时，因为 c an1 an ，1an 1an所以 a can10 有解，2n所以 an ，令 ，c c2 42 c c2 42 c c2 42当 2 c 时， an 3.103当 c 时， 3，且 1 an ，103于是 an1 ( an) ( an) (
14、 an1 ) ( 1)1an 13 132 13n所以 an1 ( 1)，13n当 nlog 3 时， an1 3， an1 3，与已知矛盾 1 3因此 c 不符合要求103所以 c的取值范围是 .(2，10317已知在正项数列 an中，对于一切的 nN *均有 a an an1 成立2n(1)证明：数列 an中的任意一项都小于 1；(2)探究 an与 的大小，并证明你的结论1n证明 (1)由 a an an1 ，得 an1 an a .2n 2n因为在数列 an中， an0，所以 an1 0.所以 an a 0.2n所以 0 an1.故数列 an中的任意一项都小于 1.(2)由(1)知 0
15、an1 ，那么 a2 a1 a 2 ，11 21 (a1 12) 14 14 12由此猜想： an (n2)，下面用数学归纳法证明：1n当 n2 时，显然成立；当 n k时( k2， kN)时，假设猜想正确，即 ak ，1k 12那么ak1 ak a 2 2 ，2k (ak12) 14 (1k 12) 14 1k 1k2 k 1k2 k 1k2 1 1k 1故当 n k1 时，猜想也正确综上所述，对于一切 nN *，都有 an .1n18. 设函数 yf(x)，对任意实数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求 f(0)的值；(2)若 f(1)1，求 f(2)，f(3)，f(
16、4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想 f(n)(nN *)的表达式并用数学归纳法证明.【解题指南】(1)令 x，y 均为 0可得 f(0)；(2)利用递推条件可得 f(2)，f(3)，f(4)；(3)证明时要利用 nk 时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】(1)令 xy0，得 f(00)f(0)f(0)200，得 f(0)0.(2)由 f(1)1，得 f(2)f(11)f(1)f(1)2114.f(3)f(21)f(2)f(1)2219.f(4)f(31)f(3)f(1)23116.(3)由(2)可猜想 f(n)n 2，用数学归纳法证明：(i)当 n1 时，f(1)1 21 显然成立.(ii)假设当 nk 时，命题成立，即 f(k)k 2，则当 nk1 时，f(k1)f(k)f(1)2k1k 212k(k1) 2，故当 nk1 时命题也成立，由(i)，(ii)可得，对一切 nN *都有 f(n)n 2成立.
