1、1以空间图形为背景的轨迹问题的探求伴随新课程的不断深入,近几年高考试题,设置了一些开放题,具有新颖性、综合性.在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向,空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”.这类题目已突破传统的筐筐,涵盖的知识点多,较抽象,学生求解起来颇感困难,得分率偏低,令人惋惜.本文通过几道典型例题的分析,寻求空间轨迹问题的探求方法.1 分析动点满足的几何性质;通过设轨迹上任意一点,根据条件求出动点的某些特征,再类比已学过的曲线的定义和性质,来寻求突破.1.1 利用线面垂直关系【例 1】 正方体 中,点 P 在侧面 及其边界上运动,在运动过程中,保持 AP ,则动点 P 的轨迹
2、是( A ) A.线段 PB.线段C. 中点与 中点连成的线段D. 中点与 中点连成的线段解:联想到线面垂直,转化为求 AP 运动所形成的面与 垂直,易证 ,故选 A.1.2 联想圆的定义【例 2】如图 所在的平面 和四边形 所在的平面 垂直,且 , , , , ,则点 在平面 内的轨迹是( A )2A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分,有 在平面 PAB 内,以 AB 所在直线为 X 轴,AB 的中点为坐标原点,设 P(x,y)则 ,化简得 ,注意到点 P 不在直线AB 上,故除掉 选 A.练习:已知正方体 的棱长为 1,在正方体的表面上与点 A 距离为 的点的集合
3、形成一条曲线,则该曲线的长度为( B )A. B. C. D.解:当点 P 在上底面时,连 AP、A1P ,在直角 APA1 中,求得 PA1= ,即弧 P1P2 的长 .同理左侧面的弧 P5P6、后侧面的弧 P3P4 的长也为 ;当点 P 在前侧面时,弧 P1P6 的半径为 ,因为直角A1P1A 中,直角边 A1P1 的长为斜边 P1A 的一半,所以弧 P1P6 的圆心角为 ,从而弧3P1P6 的长为 .同理右侧面的弧 P2P3 的长与下底面的弧 P4P3 的长的长也为.故曲线的总长度为 ,故选 B.1.3 联想到抛物线的定义【例 3】 已知正方体 的棱长为 1,点 M在棱AB 上,且 AM
4、= ,点 P 是平面 ABCD 内的动点,且点 P 到直线的距离的平方与点 P 到点 M 的距离的平方之差为 1,则 P 点的轨迹为(A)A.抛物线弧 B.双曲线弧 C.线段 D.以上都不对解法一:过 P 作 PF 垂直 AD 于 F,则 PF 垂直平面 ADD1A1,过点 F 作 FE 垂直 A1D1 于E,连 PE,则 PE 为点 P 到直线 A1D1 的距离,由已知 ,即,得 , PF=PM,故 P 点的轨迹是以 M 为焦点,以 AD 为准线的抛物线,故选 A.解法二:以 AB,AD 所在直线为 X 轴 Y 轴建立直角坐标系,设 P(x ,y)为轨迹上任意点,可得 P 到 A1D1 的距
5、离平方为 1+ , = ,所以 1+ -=1,整理得 ,故选 A.4练习:在正方体 的侧面 ABB1A1 内有一点 P 到直线 AB 与到直线 B1C1 的距离相等,则动点 P 所在曲线的形状为( C)A.直线 B.双曲线C.抛物线 D.圆解:因为 B1C1 垂直于平面 ABB1A1,所以 PB1 为点 P 到直线 B1C1 的距离,于是问题转化为在平面 ABB1A1 内,点 P 到定点 B1 的距离与点 P 到定直线 AB 的距离相等.故根据抛物线的定义可知选答案 C. 1.4 联想到球面的定义【例 4】 如图,已知正方形 的棱长为 2,长为 2 的线段 的一个端点 在棱 上运动,点 N 在
6、正方形 内运动,则 中点的轨迹的面积是( )A. B. C. D.解:充分利用 MN 的长度不变, 是直角三角形,P 点为斜边 的中点,.故 点的轨迹是以 为圆心,1 为半径的球面位于正方体内的部分,因为要算具体面积,就必须求出几何体是球的哪些部分.分析可得,点 P 和棱 、 、均交于各自的中点,即三条半径两两垂直,该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一,故选 D.2 利用向量工具;按立体几何的传统方法几乎无从下手时,恰当的运用向量,有踏破铁鞋无觅处,得来全不费工夫之感.【例 5】一定长线段 AB 的两个端点 A、B 沿互相垂直的两条异面直线 、 运动,求它5的中点的轨迹.解:设 MN
7、为 、 的公垂线段,则 MN 与 、 两两垂直.如图,以 N 点为原点,直线为 轴,直线 NM 为 轴,以过点 N 所作直线 的平行线为 轴,建立空间直角坐标系.设 , , ,则 ,P 点坐标为 ,其中横坐标和纵坐标为变量,竖坐标为常量.P 点必在 MN 的垂直平分面上,取 MN 的中点 O,则,所以 P 点在以 O 为圆心,为半径的圆上.故 P 点的轨迹是 MN 的垂直平分面内的一个圆.3 利用特殊点定位;把问题的形式向特殊化形式转化,得出结论,并证明特殊化后的结论适合一般情况.【例 6】 如图所示,在三棱锥 A-BCD 中,P 为 CD 的中点,动点M 在 ABD 内部及边界上运动,且总保持 PM平面 ABC,求动点M 的轨迹.解:先分析特殊位置;当点 M 在 BD 边上时,由 PM平面 ABC可得 PMBC,此时点 M 是 BD 边的中点 Q,当动点 M 在 AD 边上时,同理可得 PM AC,此时点 M 是 AD 边的中点 R.于是猜想动点 M 的轨迹为中位线 RQ.实际上此题就转化为证明面 ,故命题得证.探求空间轨迹问题,要善于把立体几何问题转化到平面上,再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解,实现立体几何到解析几何的过渡.以上是笔者在教学中,处理此类问题的几种方法,愿与各位共同探讨.6