1、空军工程大学 2012 年大学生数学建模竞赛眼科医院病床安排优化模型参赛队员 1 参赛队员 2 参赛队员 3姓名 贺绍桐 徐晨洋 刘宇霖学号 321201024011 321201008010 321201008004学院 防空反导学院 防空反导学院 防空反导学院专业 武器发射 电力工程 电力工程- 1 -眼科床位安排模型摘要本文运用排队论的有关理论，借助优先级理论并借助仿真工具，主要研究了病床安排的评价指标体系及不同条件下的病床分配策略问题。首先，建立病床分配模型的评价体系，综合考虑到了医疗资源的优化配置、患者满意度两个方向的优化目标，进而提出总住院人数、平均排队队长、床位有效利用率、平均等
2、待时间四个指标对各个条件下的模型做出评价，通过计算发现原床位安排模型的不合理性。据此，我们建立了综合优先维度模型解决问题二，将医院病床视为一个动态系统，从医院角度，为了实现尽可能减少术前准备无效时间以提高有效利用率的目标，建立病种优先维度。从患者角度，为了实现缩短等待时间以提高患者满意度的目标建立等待优先维度，并引入综合优先维度（病种优先维度与等待优先维度之和）的概念，建立出双目标优化模型，为每个病人建立综合优先维度，然后，按每个病人的综合优先度为候诊病人重新安排床位，并以新分配方案与原分配方案评价指标的对比说明此病床安排模型的合理性。问题三中要求对病人等待住院时间进行预测，只需考虑医院每天空
3、出床位数，利用自适应法能够估算出病人住院的大致日期，又因为预测的时间是一个区间段，所以将点预测进一步扩展为区间预测，令置信度为 90%，从而得到更为合理的住院时间区间估计。问题四中要求周六周日不安排手术，对手术时间进行合理调整，为此，提出五种待选方案，调整的依据是利用模型一中的手术等待优先级矩阵 ，综合W分析了不同改进方案，分析了各病种病人的平均等待时间，确定调整到周二、周四做白内障手术为最佳调整方案。问题五中要求确定各病种床位比例，考虑到病床比例与各病种患者平均等待时间和平均住院时间之间的相关关系，结合原始数据，确定床位分配比例可以得出白内障、双眼白内障、青光眼、视网膜疾病和外伤应分配的病床
4、数分别为 、 、 、 、 。12927关键词： 优先级 排队论 床位利用率 综合优先维度- 2 -一、问题重述某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 张。当前该住院部对全体非79急症病人是按照 FCFS 规则安排住院。手术主要包括白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤四种。手术时间满足以下条件：（1）每周一、三做白内障手术，术前准备时间 、 天。白内障手术没有急症。12（2）外伤属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。（3）其他眼科疾病一般不安排在周一、周三。（4）其他眼科疾病不考虑急症。我们需要解决下面几个问题以提高对医院资源的有效利用：问题一：确定合理的评价指标体系，以评价该
5、问题的病床安排模型的优劣。问题二：就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对模型利用问题一中的指标体系做出评价。问题三：根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，如何分配床位，医院的手术时间安排是否应做出相应调整。问题五：在采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案的情况下，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例分配模型。二、模型假设（1）单次手术均在一天内完成，即不考虑手术时间；（2）周一、周三只做白内障手术和外伤手术
6、；（3）等待入院的队伍无长度限制；（4）除外伤外，其他疾病紧急情况无差别；（5）每天病人出院总是在早上 点，从而当天空出的床位当天即可由新的病人8使用。（6）医生和手术设备的数量无限。（7）对于白内障患者， 天的术前准备时间总是足够的。即当天住院第二天必1然可以手术。对于青光眼和视网膜疾病患者， 天的术前准备时间总是足2够的。即当天住院第三天可以手术。（8）外伤患者总是能在第二天入院，第三天手术，且不受周一，三只做白内障手术和周六周日不做手术的限制。- 3 -三、符号说明n总床位数ijW第 种病的患者在星期 住院后的手术ij等待时间iV术后住院时间平均值ijK患者在一周内每一天住院后的平均住院
7、停留时间ijS病种优先维度tX等待优先维度患者已等待的时间a等待优先级系数Z综合优先维度q当前排队人数T预计住院时刻每日平均出院病人1实际住院时刻T预计住院时间实际住院等待时间与预测住院等待时间之差p某病病床比例某病患者人数- 4 -平均等待时间平均住院停留时间四、问题分析、模型建立与求解4.1 问题一：评价体系根据题目要求，患者在医院系统的逗留时间可以包分为四个部分：等待时间（门诊时间到入院时间） 、术前准备时间（入院到第一次手术） 、手术时间（第一次手术到最后一次手术） 、术后恢复时间（最后一次手术到出院） 。门诊时间、手术时间、术后恢复时间无法改变。又因为白内障手术术前准备时间只需 天，
8、其他眼科疾病住院以后12天内就可以接受手术，那么我们认为超过此限度的术前住院时间是对医疗23资源的重复占用，即认为是无效时间，所以，最大限度减少无效时间（特别是白内障患者入院的无效时间） ，提高床位有效利用率和提高患者满意度是构建评价体系的重要方向。住院人数是一段时间内入院患者的总人数。它体现了医院床位安排的效率和医院的效益。平均等待时间是一段时间内入院患者的平均等待时间，它对患者的满意程度有很大的影响，也可以体现模型的效率。排队长度体现医院床位供不应求的程度，也从一个侧面反映排位模型的优劣。床位利用率不是单纯意义上的床位占用率。它是指一段时间内床位用于术前必需准备时间、手术时间、术后恢复时间
9、的总和与总天数的比值，即： 1 1n ni ii i 第 个 床 位 有 效 利 用 时 间 第 个 床 位 浪 费 时 间床 位 有 效 利 用 率 第 个 床 位 总 时 间 第 个 床 位 总 时 间其中， 总床位数，有效利用时间包括术前必需准备时间、手术时间、n术后恢复时间。浪费时间包括床位空置时间和非必需术前准备时间。据此可以看出，床位有效占用率能直观反映出床位安排的合理化程度，间接反映医院效益，而排队长度和平均等待时间能反映患者满意程度。4.2 问题二：床位安排模型床位安排上，坚持“治病救人，效率优先，兼顾公平”的原则建立“综合优先维度模型” 。病人住院视作进入系统，康复出院视作离
10、开系统，自进入门诊以来开始记录其综合优先维度，入院规则如下：（1）每个病人的综合优先的维度由两部分构成：病种优先维度、等待优先- 5 -维度。优先维度大者先考虑入院。（2）当病人的病种优先维度相同时，考虑等待优先维度，按照FCFS（ First come, First serve）规则等待时间长的安排住院。（3）急诊病人的优先度最高，即只要有床位就安排其住院，次日进行手术。4.2.1 病种优先维度的确定假设在病床分配系统中，医疗资源无限，任何一种疾病的病人确定自己可以入住的前提下，手术时间随之可以确定，每种病在每一天都有一个固有的优先级。之所以会产生这种不同病种的优先级的差别，原因是医院的手术
11、安排，以及各个病种的术前准备时间差异。我们将限制条件罗列如下：（1）急症随时手术，优先级最高；（2）周一、三安排白内障手术不安排其他手术；（3）白内障患者术前准备时间为 天，双眼白内障患者需在周一和周三各做1-2一次手术。青光眼和视网膜疾病患者术前准备时间为 天，且不安排在23周一、周三。可得到每周各天住院对于不同病种的术前等待时间，如表：表 1 不同病种术前等待时间病种 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日白内障 2 1 5 4 3 2 1白内障双眼 7 6 5 4 3 2 1青光眼 3 2 2 2 2 3 2视网膜疾病 3 2 2 2 2 3 2外伤 1 1 1 1 1 1 1数据表示
12、假定某种病的患者在一周的特定一天就诊，他所需的术前等待时间，单位是天。对于外伤病人来说，只要有空病床就应立即安排住院，且术前等待时间都为一天，即优先级别最高。故可暂不予考虑外伤，在病床调度方案中单独讨论。将其写成矩阵 2154321763ijW表示第 种病的患者在星期 住院后的术前等待时间。ij术后住院时间：观察附表中所给数据，发现对于同一种病的患者，其术后的住院时间也是有波动的。但这种波动是缘于患者的身体素质等因素，并不会因病床安排模型的不同而不同。也就是说，每种病的术后住院时间是该病种的固有属性，对于- 6 -我们研究病种的固有优先因子是有帮助的。因此我们从附表中的已出院病人记录统计出（表
13、中数据单位是天）：表 2 不同病种术后住院时间病种 白内障 双眼白内障 青光眼 视网膜疾病术后住院时间分布 2-4 4-6 4-12 5-15平均值 2.88 4.96 8.13 10.22术后住院时间的平均值为 。由此可得到这四种疾病患者在一周内每一天iV住院后的平均住院停留时间，用矩阵 表示，其中ijKijijiKW(1,234;,5,67)代入数值得到： 4.83.7.86.8.3.81960999.1.0.31.10.2222ij 由上表可以看出，每种病在不同时间住院实际住院时间不同，若能在术前准备时间前正好住院，无效住院时间不存在，称为最佳住院时间。为此，我们引入病种优先维度矩阵 ，
14、以描述不同疾病患者实际入院时间带来的无效时ijS间对优先维度所带来的影响。第优先维度定义如下： -ijk星 期 j开 始 住 院 总 天 数 星 期 k开 始 住 院 总 天 数 星 期 j开 始 住 院 总 天 数由定义可知，每种眼科疾病都可对应生成一个 的矩阵。为了使病种优7先维度和等待优先维度具有相同的权重，将四个矩阵元素同时进行归一化后，使各元素的变化在 之间。如患者做单眼白内障手术（ ）在星期 住院0-1i=11j的病种优先维度表示如下： 1.67.83.270.43.560.7.83ikS由矩阵可以看出， 取某一定值即可表示出某种病不同时间住院的优先级j维度，写成优先级维度矩阵如下
15、：- 7 -123410.67.830.27.430.56.70.83489416.2.21919kkY S4.2.2 等待优先维度的确定对于床位的安排，医院希望资源优化配置，而病人之间存在的是竞争的关系，病人希望尽快手术，只有争取到床位，才能尽快安排手术，所以，病人的等待时间必会影响到病人的满意度，对于病种优先级维度相同的前提下，肯定希望等待时间长的病人先住院，即等待时间长的病人获得较大的等待优先维度，定义如下： ()1atXe其中： ：等待优先维度()t：患者已等待的时间（天）：等待优先级系数a对于等待优先级系数 的确定，我们认为病种优先维度与等待优先维度的权重相同，由于病种优先维度经过归
16、一化取值在 之间，因此我们考虑01的取值也在 之间，根据所给资料，病人最大等待时长为 天，假设在()Xt01 16病人等待 天时等待优先维度达到最大接近于 ，当 时，等待62 0.347a天才会使等待优先因子达到 ，两周后 达到约 ，因此我们取20 ()Xt.2。另一方面， 起着平衡两优先级维度权重的作用，即可以通过调节.347aa进而调节两种优先级维度的权重 。4.2.3 综合优先因子排队患者的优先级由综合优先因子 最终决定。综合优先维度应该是病种Z优先维度和等待优先维度的某种组合。但由于在确定等待优先维度时，系数已经起到了调节权重的作用，因此本文将二者的和作为综合优先维度 ：a Zxy0,
17、1(). 20XtstyYt为 函 数 的 取 值 ）为 矩 阵 中 的 元 素 取 值 ）4.2.4 评价体系对模型的评价经过计算从 7 月 13 日到 9 月 11 日每个病人的综合优先维度，按从大到小对病人床位进行重安排，得下表- 8 -表 3 重新安排的病人信息病种 门诊时间 入院时间 第一次手术时 间 第二次手术时 间 出院时间白内障 2008-7-13 2008-7-28 2008-7-30 / 2008-8-1白双 2008-7-13 2008-7-26 2008-7-28 2008-7-30 2008-7-31青光眼 2008-7-13 2008-7-25 2008-7-27
18、/ 2008-8-5视网膜 2008-7-13 2008-7-25 2008-7-27 / 2008-8-8视网膜 2008-7-13 2008-7-25 2008-7-27 / 2008-8-4视网膜 2008-7-13 2008-7-26 2008-7-29 / 2008-8-10白内障 2008-7-14 2008-7-28 2008-7-30 / 2008-8-1白双 2008-7-14 2008-7-27 2008-7-28 2008-7-30 2008-8-1白双 2008-7-14 2008-7-27 2008-7-28 2008-7-30 2008-8-2白双 2008-7-1
19、4 2008-7-27 2008-7-28 2008-7-30 2008-8-2青光眼 2008-7-14 2008-7-25 2008-7-27 / 2008-8-2视网膜 2008-7-14 2008-7-26 2008-7-29 / 2008-8-5视网膜 2008-7-14 2008-7-26 2008-7-29 / 2008-8-7视网膜 2008-7-14 2008-7-26 2008-7-29 / 2008-8-5视网膜 2008-7-14 2008-7-26 2008-7-29 / 2008-8-8白内障 2008-7-15 2008-7-29 2008-7-30 / 2008
20、-8-1白内障 2008-7-15 2008-7-29 2008-7-30 / 2008-8-1白内障 2008-7-15 2008-7-29 2008-7-30 / 2008-8-1白双 2008-7-15 2008-7-27 2008-7-28 2008-7-30 2008-8-2 对以上数据整理，得到以下数据：原始模型数据： 术前多余住院时间：450 天外伤住院使用床位时间 ：414 天床位总使用时间 ： 61 79=4819 天床位使用率=89.78%总排队人次 5143 人次平均排队长度 84.3 人最大队长：108平均等待时间：11.04 天总住院人数 ：428 人优化模型数据：
21、术前多余住院时间 ：202 天外伤住院使用床位时间：414 天床位总使用时间： 61 79=4819 天床位使用率=94.85%总排队人次：4343 人次平均排队长度：71.2 人最大队长：100 人平均等待时间：9.68 天总住院人数：456 人得到评价体系指标数据如下表：- 9 -表 4 两种模型对比模型 总住院人数 床位利用率 平均等待时间（天） 平均排队人数FCFS 模型 428 89.78% 11.04 84.3优先级模型 456 94.85% 9.68 71.2显然，优先级模型有效控制了平均队长和平均等待时间，最大限度地提高床位的利用率，同时减少了患者的平均等待时间，提高患者的满意
22、度。4.3 问题三：入住时间预测模型在问题二中，我们已经用病床安排模型解决了在已知第二天拟出院病人数的情况下为患者安排合理的入住顺序问题。因此若要依据住院病人及等待住院病人的统计情况来提前预测患者的住院时间，思路是通过对每天医院能空出的床位数做合理预测，并对预测进行检验，置信区间预设为 90%。算法：时间预测：1、设当前排队人数为 ，预计住院时刻为 ，每日平均出院病人为 ，则qT01T则可以认为该病人预计的住院等待时间 0区间检验：2、前述算法得出的单一结果是由每天的空床值导出的结论。然而在实际中，每天空出的床位数应当围绕期望值在一定的范围内有所波动，因而单用排队值来预测入住时间是不全面的。若加入概率置信度区间的考虑，我们经过预测，在每天的床位预测值在 个床位上下波动，以此控制住院时间的预测范围。1从已给数据中随机调取患者住院资料（不按病种） ，根据实际住院时刻 算T得实际住院等待时间 0T假设其符合正态分布，进行拟合得到一条分布曲线，对数据进行仿真，得到新的分布曲线及相关参数，使其满足置信度 ，求出置信区间，即预测患%9者住院时间的区间，举例如下：
