1、第 2 讲 两条直线的位置关系知识梳理1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0,则这两条直线垂直.已知直线 , , 11:bxkyl22:bxkyl若 ,与 相交,则 ; 若 ,则 ;1l2l11若 / ,则 且 ; 若 与 重合,则 且21k212,2k21b2.几个公式已知两点 ,则 )(),(21yxP|21P2121)()(yx设点 ，直线 点 到直线 的距离为,0yxA,0:CBAlAld20|BACyx设直线 ,:1l ),(:2 Cyxl 则 与 间的距离1l2
2、d2|BA3.直线系 与直线 平行的直线系方程为 ; 0Cyx 0CByAx与直线 垂直的直线系方程为 ; BA过两直线 的交点的直线系方程为:,: 2211cybxalcybxal 为 参 数 ）(0)(21cybxa重难点突破重点:掌握两条直线的平行与垂直的充要条件；掌握两点之间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线之间的距离.难点:判断两条直线位置关系时的分类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件、距离公式解题重难点:综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式,进行合理转化之后求直线方程（1）在判断两条直线的位置关系时的分类讨论, 要防止因考虑不周造成的增解与漏解,关键是要树立检验
3、的意识.要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形;要考虑两条直线平行时不能重合;问题 1:已知直线 ， ，m 为何值时， 与06:21ymxl 023)(:2yxl 1l平行2l点拨：当 m=0 时 ，/1l2当 时， 的斜率为 ， 的斜率为0mm2lm32由 得 或 ， 时 与 重合， 时231l21/l2（2）在分析题意,寻找解题思路时,要充分利用数形结合思想,将问题转化,化繁为简,有效降低运算量. 问题 2:已知点 P（2，1）求过 P 点与原点距离最大的直线 的方程l点拨: 过 P 点与原点距离最大的直线 为垂直于直线 的直线, 直线 的斜率为-2, lOPl直线 的方程为 ,即l )2(x
4、y05y（3）在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使用两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的 的系数对应相等x、问题 2：求直线 与 的距离01:1yxl 74:2yl点拨：将 的方程化为 ，则两直线的距离为1l:1l 10592d(4)处理动直线过定点问题的常用的方法: 将直线方程化为点斜式化为过两条直线的交点的直线系方程特殊入手,先求其中两条直线的交点,再验证动直线恒过交点从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立。问题 3:求证:直线 恒过某定点，0164)3()82( 22 mymx并求该定点的坐标.将直线方程化为 )6()43(2xyx若直
5、线过定点 ，则,0P 0143)68(40020 yxyy上式对 恒成立， ， ， 该直线必过定点m6820x,10x)2,(P热点考点题型探析考点 1:两直线的平行与垂直关系题型: 判断两条直线平行与垂直例 1 已知直线 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ： x+6my-4=0 问 m 为何值时 （1） 与1l 2l l相交（2） 与 平行（3） 与 垂直;l21l2解析当 时 ； ， 与 垂直0m1:80ly:40x1l2当 时0m1 231012:;:863mlyxlyxm由 ，而 无解3348,86或 1()6综上所述（1） 时 与 相交（2） 与 平行（3） 时 与 垂直1l21l
6、01l2【名师指引】判断两条直线的位置关系，一般要分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，平时要培养分类讨论的“意识”例 2 已知 三边的方程为：ABC， ， ；:360ABxy:230ACxy:340BCxym（1）判断三角形的形状；（2）当 边上的高为 1 时，求 的值。m【解题思路】 （1）三边所在直线的斜率是定值,三个内角的大小是定值,可从计算斜率入手;(2) 边上的高为 1,即点 到直线 的距离为 1，由此可得关于 m 的方程.BCAB解析： （1）直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 32kAC23ACk所以 ，所以直线 与 互相垂直， 1ABCk因此 为直角三角形 （2）解方程组 ，得
7、 ，即3260xy26xy(,)A由点到直线的距离公式得 ， 2435md当 时， ，即 ，解得 或1d3015m302【名师指引】 （1）一般地，若两条直线的方向（斜率、倾斜角、方向向量）确定，则两条直线的夹角确定（2）在三角形中求直线方程，经常会结合三角形的高、角平分线、中线【新题导练】1.已知直线 ，直线 ，则“ ”是“直线 ”1:0laxbyc2:0lmxnypbman21/l的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析B2.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为（ ）A0 B-8 C2 D
8、.10解析设所求的直线 ，则20xym那么 m=-8，选 B3. “m= ”是 “直线( m+2)x+3my+1=0 与140mn直线( m2) x+(m+2)y3=0 相互垂直”的( )A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析当 m= 或-2 时，两条直线垂直，所以 m= 是两条直线垂直的充分不必要条件，选 2121B点评还要考虑斜率不存在的情形 4. (山东省枣庄市 2008 届高三第一次调研考试) 已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 l1经过点 垂直，直线 l2：43 laBA与且 1),(,23等于 （ ）balbyx平 行 ，与 直 线 10
9、2A4 B2 C0 D2解析 B ,又 3kA b考点 2 点到直线的距离题型:利用两个距离公式解决有关问题例 3 已知直线 及点0)()2(: aybxal )4,3(P（1）证明直线 过某定点，并求该定点的坐标（2）当点 到直线 的距离最大时，求直线 的方程Pl l【解题思路】分离参数 求定点坐标;寻找 到直线 的距离最大时，直线 满足的条件, ll解析：（1）将直线 的方程化为： ，l 0)1()12(yxbyxa无论 如何变化，该直线系都恒过直线 与直线 的交点，ba, yx由 得 ， 直线 过定点012yx3yxl)3,2(Q（2）当 时点 到直线 的距离最大，此时直线 的斜率为-5
10、， 直线 的方程为PQll ll即)2(53xy07y【名师指引】 （1）斜率不定的动直线，都应考虑是否过定点（2）处理解析几何的最值问题，一般方法有：函数法；几何法例 4 已知三条直线 1:lxya2:410lxy3:10lxy，若 与 的距离是 1l2750（1）求 a 的值 （2）能否找到一点 P 使得 P 同时满足下列三个条件P 是第一象限的点；P 点到 的距1l离是 P 点到 的距离的 P 点到 的距离与 P 点到 的距离的之比是 ；若能，求2l11l3l2:52,4,6P 点坐标；若不能，说明理由。【解题思路】由三个条件可列三个方程或不等式，最终归结为混合组是否有解的问题解析（1）
11、 2 21175:0, 30alxyda(2)设 同时满足三个条件0(,)P由得：设 在 上0(,)xy:20lxyC1331265CC或则有 -（1）0013126或由得： 0025xyxy-（2）00243或由得 -（3）,xy解由（1） （2） （3）联立的混合组得 所以 017,.98xy137(,)98P【名师指引】 （1）在条件比较多时，思路要理顺；（2）解混合组时，一般是先解方程，再验证不等式成立 【新题导练】6. 点 到直线 的距离的最小值等于 (4cos,3in)P60xy解析 2|)sin(5|2| d7. 与直线 的距离为 的直线方程为 10xy5解析 或228. 两平行
12、直线 ， 分别过点 P（-1，3） ，Q（2，-1）它们分别绕 P，Q 旋转，但始终保1l2持平行，则之 ， 间的距离的取值范围是（ ）A B.（0，5） C. D.0,0,50,17解析最大值为 P，Q 的距离，即 5，选 C9.求过原点且与两定点 距离相等的直线 的方程)2,3(1,BAl解析 直线 过线段 AB 的中点或平行于直线 AB，故方程为 或l 02yx043yx考点 3 直线系题型 1:运用直线系求直线方程例 5 求过直线 和 的交点，且与直线1:350lxy2:358lxy垂直的直线方程和平行的直线方程。 470xy【解题思路】可直接求交点，也可用直线系求解解析解法一.设与直
13、线 垂直的直线方程为470xy40xym设与直线 平行的直线方程为 联立方程得 与 的交点（1，-xy 0xynl21） 代入求得 m=-5，n=3解法二.设与直线为 由条件分别求得 和5230(58)37化简得 和874xy4xy【名师指引】 （1）使用直线系方程可以回避解方程组，从而达到减少运算量的目的（2）注意直线系 不表示直线 ，这5230(58)02:3580lxy是一个容易丢解的地方题型 2:动直线过定点问题例 6 已知圆 ，直线:C21x2y:l1mx74ym证明不取何值，直线 过定点 证明直线 恒与圆 C 相交mRl解析(1)直线化为： 故直线是经过 和4(27)0xymxy0
14、xy交点（3，1）的直线系，故过定点（3，1）270xy（2）因为 所以（3,1）为圆内的点。故直线 恒与圆 C 相交22()()5l【名师指引】在处理动直线过定点问题时，分离参数，转化为过两条定直线的交点的直线系是简单易行的方法【新题导练】10、方程 所确定的直线必经过点(14)(23)140kxykA （2，2） B.（-2，2） C.（-6，2） D.（3，-6）解析代入验证，选 A11.已知为 m 实数，直线 ：（2m+1）x+（1-m）y-（4m+5）=0， P（7，0） ，求点 P 到直线l的距离 d 的取值范围。l解析 直线 过定点 ，d 的最大值为点 P、Q 的距离，因点 P、
15、Q 的距离为 ，故l)2,3(Q 52d 的取值范围是 5,012.直线 经过直线 的交点，且与坐标轴围成的三l 0243:0:21 yxlyxl与角形是等腰直角三角形，求直线 的方程l解析：设直线 方程为 ,l32)(m化简得: 02)4()3( yxm直线 与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线 的斜率为l l1,解得: 或)(2715代入并化简得直线 的方程为 或l 02yx0817yx抢分频道基础巩固训练1、若过点 和 的直线与直线 平行,则 的值为)sin,4(A)cos,5(B0cyx|ABA6 B C2 D 2解析 ，1sicok 21)sin(co| 2A2、已知三条直线
16、 和 围成一个直083,0632ymxyx 03yx角三角形，则 的值是mA 或 B-1 或 C0 或-1 或 D0 或 或1949494194解析 C直线 垂直时， ，但 时后两1832,0632yxyx m条直线重合，又 时后两条直线垂直，故选 C3、若直线 l： y kx 与直线 2x3 y60 交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的3取值范围是（ ）A ， ) B( ， ) C( ， ) D ， )6 3 6 2 3 2 6 2解析B直线 2x3 y60 与 x 轴、y 轴交于（0，2） 、 （3，0）将两点坐标代入可得答案4、点 P（x，y）在直线 4x + 3y = 0 上，且满
17、足14xy7，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是（ ）A. 0，5 B. 0，10 C. 5，10 D. 5，15解：B. 由 得 ， 点 P 到坐标原点距离的取值范围是0，1071403yx36x5、设 , ,若 仅有两个元素,则实数|),(aA|),(axyBBA的取值范围是 a解析 , 数形结合，注意到直线 的斜率为 1，当 时直)1(),( |a线 与 不可能有两个交点 xy|xay6、求经过直线 和 的交点，且与原点距离为 的直线方程043012y2解析解方程组 得交点坐标为（-1，-1） ，12yx设直线方程为 即)(k01kyx，解得21|2kd所求直线方程为 0yx综合提高训
18、练7、已知直线 与 轴 轴正半轴所围成的四边形有外接圆，bkxll :,73:21 y则 ， 的取值范围是 kb解析由题意知 21kl直线 与坐标轴交于点 和 ， 直线 与线段 （不含端点）相交，1l )37,0(A),(B1lAB画图易得 的取值范围是b8、已知两直线 ,求分别满足下列条件的 、12:4,:()0laxylaxyba的值（1）直线 过点 ，并且直线 与直线 垂直；1l(3,)1l2l（2）直线 与直线 平行，并且坐标原点到 、 的距离相等2l解析解：（1） 1,()0,ab即 20ab又点 在 上， (3,1)l340ab由解得： 2,.ab（2） 且 的斜率为 . 的斜率也
19、存在，即 ， .1l2l 1l 1aba故 和 的方程可分别表示为： 14():()0,laxy2:()0lxy原点到 和 的距离相等. ，解得： 或 .1l24a3因此 或 . 2ab39、 （华南师大附中 20072008 学年度高三综合测试（三） ）如图所示，将一矩形花坛 ABCD扩建成一个更大的矩形花园 AMPN，要求 B 在 AM 上，D 在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，|AB|=3 米，|AD|=2 米. （）要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 AM 的长应在什么范围内？（）当 AM、AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小？并求出最小面积. 以 A
20、M、AN 分别为 x、y 轴建立直角坐标系，解析 （）以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立坐标系，则 1),23()(,0),( byaxMNCabNaM的 方 程 为直 线， 则由 C 在直线 MN 上得 ab1 )3(632SAMPN24048162 axa或AM 的长取值范围是（3，4） ),1(（）由（）知 ，即2ba24623abba 24abSAMPN当且仅当 即 时取等号34,6所以 时，矩形 AMPN 的面积取得最小值 24,10.已知点 A（1,4） ，B（6,2） ，试问在直线 x-3y+3=0 上是否存在点 C，使得三角形 ABC 的面积等于 14？若存在，求出
21、C 点坐标；若不存在，说明理由。解析AB= ，直线 AB 的方程为 ，即22(16)(4)92641yx，假设在直线 x-3y+3=0 上是否存在点 C，使得三角形 ABC 的面积等于250xy14，设 C 的坐标为 ，则一方面有 m-3n+3=0，另一方面点 C 到直线 AB 的距离为(,)mn，由于三角形 ABC 的面积等于 14，则|2|9d， ，即 或1|52|1429nAB |52|8mn50mn.联立解得 ， ；联立解得 ， .综上，56mn363在直线 x-3y+3=0 上存在点 C 或 ，使得三角形 ABC 的面积等于 14.5(,)1(,0)参考例题：1. 将一块直角三角板 （ 角）置于直角坐标系中，已知 ，ABOo45 OBAB,1点 是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（ ） ，要把损坏的部分锯掉，)41,2(P PO可用经过 的任意一直线 将其锯成 ，问如何确定直线 的斜率，才能使锯MNAMN成的 的面积最大？A分析：用点斜式设出直线 的方程，直线 与直线 AB,的交点可求出， 的面积线段 的长度和点 到直线 的距离来表示N解析：由图知 ，)0,1(BA21,BPOk设直线 的斜率为 ，直线 与 不能相交，所以MkN21k直线 的方程为 ，N)2(4xy令 得1x1,2BNPAO
