1、第 4 讲 直线与圆的位置关系知识梳理1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为 ，d圆半径为 ，若直线与圆相离，则 ；若直线与圆相切，则 ；若直线与圆相交，rrdrd则 代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式d来判断，若 ，则直线与圆相离；若 ，则直线与圆相切；若 ，则直线与圆000相交2.两圆的的位置关系(1)设两圆半径分别为 ，圆心距为 d12,r若两圆相外离，则 ，公切线条数为 4Rd若两圆相外切,则 ，公切线条数为 3若两圆相交 ，则，公切线条数为 2rr若两圆内切，则 ，公切线条数为
2、1若两圆内含，则 ，公切线条数为 0d(2) 设两圆 ， ，若两: 1121 FyExDyxC 0: 222FyExDyxC圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是 )()()( 1123. 相切问题的解法：利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即 来求解。0特殊地,已知切点 ,圆 的切线方程为 ,)(0yxP22ry2ryx圆 的切线方程为22)(rbax 00 )()(bax4.圆系方程以点 为圆心的圆系方程为),(0yC )()()(2020ry过圆 和直线 的交点的圆系方程为:2FEyDx:cba
3、xlyx2 )(cba过两圆 ， 的交点的0: 1121 yxyxC 0: 222FyExDyxC圆系方程为 （不表示圆 ）112FyExDy 0)(222 FyExDyx 2C重难点突破重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系；利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题；难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差重难点:将方程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型：相切求切线相交求距离相离求圆上动点到直线距离的最大（小）值；问题 1：直线 与圆 相切，则实数 等于 3
4、0xym20xym【解析】圆心为 ，半径为 ， 或),(33|2、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等待定系数法，还要合理运用“设而不求” ，简化运算过程3、圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦热点考点题型探析考点 1 直线与圆的位置关系 题型 1: 判断直线与圆的位置关系例 1 （2005 北京海淀）设 m0，则直线 （ x+y）+1
5、+ m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为2A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切解析圆心到直线的距离为 d= ，圆半径为 .21 d r= = （ m2 +1）= （ 1） 20，212m直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选 C【名师指引】判断直线与圆的位置关系的两种方法(代数法、几何法)中，几何法更简便题型 2:求解圆的切线、弦长问题例 2 已知圆 , 是 轴上的动点, 、 分别切圆 于1)2(:2yxMQxAQBM两点BA,(1)若点 的坐标为（1，0） ，求切线 、 的方程QAB(2)求四边形 的面积的最小值QAMB(3)若 ，求直线 的方程324【解题思路】(2)用一
6、个变量表示四边形 的面积(3)从图形中观察点 满足的条件QAMBQ解析：（1）设过点 的圆 的切线方程为 ，则圆心 到切线的距离为 1，Q1myx或 0， 切线 、 的方程分别为 和341|2| m034yxx（2） ，AM31222 MOQAQSAQB（3）设 与 交于点 ，则PBM,，在 中， ，31)2(1PRtP2即 MQ3设 ，则)0,(x )0,5(,92Qx直线 的方程为 或5y052yx【名师指引】转化是本题的关键，如：第 2 问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3 问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点 到圆心的Q距离。弦长、切线长问题经常要这
7、种转化例 3 已知圆 C：（ x1） 2（ y2） 225，直线 l：（2 m+1） x+（ m+1） y7 m4（ mR）.（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.解析（1）解法 1： l 的方程（ x+y4）+ m（2 x+y7）=0.2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即 l 恒过定点 A（3，1）.圆心 C（1，2） ， AC 5（半径） ，点 A 在圆 C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点.解法 2：圆心到直线 的距离 ，265|13|2md 0265)34(2mdmR， 得，所以直线 l
8、恒与圆 C 相交于两点rd5（2）弦长最小时， l AC，由 kAC ，21 l 的方程为 2x y5=0.【名师指引】明确几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点（2）直线与圆恒有公共点 直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦题型 3: 圆上的点到直线的距离问题 例 4 已知圆 和直线 ，22)5()3(:ryxC0234:yxl（1）若圆 上有且只有 4 个点到直线 l 的的距离等于 1，求半径 的取值范围；r（2）若圆 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1，求半径 的取值范围；（3）若圆 上有且只有 2 个点到
9、直线 l 的的距离等于 1，求半径 的取值范围；【解题思路】解法 1 采用转化为直线与圆的交点个数来解决；解法 2 从劣弧的点到直线 l的最大距离作为观察点入手解法 1：与直线 平行且距离为 1 的直线为 和034:yxl 034:1yxl，圆心 到直线 的的距离为 ,圆心 到直线 的的距离为0734:2yxl C1l6dC2l,d（1）圆 上有且只有 4 个点到直线 l 的的距离等于 1 64rr且（2）圆 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1 且（3）圆 上有且只有 2 个点到直线 l 的的距离等于 1C 且解法 2：设圆心 到直线 l 的距离为 ，则d5（1）圆 上有且只有
10、4 个点到直线 l 的的距离等于 1 ，6rdr（2）圆 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1 ，（3）圆 上有且只有 2 个点到直线 l 的的距离等于 1C 41【名师指引】将圆上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数转化为两条直线与圆的交点个数,是一种简明的处理方法，对解决这类问题特别有效【新题导练】1. (山东省威海市 2008 年普通高中毕业年级教学质量检测)在下列直线中，是圆 的切线的是 （ ）0322yxyxAx=0 By=0 Cx=y Dx=y解析 B. 圆心为 ，半径为 1，切线为 y=0),3(2. (08 山东省临沂市期中考)的位置关系是 （ ),2(01sin
11、12 Z kyxyx 与 直 线）A相离 B相切 C相交 D不能确定解析 A. 圆心到直线的距离为 ,直线与圆相离rd1sin23. 已知直线 与圆 ，则 上各点到 的距离的最大:40lxy2:xyCl值与最小值之差为_解析: 距离的最大值与最小值之差为 2r4、(山东省德州市 2008 届高中三年级教学质量检测)已知向量 若 与 的夹角为 ，则m(cos,in,(3cos,in),mn60直线 与圆 的位置关系是 D021isyx 221)xyA相交但不过圆心 B相交过圆心 C相切 D相离解析 D. ，21)cos(6s| 0 nm圆心 到直线 的距离为)i,(cos0inyx，故直线与圆相
12、离rd21|5. (广东省普宁市华侨中学 2009 届高三第三次练兵考试)直线 被圆 截得的弦长为_。2()1xty为 参 数 24xy【解析】 . 4直线为 ，圆心到直线的距离 ，弦长的一半为10xy12d，得弦长为224()46.(2008 届广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校联考)若函数 的图像在 处的切线 l 与圆 相离，则点 与圆的1(axfeb0x2:1Cxy(,)Pab位置关系是 （ ）A在圆外 B在圆内 C在圆上 D不能确定解析 B. ， ，切线 l 的方程为axebf)( baf)0( bxay1即 ，圆心到切线 l 的距离为 ，点 在01yax 122d(,)P
13、ab圆内7.已知圆 M：（xcos） 2（ysin） 21，直线 l：ykx，下面四个命题：对任意实数 k 与，直线 l 和圆 M 相切；对任意实数 k 与，直线 l 和圆 M 有公共点；对任意实数，必存在实数 k，使得直线 l 与和圆 M 相切对任意实数 k，必存在实数，使得直线 l 与和圆 M 相切其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）解析 圆心坐标为（cos，sin）d 22|kcosin|1k|sin|1 （ ） sin|1 （ ）8. 已知 M（ x0， y0）是圆 x2+y2=r2（ r0）内异于圆心的一点，则直线 x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?解析:圆心 O（0
14、，0）到直线 x0x+y0y=r2的距离为 d= .20yxr P（ x0， y0）在圆内， r，故直线和圆相离.9. 已知圆 和点 ,若点 在圆上且 的面积36)5()3(22y)21(),BACAB为 ,则满足条件的点 的个数是25CA.1 B.2 C.3 D.4解析: 3由 的面积为 知,点 到直线 的距离为 1, AB25AB直线 的方程为 ,与直线 平行且距离为 1 的直线为034yx和 ，圆心 到直线 的的距离为 ,圆心 到034:1yxl 7:2l Cl61dC直线 的的距离为 ,所以圆 与直线 相切与直线 相交, 满2d36)5()3(22yx 2l足条件的点 的个数是 3C1
15、0自点 A（3，3）发出的光线 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆lx2 y24 x4 y70 相切，求光线 所在直线的方程. 解析：圆（ x2） 2（ y2） 21 关于 x 轴的对称方程是（ x2） 2（ y2） 21.设 l 方程为 y3 k（ x3） ，由于对称圆心（2，2）到 l 距离为圆的半径 1，从而可得k1 ， k2 故所求 l 的方程是 3x4 y30 或 4x3 y30.4考点 2 圆与圆的位置关系 题型:利用圆与圆位置关系的充要条件, 判断两圆的位置关系或求圆的方程例 4 求与圆 外切于点 ，且半径为 的圆的方程52yx)2,1(P52解析：设所求圆
16、的圆心为 ，则),(baC1)()(2b解得： ，所求圆的方程为63ba 20)6()3(2yx解法 2：设所求圆的圆心为 ，由条件知,baC),(31),(1baOCP，所求圆的方程为63ba 20)6()3(2yx【名师指引】 （1）本题采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：寻找圆心满足的条件；列出方程组求解（2）解法 2 利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。【新题导练】11.已知两圆相交于两点 ,两圆圆心都在直线 上,则 的值)1(),3mBA0cyxcm是( )A-1 B2 C3 D0解析:3两点 关于直线 对称, , 线段 的中点(3,1
17、)在, cyx 514mkAB AB直线 上,0cyx32m12. 若圆 始终平分圆 的周长,则实数1)()(bya 4)()(22yx应满足的关系是( )ba,A B 03220522baC D1ba 13解析 B公共弦所在的直线方程为 01)1(2)(2aybxa圆 始终平分圆 的周长)()(22byax 4)(2圆 的圆心在直线 上41 01)(aybx即0)(2)(2a0522a13. 在平面内,与点 距离为 1, 与点 距离为 2 的直线共有( )条,A)1,3(BA.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条解析：B 直线 与点 距离为 1，所以直线 是以 A 为圆心 1 为
18、半径的圆的切线，l),(l同理直线 也是以 B 为圆心 2 为半径的圆的切线，即两圆的公切线，两圆相交，公切线有 2 条5|A考点 3 与圆有关的轨迹问题 例 5 已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点，定点 Q（4，0）.（1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；（2）设 POQ 的平分线交 PQ 于 R，求 R 点的轨迹方程.解析（1）设 PQ 中点 M（ x， y） ，则 P（2 x4，2 y） ，代入圆的方程得（ x2） 2+y2=1.（2）设 R（ x， y） ，由 = = ，|Q|O1设 P（ m， n） ，则有m= ，243n= ，y代入 x2+y2=4 中，得（ x ） 2+y2
19、= （ y0）.34916【名师指引】（1）本题用了相关点转移法求轨迹，该法的核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质，转化为比例关系利用夹角相等【新题导练】14.由动点 向圆 引两条切线 ,切点分别为 , ,则动P12yxPBA、 BA06P点的轨迹方程为 解析 42yx在 中, , ,动点的轨迹是以原点AOPRt0036APOB2A为圆心,2 为半径的圆,方程为 42yx15. 过圆 内一点 作一弦交圆于 两点,过点 分别作圆的切线12yx),(CB、 B、,两切线交于点 ,则点 的轨迹方程为PCB、 PA B 92
20、4yxC D5yx23解析B 设 ,过点 的切线方程为 ,过点 的切线方)(),(),( 210yxCBP、 B41yxC程为 ,而两切线都过点 , ,42yxP021yx直线 的方程为 ,40yx直线 经过点 , ,BC)1(A换为 得yx,抢分频道基础巩固训练1、将圆 按向量 平移后,恰好于直线 相切,则实数 的值12yx)12(a0byxb为A B C D 3322解析B 平移后圆的方程为 ,则1)()2(2yx 31|3|b2、(2007天津)圆 关于直线 对称的圆的方程是（ 002yx） 21)()3(2yx 21)()3(2yxOAB 2)()3(2yx 2)()3(2yx解析 的
21、圆心为(1,0),半径为 ，选 C013、(2008 山东济宁模拟)已知曲线 ，点 及点 ，以点 观2:2yxC,0AaB,A察点 ，要使视线不被曲线 挡住，则 的取值范围是（ ）BaA B ,4,1,C D 2解析 A 由图可以得到切线 AB 的斜率为 14,a或4、直线 与圆 交于 、 两点，且 、 关于直线xmy2042nyxMN对称，则弦 的长为 0xMN解析 4由直线 与直线 垂直得 m=2,由圆心在直线 上得 n=-2；xy0y 0yx5、已知圆 C1： 相交于 A，B 两点，276:76222 xCx与 圆则线段 AB 的中垂线方程为 。解析 x+y-3=0 即两圆的连心线6、方程 ax2+ay24（ a1） x+4y=0 表示圆，求 a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解析（1） a0 时，方程为 x 2+（ y+ ） 2= ，)1(2)(4a由于 a22 a+20 恒成立， a0 且 aR 时方程表示圆.（2） r2=4 =42( )2+ ，2a1 a=2 时， rmin2=2.此时圆的方程为（ x1） 2+（ y1） 2=2.综合提高训练7、过圆 外一点 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为4:2yO),(MA. B. 04x 04yxC. D. y
