1、第 4 讲 函数与方程知识梳理一、函数的零点方程 0)(xf的实数根又叫做函数 )(Dxfy的零点。方程 有实根 函数 )的图像与 x 轴有交点 函数 ()yfx有零点；如果函数 ()yfx在区间 (,ab上的图像是连续不断的，且有 0fab，则函数()f在区间 ,上有零点。二、二分法1如果函数 ()yfx在区间 ,nm上的图像是连续不断的一条曲线，且 0)(nfm，通过不断地把函数 的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2给定精度 ，用二分法求函数 )(xfy的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间 ,nm，验证 0nf，给定精度 ；（2）求
2、区间 的中点 1x；（3）计算 )(1xf：若 )(f，则 1x就是函数 )(xfy的零点；若0)(mf，则令 1n（此时零点 ,(10m） ；若 0)(1nf，则令1x（此时零点 ),(0n）（4）判断是否达到精度 ；即若 m，则得到零点值 m（或 n） ；否则重复步骤（2）-（4）重、难点突破重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数 )(xfy零点的近似值难点：用二分法求函数 )(xfy的零点近似值重难点：1函数零点的理解函数 ()yfx的零点、方程 0)(f的根、函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程 0f根的个数就是函数 ()yf的零点的
3、个数，亦即函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的个数变号零点与不变号零点若函数 )(xf在零点 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 )(xf的变号零点若函数 在零点 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 的不变号零点若函数 )(xf在区间 ba， 上的图象是一条连续的曲线，则 0)(bfa是 )(xf在区间 ba， 内有零点的充分不必要条件。用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根（2）求曲线 )(xfy和 )(g的交点的横坐标，实际上就是求函数)(gxfy的零点，即求方程 0)(xgf的根3关于用二分法求函数 )(xy的零点近似值的
4、步骤须注意的问题：（1）第一步中要使：区间长度尽量小； )(bfa、 的值比较容易计算且0)(bfa；（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程 )(xgf的根，可以构造函数 )()(xgfxF，函数 )(xF的零点即方程)(x的根。热点考点题型探析考点 1 零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点.例 1 求函数 23xy的零点.解题思路 求函数 的零点就是求方程 023x的根解析令 320x，2()20xx ()1()， 1或 或即函数 23xy的零点为-1，1，2。名师指引 函数的零点不是点，而是函数函数 ()yfx的图像与 x 轴交点的横
5、坐标，即零点是一个实数。题型 2：确定函数零点的个数.例 2 求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数.解题思路 求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数就是求方程 lnx2x 6=0 的解的个数解析方法一：易证 f(x)= lnx2x 6 在定义域 (0,)上连续单调递增，又有 (1)40f，所以函数 f(x)= lnx2x 6 只有一个零点。方法二：求函数 f(x)=lnx2x 6 的零点个数即是求方程 lnx2x 6=0 的解的个数即求ln62yx的交点的个数。画图可知只有一个。名师指引 求函数 )(f的零点是高考的热点，有两种常用方法：（代数法）求方程 0x的实数根；（几何法）
6、对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )(xfy的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围例 3 (2007广东 )已知 a 是实数,函数 axaxf32,如果函数 xfy在区间1,上有零点，求 a 的取值范围。解题思路 要求参数 a 的取值范围，就要从函数 xfy在区间 1,上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组） ，但由于涉及到 a 作为 2的系数，故要对 a 进行讨论解析 若 0 , ()23fx ,显然在 1,上没有零点 , 所以 0.令 248340aa, 解得 372a当 7时, yfx恰有一个零点在 1,上;当 0511af ，即 5
7、a时， yfx在,上也恰有一个零点.当 yfx在 ,上有两个零点时, 则208410af或208410af解得 5a或352综上所求实数 的取值范围是 1a 或 352.名师指引 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.二次函数 f（x）=ax2+bx+c 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.新题导练1 （09 年浙江五校联考）函数 21fxmx有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（ ）A ,；B ,01；C ,0,；D ,1解析 B ；依题意
8、得（1）0)(42fm或（2）0)(42fm或（3） 4)2(0m显然（1）无解；解（2）得 0m；解（3）得 1又当 0时 1)(xf，它显然有一个正实数的零点，所以应选 B2 （中山市 09 届统测）方程 2的实数解的个数为 _ 解析 2；在同一个坐标系中作函数xy)(及 32的图象，发现它们有两个交点故方程 23x的实数解的个数为 2考点 2 用二分法求方程的近似解例 4（斗门一中 09 届模拟）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 2y1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6
9、.063 8.0 10.556 x0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 那么方程 2的一个根位于下列区间的（ ）. A.（0.6，1.0） ；B.（1.4，1.8） ；C.（1.8，2.2） ；D. （2.6，3.0）解题思路 判断函数2)(xf在各个区间两端点的符号解析由 036.51.)60(f ， 0.1).(f，故排除 A；由 924.1， 2438，故排除 B；由 4.83)(f ， .59.)2(f ，故可确定方程 2x的一个根位于下列区间（1.8，2.2） ，所以选择 C名师指引 用二分法求方程 0)(xf的近似解的关键是先寻找使
10、得函数 )(f在两端点异号的某区间，然后依次取其中点，判断函数 )(xf在中点的符号，接着取两端函数值异号的区间作为新的区间，依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。新题导练 3用二分法研究函数 13)(xf的零点时，第一次经计算 0)(f，0)5.(f，可得其中一个零点 0 ，第二次应计算 ，这时可判断0x解析 ).,(， )25.(f， ).,(；由二分法知 )5.0,(x，这时01325f，故 ).,2(x考点 3 根的分布问题例 4 已知函数 f（x）=mx2+ （m3）x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围解题思路 由于二次函数的图象可能与 x
11、 轴有两个不同的交点，应分情况讨论解析（1）若 m=0，则 f（x）=3x+1，显然满足要求.（2）若 m0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则014)3(2mxm0； 都在原点右侧，则 ,01,234)(mx解得 0m1，综上可得 m（，1.名师指引 二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布有关的结论：方程 f（x）=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 af（r）0.二次方程 f（x）=0 的两根都大于 r .0)(,2,4rfabc二次方程 f（x）=0 在区间（p，q）内有两根 .0)(,2,04pfaqbac二次方程
12、f（x）=0 在区间（p，q）内只有一根 f（p ）f（q）0，或 f（p）=0，另一根在（p，q）内或 f（q）=0，另一根在（p，q）内.方程 f（x）=0 的两根中一根大于 p，另一根小于 q（pq） .0)(,qfa新题导练3已知二次函数 f(x)=4x2 2(p2)x2p2p+1,若在区间1，1内至少存在一个实数c,使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是_. 解析 (3， 2） 只需 f(1)=2p23p+90 或 f(1)=2p2+p+10即3p 或1p1.p(3, 23).4若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间
13、,求实数 k 的取值范围.解析 123k；令 2)()(2kxxf，则依题意得0)2(ff，即0124k，解得 23k5.(2007韶关)若关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根，求实数 a 的取值范围.解析令 t=2x， t0关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根等价于方程 t2+at+a+1=0(t0)有正实数根,令 f(t)= t2+at+a+1，且 42a故方程 t2+at+a+1=0(t0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由 f(0)0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程 fg(x)=0
14、有且仅有三个解； (2) 方程 gf(x)=0 有且仅有三个解；(3) 方程 ff(x)=0 有且仅有九个解； (4)方程 gg(x)=0 有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是（ )A 1;B. 2;C. 3; D. 4解析 B ；由图可知， )(axf， )(axg，由左图及 fg(x)=0 得a a xyyf(x)Oaaa a xyyg(x)Oaa2)(1axg，02)(，axg， 2)(axg，由右知方程 fg(x)=0 有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及 gf(x)=0 得)()(0f，由左图知方程 gf(x)=0 有且仅有一个解，故(2) 错误；由左图及 ff(x)=0 得
15、2)(1axf，02)(，axf， 2)(axf，又由左图得到方程 ff(x)=0 最多有三个解，故(3) 错误；由右图及 gg(x)=0 得)()(0g，由右图知方程 gg(x)=0 有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择 B8 （2008惠州调研）若函数32()fxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 2)1(f 65.0)1(f 984.0)25.1(f60.375. 4376那么方程 2x的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）.A1.2; B1.3;C 1.4 ; D1.59已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间( 1，0)内，另一根在区间(1，2) 内，求 m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围.解析(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2) 内，画出示意图，得 65,21056)2(,41,)0(mRff 216.(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0 ，1)内，列不等式组
