1、- - 1 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。第 - 1 - 页 共 12 页黄冈中学中考数学二次函数知识点 20年中考真题考点知识点记忆口诀收集整理了 1990年-2010 年 20年中考数学试题真题与模拟题，穷尽一切二次函数知识点与考点，仔细体会下每一知识点与考点之真实意图理解记忆，记忆中理解1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.y y（2）函数 的图像与 的符号关系：当 时 抛物线
2、开口向上 顶点为其最低点；当2x0a时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.0a（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay24.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .2 khxay2 abckbh422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ；2kaxy22hxy； .khxay2 cbxay26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；00a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a平行于 轴（或重合）的直线
3、记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxyx7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大a小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是abcxcbxy4222 ，对称轴是直线 .），（ abc422abx（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，khxay2 hk对称轴是直线 .hx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线- - 2 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780再长的路，一
4、步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。第 - 2 - 页 共 12 页是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2xya（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线cbxy2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；abx00ay（即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.0y（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccbxay2当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）
5、：xc2yc ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.0c0ccy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyhx( ,0)hka( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3
6、）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay12.直线与抛物线的交点- - 3 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。第 - 3 - 页 共 12 页（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxay2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hbxay2 hcba2（3）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程cbay2x12x的两个实数根 .抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式
7、判定：02cx有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa2（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程nkyl 02acbxyG组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方cbxa2 l程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGl（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴
8、两交点为 ，由cbxay2 021， xBA于 、 是方程 的两个根，故1x202cbxa acacxAB 442221212121（7） 、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 ，点 P(x,y)到 y 轴的距离等于yx点 P(x,y)到原点的距离等于 2yx二次函数考点一、二次函数的概念和图像 （38 分）1、二次函数的概念一般地，如果 ，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2 acbaxy是 常 数 ，叫做二次函数的一般式。),(2cbxay是 常 数 ， 11,- - 4 - -海韵教育 数学（9）13228166256
9、 81226780再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。第 - 4 - 页 共 12 页2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。abx2抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 与坐标轴的交点：cbxay2当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与
10、x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、二次函数的解析式 （1016 分）二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）顶点式： )(kh是 常 数 ，（3）当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 有实根 和cxy2 02cbxa1x存在时，根据二次三项式的分解因式 ，二次函数 可转2x )(212xacba cbay2化为两根式 。如果没有交点，则不能这样表示
11、。)(21xay考点三、二次函数的最值 （10 分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 时， 。ababcy42最 值如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，21xab21x若在此范围内，则当 x= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围ab2abcy42最 值 21内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 时， ，当 时，2xcbxay2最 大 1x；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 时， ，当cbxa12最 小 11最 大时， 。2x2最 小考点四、二次函数的性质 （614 分）
12、 1、二次函数的性质函数 二次函数- - 5 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。第 - 5 - 页 共 12 页)0,(2 acbaxy是 常 数 ，a0 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最ab2小值， cy4最 小 值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标是ab2（ ， ） ；c4（3）在对称轴的左侧，即当 x 时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最ab
13、2大值， cy4最 大 值2、二次函数 中， 的含义： 表示开口方向： 0 时，)0,(2 abax是 常 数 ， b、 aa抛物线开口向上， ， ， 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”概括成八个字“同左上加，异右下减” 三、二次函数 与 的比较2yaxhk2yaxbc请将 利用配方的形式配成顶点式。请将 配成 。245 2yaxbc2yax
14、hk总结：从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2yaxhk2yaxbc前者，即 ，其中 224bcyax 24k，四、二次函数 图象的画法2五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对2yaxbc2()yaxhk称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的y交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有0c，0c， h， x102x交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.y的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴
15、性质0向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 ka向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，h随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 - - 10 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。第 - 10 - 页 共 12 页五、二次函数 的性质2yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小2bxayxyx2bxay值 4c2. 当 时，抛
16、物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当 时， 随0a 2bxa24bac，2bxay的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 x2bxay2xy六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2yxbcbc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()ahkahk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12x01x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的x4bc这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；0 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大a总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小aa2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；ab 同号同左上加0002ay
