1、第三章分式教案1第三章 分式第一课时3.1.1 分式（一）一、教学目标：（一）教学知识点1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.（二）能力训练要求1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感.2.培养学生认识特殊与一般的辩证关系.（三）情感与价值观要求通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心.二、教学重点：1.了解分式的形式 （A、B 是整式） ，并理解分式概念中的一个
2、特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零；2.掌握分式基本性质的内容，并有意识地运用它化简分式。教学难点：1.分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零；2.分子分母进行约分.三、教学方法：讲练相结合四、教学手段：多媒体五、教学过程：.创设问题情境，引入新课师我们先试着解答下面的问题：出示投影片（3.1.1 A）面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林 2400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷，结果提前 4 个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？这一问题中有哪些等量关系
3、？如果原计划每月固沙造林 x 公顷，那么原计划完成一期工程需要_个月，实际完成一期工程用了_个月.根据题意，可得方程_.生根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1）生这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2）师这两位同学真棒！在这个问题中，谁能告诉我涉及到哪些基本量呢？它们的关系是什么？生涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率工作时间.师如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？生因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工
4、作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林 x 公顷.师这种设未知数的方法恰好与投影片（3.1.1 A）中设未知数的方法相同.下面第三章分式教案2同学们自己在练习本上回答投影片（3.1.1 A ）中的几个问题.（教师可巡视同学们回答问题情况）.生原计划完成一期工程需 个月，x240实际完成一期工程需 c 个月，3根据等量关系（1）可列出方程：+4= .3024xx师同学们可接着思考：如何用等量关系（2）设未知数，列方程呢？生因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划 x 个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x4）个月，那么原计
5、划每月固沙造林的公顷数为 公顷，实际每月固沙造林 公顷，根据题意可得方程x20420x.42034x师同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？生我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如 ， , .这些代数式和整式不同 .我们虽然列出了方程，但分x204302x母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易.师的确如此.像 这样的代数式同整式有很大的不同，而且它,是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.从现在开始我们就来研究分式，相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性，不久的将来，一定会很迅速准确解出上面两个方
6、程.讲授新课1.通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别.师下面我们再来看几个问题：出示投影片3.1.1 B做一做（1）正 n 边形的每个内角为_度.（2）一箱苹果售价 a 元，箱子与苹果的总质量为 m kg，箱子的质量为 n kg，则每千克苹果的售价是多少元？（3）有两块棉田，有一块 x 公顷，收棉花 m 千克，第二块 y 公顷，收棉花 n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？（4）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 a 元，现降价 x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为 b 元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？生 （1） ;（2 ） 元；n18
7、0)(nma（3） 千克；（4） 册yxmxb师很好！我们再来看投影片（3.1.1 C）议一议第三章分式教案3上面问题中出现了代数式 ，xabynmanxx ,180)2(,4032,40它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？（分组讨论后回答）生上面的几个代数式的共同特征：（1）它们都是由分子、分母与分数线构成；（2）分母中都含有字母.生它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母，而整式的分母中不含有字母.例如： 它们都含有分母，但分母中不含字母，所以它们是整式.42,90yx师同学们能够结合前后知识理解上述代数式，很好！下面我们给出这种代数式即分式的概念：整式 A 除以整式 B，可以
8、表示成 的形式.如果除式 B 中含有字母，那么称 为分BABA式，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母.分式中，字母可以取任意实数吗？生不可以.因为分式中分母含有字母，而分母是除式，不能为零.字母的取值就受到制约即字母的取值不能使分母为零，否则，分式就会无意义.2.例题讲解师下面我们接着来看投影片（3.1.1 D ）想一想（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？5x7,3x 21, , ,5, , , .13ab7)(pnm122xy7cb54（2）当 a=1，2 时，分别求分式 的值.a当 a 为何值时，分式 有意义？当 a 为何值时，分式 的值为零？21生 （1）中 5x7,3x
9、 21, ,5, 是整式； , ,7)(pnm213ab22xy是分式.cb54（2）解：当 a=1 时， = =1;21当 a=2 时， = = .43当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.由分母 2a=0，得 a=0.所以，当 a 取零以外的任何实数时，分式 有意义.a21分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此 a 的取第三章分式教案4值有两个要求： 012a所以，当 a=1 时，分母不为零，分子为零，分式 为零.a21.随堂练习巩固分式的概念，讨论分式有意义的条件限制.出示投影片（3.1.1 E）1.当 x 取什么值时，下列分式有意义？（1
10、） ；（2） ;（ 3）8912x12x分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.解：（1）由分母 x1=0，得 x=1.所以，当 x 取除 1 以外的任何实数时，分式 都有意义.8x（2）由分母 x29=0，得 x=3.所以，当 x 取除 3 和3 以外的任何实数时，分式 都有意义.912（3）由分母 x2+1 可知，x 取任何实数时，x 2 是一个非负数，所以 x2+1 不管 x 取何实数时，x 2+1 都不会为零.即 x 取任何实数， 都有意义 .x2.把甲、乙两种饮料按质量比 xy 混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制 1 kg 这种混合饮料需多少甲种饮料？解：
11、根据题意，调制 1 kg 这种混合饮料需 kg 甲种饮料.yx.课时小结师通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）生今天，我们认识了代数式里一个新的成员分式.生我们从实例中发现了分式和整式的不同的地方：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母，并且还由除式不能为零，即分母不能为零，明白了分式中的字母是有条件约束的，分式中的字母的取值必须保证分母不为零.生.课后作业习题 3.1.第 1、2、3 题.活动与探究已知 x= ,求 的值551x过程直接代入求值，显然很麻烦，由已知 x= ，得 2x= +1,2x1= .155所以（2x1） 2=5,x2x 1=0 即 x2=x+1.我们利
12、用 x2=x+1 可以使 降次从而求出它的值.531第三章分式教案5结果 = = = = =531x53)(x523x23)1(3x2= = .12六、板书设计：311 分式（一）一、分式的意义 yxnmax,180)2(,34,整式 A 除以整式 B，可以表示成 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称 为ABA分式.注：1对于任意一个分式，分母都不能为零.2分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.3分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零.二、例题三、随堂练习七、教学反思：第二课时3.1.2 分式（二）一、教学目标：（一）教学知识点1.分式的基本性质.2.利
13、用分式的基本性质对分式进行“等值”变形.3.了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.4.使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式.（二）能力训练要求1.能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质.2.培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力.（三）情感与价值观要求通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣.二、教学重点：1.分式的基本性质；2.利用分式的基本性质约分；3.将一个分式化简为最简分式。教学难点：分子、分母是多项式的约分。三、教学方法：讨论自主探究相结合四、教学手段：多媒体第三章分式教案6五、教学过
14、程：.复习分数的基本性质，推想分式的基本性质.师我们来看如何做不同分母的分数的加法： + .213生 + = + = + = .21321635师这里将异分母化为同分母， = = ,6= = .这是根据什么呢？316生根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.师很好！分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？.新课讲解1.分式的基本性质出示投影片（3.1.2 A）（1） = 的依据是什么？632（2）你认为分式 与 相等吗？ 与 呢？与同伴交流.a1mn2生 （1）将 的分子、分母同时除以它们的最大公约数 3 得到.即 =
15、 = .63 6321依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.（2）分式 与 相等，在分式 中，a0，所以 = = ;a22a2分式 与 也是相等的.在分式 中，n0，所以 = = .mnmmn2师由此，你能推想出分式的基本性质吗？生分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.师在运用此性质时，应特别注意什么？生应特别强调分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都” “同一个” “不为零”.师我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.
16、同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.下面我们就来看一个例题（出示投影片3.1.2 B）例 2下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1） = （y0） ；（2） = .xbbxa生在（1）中，因为 y0，利用分式的基本第三章分式教案7性质，在 的分子、分母中同乘以 y，即可得到右边，即 = = ；xb2 xb2yx师很好！在（1）中，题目告诉你 y0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？生在（2）中， 可以分子、分母同除以 x 得到，即 = = .bxabxaba生 “x”如果等于“0” ，就不行.在 中，x 不会为“0” ，如果是“0” ，
17、中分母就为“0” ，分式 将无意义，所baba以（2）中虽然没有直接告诉我们 x0，但要由 得到 ， 必须有意义，即 bx0xbxa由此可得 b0 且 x0.师这位同学分析得很精辟！2.分式的约分.师利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简.我们不妨先来回忆如何对分数化简.生化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如 ，3 和 12 的最大公约数是 3，所以 = = .121234师我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简.（出示投影片3.1.2 C）例 3化简下列各式：（1） ;（2） .abc12x师在分数化简中
18、，我们约去了分子、分母的公约数，那么在分式化简中，我们应如何办？生约去分子、分母中的公因式.例如（1）中 a2bc 可分解为 ac（ab）.分母中也含有因式 ab,因此利用分式的基本性质：= = =ac.abc2)(ab)(abc师我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论.生如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂.师回答得很好.可（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简？生通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.师这个主意很
19、好.现在同学们自己动手把第（2）题试着完成一下.生解：（2） = = .12x2)(1x生老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约去公有的因式.第三章分式教案8师在例 3 中， =ac，即分子、分母同时约去了整式 ab; abc2= ，即分子、分母同时约去了整式 x1.把一个分式的分子和分母的公12x因式约去，这种变形我们称为分式的约分.下面我们亲自动手，再来化简几个分式.（出示投影片3.1.2 D）做一做化简下列分式：（1） ;（2） .yx05)(ba生解：（1） = = ;2)5(4xy1（2） = .)(ba师在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样
20、做的（出示投影片3.1.2 E）议一议在化简 时，小颖是这样做的： =yx205yx2052你对上述做法有何看法？与同伴交流.生我认为小颖的做法中， 中还有公因式 5x，没有化简完，也就是说没有2x化成最简结果.师很好！ 如果化简成 ，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式yx20541称为最简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式.巩固、提高出示投影片（3.1.2 F）1.填空：（1） = ; （2）yx2)(yx)(14y2.化简下列分式：（1） ; （2） .329yx3)(yx解：1.（1）因为 = =)()(2yx第三章分式教案9所以括号里应填 2x2+2xy;（2）因为 =
21、 = .所以括号里应填 y2.4y)(y212.（1） = = ;239x)()2x34（2） = = .3)(y)()(2y2)(1.课时小结师通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）生数学知识之间是有内在联系的.利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质.生分式的约分和化简可联系分数的约分和化简.生化简分式时，结果一定要求最简.课后作业课本习题 3.2 及读一读.活动与探究实数 a、 b 满足 ab=1，记 M= + ,N= + ，比较 M、N 的大小.a1ba1b六、板书设计：七、教学反思：第三课时3.2 分式的乘除法一、教学目标：（一）教学知识点1.分式乘除法的运算法则，2
22、.会进行分式的乘除法的运算.（二）能力训练要求1.类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则.2.在分式乘除法运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力.3.用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识.（三）情感与价值观要求1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感.2.培养学生的创新意识和应用数学的意识.二、教学重点：让学生掌握分式乘除法的法则及其应用.教学难点：分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.三、教学方法：引导、启发、探求第三章分式教案10四、教学手段：多媒体五、教学过程：.创设情
23、境，引入新课师上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？下面我们看投影片（3.2 A）探索、交流观察下列算式： = , = ,32547925 = = , = = .437295猜一猜 =? =?与同伴交流.abcd生观察上面运算，可知：两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.即 = ;abcd = = .ab这里字母 a,b,c,d 都是整数，但 a,c,d 不为零.师如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法.讲授新课1.分式的乘除法法则师生共析分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.2.例题讲解出示投影片（3.2 B）例 1计算：（1） ;（2） .yx343aa21分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.解：（1） =yx34323xy= = ;2x（2） aa12= = .)()(2出示投影片（3.2 C）
