1、1客观、合理评价学生学习状况的数学模型摘 要目前对学生学习状况的评价相对比较主观，以测试成绩的高低来评价学生的学习优劣。这种评价方式单一，忽略了不通基础水平同学的进步程度以及测试本身的局限性，为了更好鼓励基础相对较差的学生努力学习，我们需要建立一个客观、更合理的评价学生学习状况的数学模型。通过以上考虑，本文试图通过回答以下几个问题来达到目的：问题一：通过分析题目所给的 612 名学生的整体成绩情况，其中包括每个学期整体的平均成绩、及格率、最高分、最低分、方差、标准差等多项指标有关，通过所给数据，得到图表。整体情况为：及格率均在 90%以上，并逐年增长，平均分在 70 分以上，整体成绩良好。问题
2、二：为了体现学生成绩进步在整体评价中的作用，采用学生每个学期的成绩和进步情况作为指标, 我们采用了两种方法：模糊层次分析法：考虑到每次考试的难易度不同先通过分数转换将学生的成绩转换成“标准分” ，且进步度=进步率学生的成绩平均分。通过糊层次分析方法得出最后求出各个因素的权重向量为： ，再利)240.,18.,0.,13.,0.,967.,0.(W用模糊层次分析方法得出学生 学习状况的综合评定指标如下：i1234567iiiiiiiiCkxkxkxkx灰色关联分析法：利用标准分和由黑尔指数法求得的进步分数进行评价。根据灰色关联度分析法得到各指标的关联度，又由于灰色关联分析法是等权划分，不能显示出
3、各指标的重要性差异，所以我们运用模糊层次分析法中得到的权重。由此可以得到较为客观的综合评价模型：总和评价结果=各个指标的权重与取值的乘积之和。问题三： 根据不同的评价方法预测这些学生后两个学期的学习情况：多元线性回归预测模型：只考虑原先度考试成绩对后来考试成绩的影响。利用matlab中的regress函数得到第四个学期成绩与第三个学期的关系，发现第四个学期的成绩受三个学期的成绩的影响是比较大的，因此可以得到第五个学期与第六个学期的成绩分析对一些进行结果分析，再对于一些成绩浮动过大或是缺考的学生可以剔除再计算进行比较。灰色预测模型：利用matlab编辑预测函数 = =)1(0kxi )(i(1k
4、xi算出第i个学生第j学期的预测成绩。再利用这个函数来分别算出)1()(0aki eux已知学期学生的成绩与原始的数据进行残差检验，分别求出他们的绝对误差与相对误差判断得知该模型型建立是合理、客观和全面的。预测结果如下：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 105 77.560 77.69 75.51 77.83 81.51 78.51 59.64 18.19 70.96 72.336 78.685 78.41 81.15 76.68 81.60 82.43 55.72 12.06 69.64 72.66关键字：黑尔指数转换法 模糊层次分析 多元线性回归预测 分数转换标准分灰色2关联分析
5、权重 一 问题重述学生的学习状况是体现学生的学习能力和评价学校教学质量的一个重要指标。然而传统的评价方式单纯根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了学生基础条件的差异以及学生的进步程度，所以单纯的通过测试成绩来评价学生的学习状况是不合理的。故而，建立合理的数学模型来解决这类问题是势在必行的。在本题中，我们需要解决的问题有以下三个：1.根据附件数据，对附件中给出的 612 名学生的整体情况进行分析说明；2.根据附件数据，采用两种及以上方法，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；3.根据不同的评价方法，预测这些学生后两个学期的学习情况。二问题分析 问题一：根据统计学知识，我们认为这 612
6、名学生的整体情况应该包括每个学期整体的平均成绩、最高分、最低分、极差、中位数、方差、标准差、偏度等多项指标。通过附表所给的数据进行统计整理，我们可以得到各学期的相关指标，并对其分布进行正态性检验，通过各项指标的对比还可以对四个学期成绩分布之间的相关性进行研究。我们也可由此对学生的整体情况进行全面、直观、科学的说明。 问题二：我们认为评价一个学生的学习状况可以有多方面的因素，诸如学习环境、学习基础、考试难度、进步状况等。但是由于附件中只给出了 612 名学生连续四个学期的综合成绩，如果从多个因素着手就会脱离客观现实，具有不可操作性，因此，我们只能着眼于学生的学习综合成绩和进步状况。本题所用的两种
7、模型就只针对这两类因素展开，层次分析图如下：目标层： 学生学习情况综合评价 A准则层： 学生实际成绩 学生成绩进步情况 1B2B指标层： 第 第 第 第 第 第 第 一 二 三 四 二 三 四 学 学 学 学 学 学 学 期 期 期 期 期 期 期 成 成 成 成 进 进 进 绩 绩 绩 绩 步 步 步 3度 度 度 1c23c45c67c对于该问题我们采两个不同的模型进行：模型一：我们考虑到的是成绩与进步度的影响因素，由于每学期的难易度不同，我们可以将其转换成“标准分” ，这样既降低了这方面的误差，又排除了不同基础水平的同学进步情况受影响的因素，可以令进步度=进步率学生的成绩平均分。接着就可
8、以根据模糊层次分析的原理进行建模与求解。模型二：灰色关联分析法是一种多因素统计分析方法，对信息不精确、不完全确定的小样本系统有明显的分析优势。其核心是关联度的计算，但如果没有考虑各指标重要性差异和允许指标属性之间相互线性补偿，将导致信息的流失，并且产生较大的误差。运用模糊层次法能够对每个评价指标的重要程度予以充分的考虑和保证，客观地揭示各评价指标的重要性。因此，评价过程可以运用模糊层次分析法来确定评价指标的权重，建立基于灰色关联度的灰色综合评价模型。 问题三：观察数据我们可以想到的是基本的统计回归接着进行运算即可，接着再进行相应的残差分析，判断数据的可行性而模糊预测模型通过对原始数据的生成处理
9、来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。 三 模型的假设及符号说明3.1.模型的假设1.假设每个学期的总和成绩的满分为 100 分；2.假设每个学期的学生人数不会变动；3.假设每位学生所处的学习考试环境相同；4.假设附件数据中的两个零是由特殊情况所致；5.每位学生的学习能力基本保持不变；6.以后两个学期记分方式与前面四个学期记分方式相同。3.2.符号说明i第 个学生, i612,ij第 个指标, j7jijx第 名学生针对第 个指标的原始数据iiZ第 名学生的相对重要程度函数值)(kyi与 在第 点的关联系数;i
10、1ZkijS第 名学生针对第 个指标标准化后的数据;j分辨系数jx第 个学期学生的总体平均分j4js分别是每个学期的学生总体与标准差j=1,2,3,4ijr下层第 个元素相对于第 个元素的模糊关系ijiC第 个学生的评价分ijs第 个学生第 j个学期的标准分,j=1,2,3,4ii第 个学生四个学期的平均分ijc第 个学生第 j个学期的进步度；j=2,3,4iik第i个因素的指标。i-1,2,3,4,5,6,7.km各个学期名次为k的平均分0w准则层对目标层的权值12,指标层对准则层的权值四 模型的建立与求解4.1.对学生整体成绩进行分析利用附件中所给的数据进行统计，得到了学生成绩总体分布的情
11、况如图所示。数据处理时把成绩分为四个等级，80 分及以上的为优秀，70 分到 80 分之间的为良好，60 分到 70 分之间的为合格，小于 60 分的为不及格。四 个 学 期 学 生 成 绩 分 布 情 况0501001502002503003501 2 3 4学 期人数优 秀 人 数良 好合 格不 及 格从上述处理结果可以看出，四个学期的学习成绩良好及以上同学居多，且不及格人数逐年减少。5运用 Excel 对统计后的数据进一步分析与计算得到的表格如下：平均分 72.88555681 74.85333673 73.76263004 75.93762224最高分 89.45 90.8518518
12、5 90.61584906 89.625最低分 27.53125 19.18181818 22.05263158 19.43023256极差 61.91875 71.67003367 68.56321748 70.19476744中位数 74.52083333 76.93939394 74.40330189 76.745总分 43658.44853 44837.1487 44183.81539 45486.63572方差 81.39423623 89.66409054 58.14112094 56.29434797标准差 9.021875427 9.469112447 7.62503252 7
13、.502955949偏度 -0.577725994 -0.380977955 -0.488578121 0.974336831优秀人数 138 205 130 194良好 273 243 301 284合格 136 109 143 105不及格 52 42 25 16及格 547 557 574 583及格率 0.89379085 0.910130719 0.937908497 0.952614379分数90 0 2 1 0表 1由上表可以得出：一、二、三学期的偏度为负，说明呈负偏态分布，即分数小于平均分的学生比大于平均分的学生多；第四学期的偏度为正，说明呈正偏态分布，即分数大于平均分的学生比
14、小于平均分的学生多。由此说明学生的整体成绩提高了。同时我们还可以得到以下结论：（1） 、四个学期的及格率均在 89%以上，可以肯定大部分学生的学习能力；（2） 、第一、二学期的标准差较第三、四学期的大，说明前两个学期的分数较为分散，学生的差距较大；（3） 、四个学期中，分数大于 90 分的学生比较少，所以该学校应该加强尖子生这块的培养；（4） 、四个学期的总平均成绩在 73 分左右，学生的总体学习情况良好。由表可得，四个学期的平均成绩分别为：， ， ， 。71X273X54协方差： 。相关性系数：)()(),(ovYEXYC。),(DY由附件数据可得， ，因此第二学期成绩与第一学期成绩存在正非
15、76.0),(21线性相关关系，同理可得第三、四学期成绩与第一学期成绩也存在正非线性相关关系。4.2.评价学生的学习情况4.2.1.数据处理 黑尔指数转换：用指数方差确定进步幅度和难度，并根据高低分着的进步幅度，一不同的难度权重，最后根据两粗测验获得的“进步分”的多少来进行评价。(1).根据原始的黑尔指数表格（表 1）回归分析出 T 分与进步分公式，根据黑尔指数换算表回归分析出T分与相应的进步分y的关系: ,得Ty0473.1*96.6到了进步分 。ijy先是利用公式 ，其中 是第 个学生第 个学期的成绩， ，jiij xT105ijxjjx分别是每个学期的学生总体的平均分与标准差。利用这个公
16、式将成绩装换为T分，jx可将两学期两次额成绩分别转换成 T 分，然后将 T 分转换为进步分，见附录。以下表是取序号排列 110 的学生为例所求的进步分学生序号 T 分 进步分 T 进步分 T 进步分 T1 56.79 13.75 50.43 10.25 51.24 10.64 49.24 2 53.24 11.67 49.08 9.63 58.24 14.71 55.40 3 39.01 6.05 35.68 5.18 44.82 7.91 43.59 4 60.74 16.51 58.34 14.77 53.70 11.92 51.41 5 53.74 11.94 58.26 14.72 5
17、4.89 12.60 52.46 6 56.03 13.28 41.43 6.76 53.19 11.64 50.95 7 53.97 12.07 51.06 10.55 39.19 6.10 38.64 8 37.78 5.71 34.76 4.97 30.82 4.14 31.28 9 46.42 8.51 51.87 10.96 47.65 9.01 46.08 10 52.76 11.42 45.42 8.13 52.41 11.23 50.27 表2 分数的转换：由于学期的考试难度不同，将各学期的成绩分别强制重新分布，即分别将没学期的成绩进行排名，再算出该名次四学期的平均分 (j=1
18、,2,.612),则若学im生在 学期的成绩名次为k,则 就为第k名次的分数。称为标准分。转换表见附录1.j ijs现在先已前10个学生为例（以下均以前20个学生为例）学生序号 学期 1 学期 2 学期 3 学期 4 名次1 80.17086 73.60982 75.48343 75.93652 2942 76.76518 72.60189 81.73924 73.71727 3503 64.92197 61.09857 68.96101 66.35911 5104 83.83266 82.29952 77.88961 79.8259 1725 77.20141 82.12876 78.899
19、42 82.33829 1026 79.41556 65.78705 77.37894 70.81329 4237 77.42085 74.16948 62.43962 63.06503 5518 63.66054 60.08061 53.90643 20.8267 6119 70.65604 74.97018 71.95387 72.32588 38710 76.29021 69.39598 76.59162 68.48538 477表3以下两种方法的计算都是建立在转换后的标准分的基础上。4.2.2.模糊层次分析模型7 模型原理：模糊层次分析法采用0.10.9标度法（见附录1）， 能够准确地
20、描述任意两个因素之间关于某准则的相对重要程度。且由优先判断矩阵改造成的模糊一致矩阵满足加性一致性条件即 ，就是 的任意两行的对应元素之差为21jkiijrR常数。无须再做一致性检验，另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问题，具体步骤如下：(1).建立优先关系矩阵。优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵，即： 11R()nijnr 其中 表示下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系。而因素间两两重要性比较r与因素重要程度权重 之间的关系为 . 越大ij jiw, wrjiij5.05.0表示决策者越重视因素间重要程度的差异。将采用0
21、.1-O.9标度给予数量表示，且 =1。ijriji(2).将优先关系矩阵改造成模糊一致矩阵利用加性一致性 。记0.5ijikjr做变换 ，将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵。1,2,niikrn iijr0.52jn(3).根据公式 ，可以算出 的排序向量, 1 1,(,)22ni ij nwraa R, 越小表示决策者越重视因素间重要程度的影响。推导出各因TnW).,(21素权重值。(4).将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重。(5).根据考评结果得出优劣次序。 模型的建立与求解： 评价指标体系如上个模型的指标体系将学生学习情况的评价层定为目标层，评价中主要涉及的两个方面定为准
22、则层，构造优先关系矩阵并计算各因素权重值。在层次结构表的基础上建立优先关系矩阵，然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下：(1).优先关系矩阵及转换成模糊一致矩阵构造优先关系矩阵：为了显示重视每个因素间重要程度间的影响取 ，5.05.05.0jiij wr8将优先矩阵转换成模糊一致矩阵，则 iijr0.52jn假设令成绩进步情况相对于实际成绩的权重值为：0.3:0.7 则A-B 的优先关系矩阵： A-B 模糊一致矩阵：0.537.0465假设令后一个成绩均比前一给成绩权重大为则为：0.1：0.2：0.3：0.4b-C 的优先关系矩阵： 1B.40.35054.6.模糊一致矩阵： 1C.47.5
23、0.2052.4.7.同样的令后一个的进步度的权重比为：2:2:6 c的优先关系矩阵： 2BC0.5.3.7.的模糊一致矩阵： 240.5.6由模型原理中的步骤（3）中的计算公式，为了提高排序结果的分辨率我们取并且同时取 ，根据 可以算的 B 层相21na, 111,(2,)22ni ij nwraa对于 A 层，更因素权值为 ,C 层相对于 B 层，各指标相对应上层相应0(.4,6)因素的权值分别为：)40.,3.,.(275821512w所以综合权重为：= =k121*6.0,4. )240.,18.,.,.,.,0967.,.(即如下面的关系图：各因素对综合评价的影响权重9综合评价第一学
24、期成绩0.0900第二学期成绩0.0967第三学期成绩0.1033第四学期成绩0.1800第二学期进步度0.1800第三学期进步度0.1800第四学期进步度0.2400因此对于学生 学习状况的综合评定定量表示如下：i1234567iiiiiiiiCkskskckc进步度：考虑到学生的基础不同算出每个学生的三个进步度,进步度是 = * ，ij1ijsi4,32j再由各项指标结合附件中的数据以前 20 个学生为例，对他们成绩的综合评定如下表：学生序号 学期 1 学期 2 学期 3 学期 4进步度 2进步度 3进步度 4 总评名次1 80.171 73.610 75.483 75.937 -6.24
25、4 1.942 0.458 29.288 72 76.765 72.602 81.739 73.717 -4.133 9.591 -7.479 29.154 83 64.922 61.099 68.961 66.359 -3.848 8.408 -2.465 25.939 174 83.833 82.300 77.890 79.826 -1.481 -4.338 2.013 31.207 45 77.201 82.129 78.899 82.338 5.1150 -3.151 3.4930 32.713 16 79.416 65.788 77.379 70.813 -12.59 12.924
26、-6.224 27.363 137 77.421 74.169 62.430 63.065 -2.909 -10.96 0.694 24.757 188 63.661 60.081 53.906 20.827 -2.790 -5.099 -30.48 10.525 209 70.656 74.970 71.954 72.326 4.425 -2.916 0.375 28.853 1010 76.290 69.396 76.592 68.485 -6.569 7.537 -7.693 26.871 1411 85.103 81.022 82.585 65.325 -3.765 1.515 -16
27、.41 26.411 1512 65.689 68.684 69.603 65.501 3.072 0.901 -3.970 26.252 1613 78.134 72.363 80.099 80.758 -5.750 8.321 0.640 31.238 314 77.626 74.043 75.937 73.444 -3.474 1.925 -2.470 28.684 1115 69.993 70.813 77.460 77.379 0.866 6.937 -0.077 30.505 616 71.721 70.349 75.796 80.906 -1.428 5.783 5.035 31
28、.413 217 76.201 76.997 83.328 77.010 0.819 6.445 -5.943 30.725 518 56.143 55.039 62.333 60.665 -1.151 7.759 -1.567 23.876 1919 68.445 71.844 76.227 72.772 3.5915 4.412 -3.278 29.131 920 84.629 78.671 79.003 71.436 -5.522 0.3314 -7.512 28.006 12表4由表 4 的计算结果可看出，5 号同学的综合得分最高，为 32.71295，说明其学习状况在这 20 名同学
29、中最好，而且其进步度也在提高。而 8 号同学的综合得分最低且为10.52521，说明他在这 20 名同学中学习状况最差，成绩一直呈下滑趋势，老师应该采10取必要的措施，帮助该同学尽快摆脱这种状况。所以，由以上模型，可以对所有的学生的四个学期的成绩进行综合评定，来说明他们的学习状况。学生的整体情况可如下图来体现：=30 20301020 =302030102010上面这个表再次说明学生的学习状况整体是不错的达到中上等水平的同学占大部分，但是仍有少部分学生的总评分是比较小的，因此老师、学校应该加强对这部分同学的关心与注重。4.2.3.灰色关联分析法 模型原理：灰色关联分析方法是根据因素之间发展趋势
30、的相似或相异程度,亦即“灰色关联度”,作为衡量因素间关联程度的一种分析方法。具体步骤如下：(1).选择母指标:可选取对方案效益影响最重要的指标作为母指标；(2).对指标值进行处理：由于各指标的量纲不同，应对其均值化处理或初值化处理；(3).计算关联系数： ，其中： ， ，bjajyii)( )()(0jxjiimi,21, ， ，nj2,1mn1kaiijmax5162jiij5.(4).求关联度： ，jiiyr1)(,(7).排序：因素间的关联程度主要是用关联度的大小次序描述, 而不仅是关联度的大小。因此必须按 的大小依次排序, 即得关联序。ir 模型建立与求解：灰色关联分析法利用灰色关联度来描述因紊间关系的强弱、大小和次序，但把各项指标等权划分，不能显示出各指标的重要性差异。而模糊层次分析法引入了模糊一致矩阵，克服了层次分析法中判断矩阵的一致性与人类思维的一致性间存在的显著差异，减小了主观影响，可以得到较为客观的综合评价结果。(1).选择母指标：模型一求得的权重中最大的指标 为母指标，记)240.,18.,0.,13.,0.,967.,0.(W 7c
