1、1空间向量及其运算（一）空间向量的线性运算山东莒南三中 王加轩（276600）空间向量的线性运算与平面向量的线性运算相同，分为向量的加法、减法与数乘运算；运算的法则是：（1）三角形法则；（2）平行四边形法则；（3）数乘定义；（4）运算律和运算性质。适用范围是空间图形。由空间向量的线性运算可以体会理解解决立体几何问题的基本思想空间问题平面问题。空间向量的线性运算有以下几种题型： 转 化一、化简或表示一个向量例 1如图所示，已知 是平行六面体。11ABCD（1）化简 ，并在图上标出结果；1223（2）设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 对角1BC线 上的点， 。设 ，试求 ， ， 的1B
2、C1:C1MAD值。分析：根据三角形法则和平行四边形法则进行变形化简即可。解：（1）设 E 是 AA1 的中点，则 ，F 为线段 C1D1 上的点，且12E那么 ，如图所示（注意：图上表示的位置不:2:DFC3ABC唯一） 。（2） 124MND13()()24AB，1 1134A所以 ， ，21二、根据有关定理证明几何命题：证明四点共面，线线、线面、面面平行等例 2已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外一点 O，在下列条件下，点 P 是否一定与 A，B，C 共面？（1） ；1255OPO（2） 分析：观察已知等式是否是四点共面的充要条件，如果不是，就要对已知等式进行变形化简，化为四
3、点共面的充要条件的形式。可以画出徒刑，结合图形进行变形，如图。OABC例 2ABCDA1B1D1C1NM例 1EF2解：（1） 21253OPABOC12()()55ABOAC，即： ，所以 P 与 A，B，C 四点共面。ABC（也可以再变形为 ，推出四点共面）（2） 22()()OPOAO，即 ，而 不能由 和 表ABCPBCA ABC示，所以不能把 化为 的形式，xy所以 P 与 A，B，C 四点不共面。点拨：四点共面问题可以转化为向量共面问题有判定四点共面的充要条件或 判断，也可以直接由结论OxyAPxByCOPxA且 得出。yz1z例 3已知平行四边形 ABCD，从平面 AC 外一点
4、O 引向量 ，Ek， ， 。OFkBGkOCHkD求证：（1）四点 E，F，G，H 共面；（2）平面 AC平面 EG.。分析：可以先根据题意画出图形，对照图形进行变形。证明：（1）因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ACBD又因为 OkCOAk()()kOA，即 ，所以四点 E，F，G，H 共面。)FEHEFGEF（2） ，由（1）知： ，()kBkkC所以 EFAB,EGAC,所以平面 AC平面 EG.练习：1在三棱锥 中， ，G 为ABC 的重心，则有（ ）SACA B()21()3SASBC D4BC2如图，空间四边形 OABC 中， ， ， ，OAabOc点 M 在 OA 上，且 ，N 为 BC 的中点，则 等于2MMNOABC第 2 题MN3（ ）A B123abc 213abcC D3在平行六面体 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 ，1BCA1ABa， ，则下列向量中与 相等的是（ ）1ADb1c1BA B2a2abcC Dc 4如图，已知平行六面体 ，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点，化简下列11AC向量表达式：（1） ；11AB（2） ；2D（3） ；111A（4） 。ABC（参考答案：1、B 2、 B 3、A 4、 （1） ；11AB（2） ；（3） ；（3） ）111DM2DM 0A B CDA1 B1 C1D1 M
