1、第 1 页（共 10 页）第十九讲 平行截割平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E” 、 “A”型或“X”型的基本图形： 例题求解【例 1】如图，已知在平行四边形 ABCD 中，M、N 为 AB 的三等分点，DM、DN 分别交 AC 于 P、Q 两点，则 AP：PQ：QC= (河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)
2、思路点拨 图中有形如“X”型的基本图形，建立含 AP，PQ，QC 的比例式，并把 AP，PQ，QC 用同一条线段的代数式表示【例 2】如图，已知在ABC 中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD 与 CE 相交于 F，则 DACE的值为( ) A 21 B1 C 23 D2(江苏省泰州市中考题) 思路点拨 已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含 FCE， DA的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系 【例 3】 如图，BD、BA，分别是ADC 与它的邻补角ABP 的平分线，AEBE，ADBD，E、D 为垂第 2 页（共 10 页）足(1)求证：四边形 AEB
3、D 为矩形；(2)若 ADE=3，F、G 分别为 AE、AD 上的点，FG 交 AB 于点 H，且 3AGF，求证：AHG 是等腰三角形(厦门市中考题)思路点拨 对于(2)，由比例线段导出平行线，证明HAG=AHG【例 4】 如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC(1)如果 P、E、F 分别是 BC、AC、BD 的中点，求证：AB=PE+PF；(2)如果 P 是 BC 上的任意一点(中点除外)，PEAB，PFDC，那么 AB=PE+PF 这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由(上海市闽行区中考题)思路点拨 对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明 AB=PC+PF，
4、即需证明 1ABPFE，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明注 若题设条件无平行线，需作平行线而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：(1)利用比例线段求线段的长度；(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题 【例 5】如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，直线 l平行于 BD，且与 AB、DC、BC、AD 及 AC第 3 页（共 10 页）的延长线分别相交于点 M、N、R、S 和 P，
5、求证：PMPN=PRPS(山东省竞赛题)思路点拨 由于 PM、PN、PR、PS 在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系学力训练1如图，ABC 中有菱形 AMPN，如果 21MBA，则 CP (南 通市中考题)2如图，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上一点，CF 的延长线交 AB 于点 E，若 31FDA，则 BE ；若 nDA1，则 BE (江苏省镇江市中考题)3如图，已知点 D 为ABC 中 AC 边的中点，AEBC，ED 交 AB 于点 G，交 BC 的延长线于点 F，若 3GAB，BC=8，则 AE 的长为 (
6、苏州市中考题)4如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4cm，BC=lcm，E 是 CD 边上一动点，AE、BC 的延长线交于点 F，设DE=x ()，BF=y(cm)，用 x 的代数式表示 y 得 (黑龙江省中考题) 第 4 页（共 10 页）5如图，已知 DEBC，EFAB，现得到下列结论： FCBEA； BAD； BCDEF； BFA 其中正确比例式的个数有( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个6如图，BD、CE 是ABC 的中线，P、Q 是 BD、CE 的中点，则 BCPQ等于( )A 31 B 4 C 51 D 67如图，已知在平行四边形 ABCD 中，O 1、O 2，O 3
7、为对角线 BD 上三点，且 BO1=OlQ2=O2O3=O3D，连结 AOl并延长交 BC 于点 C，连结 EO3延长交 AD 于点 F，则 AD：FD 等于( )A19：2 B9：1 C8：1 D7：1(河北省中考题)8如图，在ABC 中，ABAC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，BD=3CE，DE 交 BC 于 F，则 DF：FE 等于( ) A5：2 B2：l C 3：1 D4：1(江苏省竞赛题)9如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB= 3CD，E 是 AB 上一点，AE=2BE，M 是腰 BC 的中点，连结 EM 并延长交 DC 的延长线于点 F，连结 BD 交 EF
8、 于点 N 求证：BN：ND=l：10 (河南省中考题)10如图，梯形 ABCD 中，ADBC，EF 经过梯形对角线的交 点 O，且 EFAD(1)求证：OE=OF，(2)求 BCOEAD的值；（3）求证： FBCA21第 5 页（共 10 页）11已知如图 1，ABBD，CDBD，垂足分别为 B、D，AD 和 BC 相交于点 E，EFBD 于 F，我们可以证明EFCDAB1成立若将图 1 中的垂直改为斜交，如图 2，ABCD，AD、BC 相交于点 E，过点 E 作EFAB，交 BD 于点 F，则：(1) 1还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由；(2)请找出 SABD ，S BE
9、D ，S BDC 间的关系式，并给出证明(黄冈市中考题)12如图，在梯形 ABCD中ABCD，AB3CD，E 是对角线 AC 的中点，BE 延长后交 AD 于 F，那么 DA= (“祖冲之杯”邀请赛试题)13如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点，过 O 任作一直线与 CD、BC 的延长线分别交于 F、E 点，设 BC=a，CD=b，CE=c，则 CF= (山东赛区选拔赛试题)14如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD= a ，BC= b ，E、F 分别是 AD、BC 的中点，且 AF 交 BE 于P，CE 交 DF 于 Q，则 PQ 的长为 15如图，工地上竖立着两根电线杆 A
10、B、CD，它们相距 15m，分别自两杆上高出地面 4m、6m 的 A、C 处，向两侧地面上的 E、D、B、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为 m(2000 年全国初中数学联赛试题)第 6 页（共 10 页）16如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E，F 是 BC 的三等分点AE、AF 分别交 BD 于 M、N 两点，则BM：MN：ND=( )A3：2；1 B4：2：l C5：2：1 D5：3：2(2004 年武汉市选拔赛试题) 17如图，在梯形 ABCD 中 ，ADBC，AD=3，BC=9，AB=6，CD4，若 EFBC，且梯形
11、AEFD 与梯形 EBCF的周长相等，则 EF 的长为( ) A 745 B 3 C 59 D 21(山东省竞赛题)18如图，平行四边形 ABCD 中，F、F 分别是边 AD、BC 的中点，AC 分别交 BE、DF 于 G、H，试判 断下列结论：BE=DF；AG=GH=HC；EG= 21BG；S ABE =3SAGE ，其中正确的结论有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个19如图，已知ABC， 32DCB， 4EA，AD、BE 交于 F，则 EBDA的值( )A 37 B 914 C 15 D 3620如图，已知 ABEFCD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求
12、CF(山东省竞赛题)第 7 页（共 10 页）21如图，已知在平行四边形 ABCD 中，F 为 AB 边的中点，AF= 21FD，FE 与 AC 相交于 G，求证：AG= 51AC22如图，已知 M、N 为ABC 的边 BC 上的两点，且满足 BM=MN=NC，一条平行于 AC 的直线分别交 AB、AM和 AN 的延长线于点 D、E 和 F，求证：EF=3DE(湖北省黄冈市竞赛题)23在ABC 中，D 为 BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交 AD 于点 O某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：(1)当 12ACE时，有 123ADO (如图甲)；（2）当 3时，有 4 (如图乙)；(3)当 14时，有 325 (如图丙)；在图丁中，当 nACE时，参照上述研究结论 ，请你猜想用 n表示 ADO的一般结论，并给出证明(其中 n 是正整数)(山西省中考题)24如图，在平行四边形 ABCD 中，P 1，P 2，P n是 BD 的 n 等分点，连结 AP2并延长交 BC 于点 E，连结APn-2并延长交 CD 于点 F(1)求证：EFBD；(2)设平行四边形 ABCD 的面积是 S，若 SAEF = 83S，求 n 的值 (山东省竞赛题)第 8 页（共 10 页）第 9 页（共 10 页）第 10 页（共 10 页）
