1、第 1 页（共 7 页） 第七讲 二次根式的运算式子 a ( 0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础(1) cbc) ( 0)；(2) a ( 0,)；(3) b ( ,)；(4) 2)(a( 0)同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解 相约等例题求解【例 1】 已知 25452xxy，则 2y= (重庆市竞赛题)思路点拨 因一个等式中含两个未
2、知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手注： 二次根式有如下重要性质：(1) 0a，说明了 a与 、 n2一样都是非负数；(2) 2)( ( 0)，解二次根式问题的途径通过平方，去掉根号有理化；(3) a，揭示了与绝对值的内在一致性著名数学教育家玻利亚曾说， “回到定义中去” ，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解 题 【例 2】 化简 22)1(n，所得的结果为（ ）A 1n B C 1nD 1n(武汉市选拔赛试题)思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根
3、本目的就是要揭示更为第 2 页（共 7 页） 普遍、更为深刻的事实和规律【例 3】计算：（1） )23)(6(4；（2） 15410；（3） 497491753 ；1258610思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口【例 4】 (1)化简 324； (北京市竞赛题)(2)计算 23810 (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算 1aa (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨 （1）把 4+2 3万与 42 3分别化成一个平方数化简，此外，由于 4+2 3与 42 是互为有理化因式，因
4、此原式平方后是一个正整数 ，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就 a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题【例 5】 已知 52132412cbba ，求 cba的值(山东省竞赛题)思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试学历训练1如果 232xxy，那么 yx2= (四川省竞赛题)2已知 3xy，那么 yx的值为 (成都市中考题)第 3 页（共 7 页） 3计算 201)3(2)13(2)1( 1900 = (天津市选拔赛试题)4若 ab 0，则等式 abb35飞成立的
5、条件是 (淄博市中考题)5如果式子 2)1(x 化简的结果为 32x，则 x 的取值范围是( )Ax1 Bx2 C1x2 Dx 0 (徐州市中考题)6如果式子 a1)( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A a1 B C 1a D a17已知 )0,(2yxyx，则 yx435的值为( ) A 31 B 21 C D8已知 a，那么 aa211的值等于（ ）A )321( B C 3 D3 9计算：(1) 120201； （2） 7215624130297653 ； (北京市数学竞赛题)（3） 426751；（4） )1920()19720()19)(179()0197)(9( (“希
6、望杯”邀请赛试题)10(1)已知 3与 的小数部分分别是 a 和 b，求 ab3a+4b+8 的值；(2)设 nx1， ny1，n 为自然数，如果 19321972yx成立，求 n11如图，某货船以 20 海里时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时，接到气象部门通知，一台风中心正以第 4 页（共 7 页） 40 海里时的速度由 A 向北偏西 60方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域(包括边 界)均会受到影响 （1）问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用
7、数据： 4.12， 7.3) (贵阳市中考题)12 已知 23x， 23y，那么 2yx= (T1 杯全国 初中数学联赛题)13若有理数 x、y、z 满足 )(1zzx，则 2)(yzx= (北京市竞赛题)14设 ba2107，其中 a 为正整数，b 在 0，1 之间，则 ba= 15正数 m、n 满足 3424nmn，则 208nm= (北京市竞赛题)16化简 21723等于( )A54 B4 一 1 C 5 D1 (全国初中数学联赛题)17若 x1，则 2)(等于( )Ax B C1 D1(2004 年武汉市选拔赛试题)18若 baba、,都是有理数，那么 a和 b面( )A都是有理数 B
8、一个是有理数，另一个是无理数C都是无理数 D有理数还是无理数不能确定(第 13 届“希望杯”邀请赛试题)19下列三个命题：若 ， 是互不相等的无理数，则 + 是无理数；若 ， 是互不相等的无理数，则 是无理数； 若 ， 是互不相等的无理数，则 3是无理数其中正确命题的个数是( ) 第 5 页（共 7 页） A 0 B1 C2 D3 (全国初中数学联赛试题)20计算：（1） 3426305； （ “希望杯”竞赛题）（2） 518； （山东省竞赛题）（3） 10910321 ；（四川 省选拔赛题）(4) )56(2； (5) 2315 (新加坡中学生数学竞赛题)21(1)求证 1)(22abab；(2)计算 01912 （“祖冲之杯”邀请赛试题）22 (1)定义 323232 11)( xxxf ，求 )9()12()3(fkff 的值；(2)设 x、y 都是正整数，且使 y06，求 y 的最大值(上海市竞赛题 )23试将实数 )71(521改写成三个正整数的算术根之和(2001 年第 2 届全澳门校际初中数学竞赛题)24求比 65(大的最小整数 (西安交通大学少年班入学试题)第 6 页（共 7 页） 第 7 页（共 7 页）
