1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十三)柱、锥、台的体积一、选择题(每小题 3 分，共 18 分)1.(2014济源高一检测)已知高为 3 的直三棱柱 ABC-ABC的底面是边长为 1 的正三角形，则三棱锥 B-ABC 的体积为( )A. B.14 12C. D.36 34【解析】选 D.由题意知 SABC= 12= ，34 34所以 VB-ABC= SABC3= .13 342.(2014驻马店高一检测)已知圆柱的侧面展开图是矩形，其面积为 S，圆柱的底面周长为 C，则圆柱的体积是
2、( )A. B. C. D.C24 42 C2 S4【解析】选 D.由圆柱的底面周长为 C，可得底面圆的半径为 R= ，又由圆柱C2的侧面积为 S 可得圆柱的高为 h= ，所以圆柱的体积 V= = .S (C2)2SS43.(2014宿州高一检测)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使BD=a，则三棱锥 D-ABC 的体积为( )A. B. C. a3 D. a3a36 a312 312 212【解析】选 D.设正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 E，沿 AC 折起后依题意得，当 BD=a 时，BEDE，所以 DE平面 ABC，于是三棱锥 D-ABC 的高为
3、DE= a，所以三棱锥 D-ABC 的体积 V= a2 a= a3.22 1312 22 212【误区警示】解答本题时常因弄不清折叠前后线段的位置关系及数量关系的变化而导致错误.【变式训练】如图，E，F 分别为正方形 ABCD 的边 BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为 2 的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积.【解析】折叠起来后，B，D，C 三点重合为 S 点，则围成的三棱锥为 S-AEF，这时 SASE，SASF，SESF，且SA=2，SE=SF=1，所以此三棱锥的体积 V= 112= .1312 134.如图所示，在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P是 A
4、1B1上一点，且 PB1= A1B1，则多面体 P-BCC1B1的体14积为( )A. B.83 163C.4 D.16【解析】选 B.由题意可得 PB1= A1B1=1，且 PB1平面 BCC1B1，由棱锥的体14积公式 = 441= .V1113 1635.(2014安徽高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21+ B.18+3 3C.21 D.18【解题指南】将三视图还原为原几何体，原几何体是一个正方体截去两个全等小正三棱锥所得的组合体.【解析】选 A.由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为 S=24，两个全等的三棱锥是以正方
5、体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为 1 的等腰直角三角形，这 6 个等腰直角三角形面积的和为 3，三棱锥的底面是边长为 的正三角形，这 2 个正三角形面积2的和为 ，故所求几何体的表面积为 24-3+ =21+ .3 3 36.(2014佛山高一检测)圆台的上、下底面的面积分别为 ，4，侧面积是6，这个圆台的体积是( )A. B.2 C. D.233 3 736 733【解题指南】设出上下底面半径及母线长，可构造它们的方程组，进而求出，代入体积公式解决.【解析】选 D.设圆台上、下底面半径为 r，r，母线长为 l，则 所以2r=,4()6A ， lr=1,2 ，l圆台的高 h= =
6、 ， 22(r)3 ， 3所以 V 圆台 = (+ +4) = .13 4 3733二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)7.(2013辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_.【解析】由三视图可以得到原几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V=44-16=16-16.答案：16-168.(2014天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m 3.【解析】所给几何体由一个圆锥和一个圆柱组合而成，V= 222+124=13(m3).203答案：2039.已知圆锥的母线长为 5cm，侧面积为 15cm 2，则此圆锥的体积为_cm3
7、.【解析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则有 rl=15 知 r=3，所以 h=4.所以其体积为5232V= Sh= r2h= 324=12.13 13 13答案：12三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)10.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面ABCD，ABAD，点 E 在线段 AD 上，且 CEAB.(1)求证：CE平面 PAD.(2)若 PA=AB=1，AD=3，CD= ，CDA=45，求四棱锥 P-ABCD 的体积.2【解析】(1)因为 PA平面 ABCD，CE 平面 ABCD，所以 PACE.因为 ABAD，CEAB，所以 CEAD.又 PAAD=A，所以 CE平面
8、PAD.(2)由(1)可知 CEAD.在 RtECD 中，DE=CDcos 45=1，CE=CDsin 45=1.又因为 AB=CE=1，ABCE，ABAD，所以四边形 ABCE 为矩形.所以 S 四边形 ABCD=S 矩形 ABCE+SECD=ABAE+ CEDE12=12+ 11= .12 52又 PA平面 ABCD，PA=1，所以 V 四棱锥 P-ABCD= S 四边形 ABCDPA13= 1= .1352 5611.(2014滨州高一检测)一几何体按比例绘制的三视图，如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图.(2)求它的表面积和体积.【解析】(1)直观图如图所示：(2)由三视图可知
9、该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A 1D1，A 1B1 为棱的长方体的体积的 ，在直角梯形 AA1B1B 中，作34BEA1B1 于 E，则 AA1EB 是正方形，所以 AA1=BE=1m.在 RtBEB1 中，BE=1m，EB 1=1m，所以 BB1= m.2所以该几何体的表面积S= +2 + +S 正方形 ABCD+S正方形 11 S梯形 11S矩形 11 S矩形 1111=1+2 (1+2)1+1 +1+1212 2=7+ (m2).2该几何体的体积 V= 121= (m3).34 32【一题多解】几何体也可以看作是以 AA1B1B 为底面的直四棱柱，其表面积求
10、法同方法一，V直四棱柱 1111= (1+2)1112= (m3).32所以几何体的表面积为(7+ )m2，体积为 m3.232【拓展延伸】求体积时应注意的两点(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性.一、选择题(每小题 4 分，共 16 分)1.(2014蚌埠高一检测)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 3 ，则3图中主视图所标 a=( )A.1 B. C. D.232 3 3【解析】选 C.由三视图可知，该几何体为一个平卧的三棱柱，结合图中的尺寸可得 V= 2a3=3 ，解得 a=
11、.12 3 32.(2014亳州高一检测)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB，EF= ，EF32与平面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为( )A. B.5 C.6 D.92 152【解析】选 D.连接 EB，EC，AC. 四棱锥 E-ABCD 的体积 VE-ABCD= 322=6.13由于 AB=2EF，EFAB，所以 SEAB=2SBEF.所以 VF-BEC=VC-EFB= VC-ABE= VE-ABC= ，12 12 32所以 VABCDEF=VE-ABCD+VF-BEC=6+ = .321523.(2014佛山高一检测)圆锥的过
12、高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )A.11 B.16 C.17 D.18【解析】选 C.如图，设圆锥底面半径 OB=R，高 PO=h，O为 PO 中点，所以 PO= ，h2因为 = = ，所以 OA= ，OP12 R2所以 V 圆锥 PO= = R2h.13 (R2)2h2 124V 圆台 OO= = R2h.3(R2)2+2+2)h2 724所以 = .V圆锥 圆 台 174.棱长为 a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A. a3 B. a3 C. a3 D. a313 14 16 112【解析】选 C.八面体可以看成两个正四棱锥拼接而成，其中正四棱锥的棱长为a，高为 a.22 12则 V=2 a= a3.13( 22)212 16二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5.(2014辽宁高考改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.
