1、2010 年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.若 均为整数且满足 ，则 （ ,abc1010()()abc|abca）A1. B2. C3. D4.2若实数 满足等式 ， ，则 可能取的最大值,abc23|6ab49|6abc为（ ）A0. B1. C2. D3.3若 是两个正数，且 ，则（ ）ba, 10abA . B .1033C . D .442ab4若方程 的两根也是方程 的根，则 的2310x420xc2abc值为（ ）A13. B9. C6. D0.5在 中，已知 ，D ，E 分别是边 AB，AC 上的点，且C60A， ， ,则 (
2、 )60EDB2CBA15. B20. C25. D30.6对于自然数 ，将其各位数字之和记为 ，如 ，nna20991，则 （ ）20103a1232091aA28062. B28065. C28067. D28068.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1已知实数 满足方程组 则 _.,xy319,xy2xy2二次函数 的图象与 轴正方向交于 A，B 两点，与 轴正方向交于cbxy2xy点 C已知 ， ，则 _ACB330Oc3在等腰直角ABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA ，PC5，则 PB _4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现
3、，且任意中间夹有 5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_个球.第二试（A ）一 （本题满分 20 分）设整数 （ ）为三角形的三边长，满足,abc，求符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数.2213abcac二 （本题满分 35 分）已知等腰三角形ABC 中，ABAC，C 的平分线与 AB 边交于点 P，M 为ABC的内切圆I 与 BC 边的切点，作 MD/AC，交I 于点 D.证明：PD 是 I 的切线.三 （本题满分 35 分）已知二次函数 的图象经过两点 P ，Q2yxbc(1,)a.(2,10)a（1）如果 都是整数，且 ，求 的值.,bc8
4、ca,c（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为 A、B，与 轴的交点为 C.如2yxxy果关于 的方程 的两个根都是整数，求ABC 的面积.x20c第二试（B ）一、设整数 为三角形的三边长，满足 ，求符合,abc2213abcabcNQIPCAMB条件且周长不超过 30 的三角形的个数（全等的三角形只计算 1 次）二、与 A 卷第二题相同三、与 A 卷第三题相同第二试（C ）一、 与 B 卷第一题相同二、 与 A 卷第二题相同三、设 是大于 2 的质数，k 为正整数若函数 的图象与p 4)1(2pkxyx 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求 k 的值参考答案第一试一、 BCCABD二、
5、 1、132、 93、 04、15第二试（A）一、解：由已知等式可得：2226abca令 ， ，则 ，其中 ， 均为自然数。mncmnn于是，等式变为 ，即22213n由于 ， 均为自然数，判断易知：使得等式成立的 ， 只有两组： 和 。mn31nm（1） 当 ， 时， ， 。又 ， ， 为三角形的31bc4abcabc三边长，所以 ，即 ，解得 。4c3又因为三角形的周长不超过 30，即 ，解得 。10abc253c因此 ，253c所以 可以取值 4，5，6，7，8，对应可得到 5 个符合条件的三角形。（2） 当 ， 时， ， 。又 ， ， 为三角形的1mn3bc14abcabc三边长，所以
6、 ，即 ，解得 。3c又因为三角形的周长不超过 30，即 ，解得 。430abcc23c因此 ，213所以 可以取值 2，3，4，5，6，7，对应可得到 6 个符合条件的三角形。综上可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 。51二、解：过点 做 的切线 （切点为 ）并延长，交 于点 。PI:QBCN因为 为 的平分线，所以 。CABAP又因为 、 均为 的切线，所以 。I又 为公共边，所以 ，所以 。CN由 ， ，所以 ，故 ，所以NMQQMBC:NQACB 。A又因为 ，所以 和 为同一条直线。D又点 、 均在 上，所以点 和点 重合，故是 的切线。QI:QDI:三、解：点 、
7、在二次函数 的图象上，故 ，1,Pa2,02yxbc1bca，解得 ， 。42c93ba8c（1） 由 知 ，解得 。813a又 为整数，所以 ， ， 。a258214c（2） 设 ， 是方程的两个整数根，且 。mnmn由根与系数的关系可得 ， ，消去 ，得9ba，986两边同时乘以 9，得 ，分解因式，得17254n。0m所以 ，或 ，或 ，或 ，891n895mn9810n9852mn解得 ，或 ，或 ，或 ，2039n297n3又 ， 是整数，所以后面三组解舍去，故 ， 。mn1m2n因此， ， ，二次函数的解析式为3b2cn。23yx易求得点 、 的坐标为 和 ，点的坐标为 ，所以 的
8、AB1,0,0,2ABC面积为 。12第二试（B）一、解：不妨设 ，由已知等式可得abc2226ab令 ， ，则 ，其中 ， 均为自然数。mnmnn于是，等式变为 ，即22213n由于 ， 均为自然数，判断易知：使得等式成立的 ， 只有两组： 和 。mn31nm（1） 当 ， 时， ， 。又 ， ， 为三角形的31bc4abcabc三边长，所以 ，即 ，解得 。4c3又因为三角形的周长不超过 30，即 ，解得 。10abc253c因此 ，253c所以 可以取值 4，5，6，7，8，对应可得到 5 个符合条件的三角形。（2） 当 ， 时， ， 。又 ， ， 为三角形的1mn3bc14abcabc
9、三边长，所以 ，即 ，解得 。3c又因为三角形的周长不超过 30，即 ，解得 。430abc23c因此 ，213c所以 可以取值 2，3，4，5，6，7，对应可得到 6 个符合条件的三角形。综上可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 。561二、与 A 卷第二题相同三、与 A 卷第三题相同第二试（C）一、 与 B 卷第一题相同二、 与 A 卷第二题相同三、 解：由题意知，方程 的两根 ， 至少有一个为整数。2140xpk1x2由根与系数的关系可得 ， ，从而有12124xkp12 4xx（1） 若 ，则方程为 ，它有两个整数根 和 。k20px2p（2） 若 ，则 。10因为 为整数，如果 ， 中至少有一个为整数，则 ， 都是整12xp1x2 1x2数。又因为 为质数，由式知 或 。12p不妨设 ，则可设 （其中 为非零整数） ，则由式可得12pxxm，2km故 ，即 。121kxp214kxpm又 ，所以 ，即4mkp如果 为正整数，则 ， ，从而m136p10k，与式矛盾。16k如果 为负整数，则 ， ，从而 ，与0km10kpm式矛盾。因此， 时，方程 不可能有整数根。1k214xp综上所述， 。1k
