1、2010 年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题:(本题满分 42 分,每小题 7 分)1.若 均为整数且满足 ,则 ( ,abc1010()()abc|abca)A1. B2. C3. D4.2若实数 满足等式 , ,则 可能取的最大值,abc23|6ab49|6abc为( )A0. B1. C2. D3.3若 是两个正数,且 ,则( )ba, 10abA . B .1033C . D .442ab4若方程 的两根也是方程 的根,则 的2310x420xc2abc值为( )A13. B9. C6. D0.5在 中,已知 ,D ,E 分别是边 AB,AC 上的点,且C60A, , ,则 (
2、 )60EDB2CBA15. B20. C25. D30.6对于自然数 ,将其各位数字之和记为 ,如 ,nna20991,则 ( )20103a1232091aA28062. B28065. C28067. D28068.二、填空题:(本题满分 28 分,每小题 7 分)1已知实数 满足方程组 则 _.,xy319,xy2xy2二次函数 的图象与 轴正方向交于 A,B 两点,与 轴正方向交于cbxy2xy点 C已知 , ,则 _ACB330Oc3在等腰直角ABC 中,ABBC5,P 是ABC 内一点,且 PA ,PC5,则 PB _4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现
3、,且任意中间夹有 5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放_个球.第二试(A )一 (本题满分 20 分)设整数 ( )为三角形的三边长,满足,abc,求符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数.2213abcac二 (本题满分 35 分)已知等腰三角形ABC 中,ABAC,C 的平分线与 AB 边交于点 P,M 为ABC的内切圆I 与 BC 边的切点,作 MD/AC,交I 于点 D.证明:PD 是 I 的切线.三 (本题满分 35 分)已知二次函数 的图象经过两点 P ,Q2yxbc(1,)a.(2,10)a(1)如果 都是整数,且 ,求 的值.,bc8
4、ca,c(2)设二次函数 的图象与 轴的交点为 A、B,与 轴的交点为 C.如2yxxy果关于 的方程 的两个根都是整数,求ABC 的面积.x20c第二试(B )一、设整数 为三角形的三边长,满足 ,求符合,abc2213abcabcNQIPCAMB条件且周长不超过 30 的三角形的个数(全等的三角形只计算 1 次)二、与 A 卷第二题相同三、与 A 卷第三题相同第二试(C )一、 与 B 卷第一题相同二、 与 A 卷第二题相同三、设 是大于 2 的质数,k 为正整数若函数 的图象与p 4)1(2pkxyx 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求 k 的值参考答案第一试一、 BCCABD二、
5、 1、132、 93、 04、15第二试(A)一、解:由已知等式可得:2226abca令 , ,则 ,其中 , 均为自然数。mncmnn于是,等式变为 ,即22213n由于 , 均为自然数,判断易知:使得等式成立的 , 只有两组: 和 。mn31nm(1) 当 , 时, , 。又 , , 为三角形的31bc4abcabc三边长,所以 ,即 ,解得 。4c3又因为三角形的周长不超过 30,即 ,解得 。10abc253c因此 ,253c所以 可以取值 4,5,6,7,8,对应可得到 5 个符合条件的三角形。(2) 当 , 时, , 。又 , , 为三角形的1mn3bc14abcabc三边长,所以
6、 ,即 ,解得 。3c又因为三角形的周长不超过 30,即 ,解得 。430abcc23c因此 ,213所以 可以取值 2,3,4,5,6,7,对应可得到 6 个符合条件的三角形。综上可知:符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 。51二、解:过点 做 的切线 (切点为 )并延长,交 于点 。PI:QBCN因为 为 的平分线,所以 。CABAP又因为 、 均为 的切线,所以 。I又 为公共边,所以 ,所以 。CN由 , ,所以 ,故 ,所以NMQQMBC:NQACB 。A又因为 ,所以 和 为同一条直线。D又点 、 均在 上,所以点 和点 重合,故是 的切线。QI:QDI:三、解:点 、
7、在二次函数 的图象上,故 ,1,Pa2,02yxbc1bca,解得 , 。42c93ba8c(1) 由 知 ,解得 。813a又 为整数,所以 , , 。a258214c(2) 设 , 是方程的两个整数根,且 。mnmn由根与系数的关系可得 , ,消去 ,得9ba,986两边同时乘以 9,得 ,分解因式,得17254n。0m所以 ,或 ,或 ,或 ,891n895mn9810n9852mn解得 ,或 ,或 ,或 ,2039n297n3又 , 是整数,所以后面三组解舍去,故 , 。mn1m2n因此, , ,二次函数的解析式为3b2cn。23yx易求得点 、 的坐标为 和 ,点的坐标为 ,所以 的
8、AB1,0,0,2ABC面积为 。12第二试(B)一、解:不妨设 ,由已知等式可得abc2226ab令 , ,则 ,其中 , 均为自然数。mnmnn于是,等式变为 ,即22213n由于 , 均为自然数,判断易知:使得等式成立的 , 只有两组: 和 。mn31nm(1) 当 , 时, , 。又 , , 为三角形的31bc4abcabc三边长,所以 ,即 ,解得 。4c3又因为三角形的周长不超过 30,即 ,解得 。10abc253c因此 ,253c所以 可以取值 4,5,6,7,8,对应可得到 5 个符合条件的三角形。(2) 当 , 时, , 。又 , , 为三角形的1mn3bc14abcabc
9、三边长,所以 ,即 ,解得 。3c又因为三角形的周长不超过 30,即 ,解得 。430abc23c因此 ,213c所以 可以取值 2,3,4,5,6,7,对应可得到 6 个符合条件的三角形。综上可知:符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 。561二、与 A 卷第二题相同三、与 A 卷第三题相同第二试(C)一、 与 B 卷第一题相同二、 与 A 卷第二题相同三、 解:由题意知,方程 的两根 , 至少有一个为整数。2140xpk1x2由根与系数的关系可得 , ,从而有12124xkp12 4xx(1) 若 ,则方程为 ,它有两个整数根 和 。k20px2p(2) 若 ,则 。10因为 为整数,如果 , 中至少有一个为整数,则 , 都是整12xp1x2 1x2数。又因为 为质数,由式知 或 。12p不妨设 ,则可设 (其中 为非零整数) ,则由式可得12pxxm,2km故 ,即 。121kxp214kxpm又 ,所以 ,即4mkp如果 为正整数,则 , ,从而m136p10k,与式矛盾。16k如果 为负整数,则 , ,从而 ,与0km10kpm式矛盾。因此, 时,方程 不可能有整数根。1k214xp综上所述, 。1k