1、2012 年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题 第 1 页 （共 5 页）2012 年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题（2012 年 4 月 7 日 星期六 上午 9：3011：30）考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；不准使用计算器；考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分一、选择题：（本大题共 4 小题，每小题 6 分，满分 24 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1过点 的直线与圆 相交于 两点，其中弦 的长为整数(,)22()(3)9xyAB、 AB的有（ ）A.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D.4 条2设 是正 及其内部的点构成的集合，
2、点 是 的中心，若集合D123P0P123，则集合 表示的平面区域是（ ）0|,12,3iSSA.三角形区域 B. 四边形区域 C. 五边形区域 D.六边形区域3设直线 与球 有且只有一个公共点 ，从直线 出发的两个半平面 截球 的两lOPl,O个截面圆的半径分别为 1 和 ，二面角 的平面角为 ，则球 的表面积3015为（ ）A. B. C. D. 12281644先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为 a，b.将 a，b, 5 分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是（ ） A B C D51871818138二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 6 分，满分
3、36 分 ）5某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七月份销售额比六月份递增 x%，八月份销售额比七月份递增 x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达 7000 万元，则 x 的最小值是2012 年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题 第 2 页 （共 5 页）.6已知函数 fx满足： 14f， ,fxyfxfyxR，则_.(201)f7函数 y 的最大值与最小值的积是_ _ tanx tan3x1 2tan2x tan4x8若平面区域 是一个三角形，则 k 的取值范围是 |2(1)xyk9设a n是等比数列，公
4、比 2q，S n 为a n的前 n 项和。记*217,.nnSTNa设 0nT为数列 n的最大项，则 0= .10双曲线2(0,)xyba与椭圆2159xy的焦点相同，若过右焦点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围为 .三、解答题：（本大题共 5 小题，满分 90 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ）11 （本小题满分 15 分）已知向量 m ，n3si,14x2cos,4x(1)若 mn1，求 cos 的值；2(2)记 f(x)mn，在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且满足(2 ac)cos 2012 年广州市高
5、二数学竞赛萝岗区初赛试题 第 3 页 （共 5 页）Bbcos C ，求函数 f(A)的取值范围12 （本小题满分 15 分）三棱柱 1CBA的直观图及三视图（主视图和俯视 图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图， D为 AC的中点.（1）求证： /1平面 1D；（2）求证： CA平面 B；（3）求二面角 1的正切值.13 （本小题满分 20 分）如图，曲线 是以原点 O 为中心、 为焦点的1C12,F椭圆的一部分，曲线 是以 O 为顶点、 为焦点的2抛物线的一部分，A 是曲线 和 的交点且12C为钝角，若 ， ，21F7AF5（）求曲线 和 的方程；1C2（）过 作一条与 轴不垂直的直线，
6、分别与曲2x线 依次交于 B、 C、 D、 E 四点，若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中点，问12C、ABCD1A1A1B1C1A2012 年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题 第 4 页 （共 5 页）2BEGFCDH是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由。14 （本小题满分 20 分）已知函数 11()ln(),(ln.mfxxRgx（I）求 的极小值；g（II）若 上为单调增函数，求 m 的取值范围；()1,)yfx在（III ）设 （e 是自然对数的底数）上至少存在一个2,eh若 在成立，求 m 的取值范围。0000,()()xfgxh使 得15 （本小题满分 20 分）已知数列 满足 ， ),2(1Nnannna41（）求数列 的通项公式 ；（）设 ，求数列 的前 项和 ；2nabnbnS（）设 ，数列 的前 项和为 求证：对任意的 ，)1(sicncnTNn74nT2012 年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题 第 5 页 （共 5 页）
